第十二章 微分方程與差分方程簡介

1、第十二章 微分方程與差分方程簡介學習測試題答案1. 選擇題（1）由題書P454一階線性微分方程的通解討論知的通解為。（2），所以方程應為齊次方程。（3）為可分離變量的方程，分離變量得，其通解為，因為，所以，即特解為。（4）對微分方程兩邊同時積分得，再積分一次得，再積分一次可得微分方程通解。（5）由題對應的特征方程為，所以對應的特征根為或，所以方程的通解為。（6）由二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)可知仍為微分方程的解，但只有當和線性無關時，才為微分方程的通解。且由于它含有至少一個任意常數(shù)，所以它不是微分方程的特解。（7）由題微分方程方程中只出現(xiàn)和的導數(shù)，沒有出現(xiàn)，由高階導數(shù)的降階方法知可令，則。（8）此

2、題為歐拉方程，由歐拉方程解法知做變換，方程可化為，對應的特征方程為，所以，則通解為，作反變換，原微分方程通解為。（9）本題是常微分方程中關于階線性齊次方程的劉維爾（Liouville）公式得推論，由Liouville公式知，所以，。（10）由題對應的特征方程為，特征根為或，因此不是特征根，所以所設的特解形式為。2. 填空題（1）為方程的解，并且不含有任意常數(shù)，則它為微分方程特解。（2），求導的最高階數(shù)為，因此它為階微分方程。（3），求導的最高階數(shù)為，因此它為階微分方程。（4），求導的最高階數(shù)為，因此它為階微分方程。（5）有通解定義解微分方程的通解應含有個任意函數(shù)。（6）對方程兩邊同時求導得，所

3、以，即方程為齊次方程。（7）由題，所以微分方程式全微分方程。3. 計算題（1）微分方程可化為，為一階線性非齊次方程，則，其中為任意常數(shù)。（2）由題為伯努利方程，轉(zhuǎn)化為，令，則方程化為，即為一階線性非齊次方程。（3）由題，所以方程為全微分方程，其解為。（4）由題微分方程只出現(xiàn)和的導數(shù)，沒有出現(xiàn)，由高階導數(shù)的降階方法知可令，則，所以方程可化為，即，所以，即，所以，所以，即。（5）由題微分方程只出現(xiàn)和的導數(shù)，沒有出現(xiàn)，由高階導數(shù)的降階方法知可令，則，方程可化為，對應齊次方程的特征方程為，特征根為和，齊次方程通解為，可令非齊次方程的特解為，帶入可得，則，所以非齊次方程的通解為，即，兩邊同時積分可得，即

4、原方程的通解為，其中，和為任意常數(shù)。（6）由題方程可化為為伯努利方程，令，所以方程可化為，其通解為，所以原方程的通解為。因為，則，所以滿足初值的特解為。（7）由題對應齊次方程的特征方程為，特征根，對應齊次方程的通解為，非齊次方程特解可設為，代入方程可得，所以，所以特解為，所以非齊次方程同解為，由，則，由，則，所以滿足初值條件的特解為。（8）由題為可分離變量方程，所以，所以其通解為。（9）由題可建立微分方程，且滿足初值條件，微分方程可化為，其方程通解為，滿足初值條件的特解為。（10）對積分方程兩邊求導得到微分方程，即，且滿足初值條件，其通解為，則滿足初值條件的特解為。（11）由題敵艦的坐標為，魚

5、雷的坐標為，則，魚雷速度為，所以，追逐中與魚雷和敵艦連線相切，所以，即，所以，所以可得微分方程，由于魚雷初始位置為原點，初始速度為，即滿足初值條件，。則魚雷航行曲線方程為，且有初值，。令，則方程可化為，即，其通解為，即，所以，連理上述兩式求解可得，且滿足，即，兩邊同時積分可得通解，但，則，所以所求解為。（12）由題過的法線方程為，與軸交點為由題被軸平分，則，所以滿足條件的微分方程為，即。（13）1.分離變量的，兩邊同時積分得，所以，所以通解為。2.原方程可化為，分離變量并兩邊同時積分得，所以，所以方程通解為3.分離變量的，兩邊同時積分得，所以通解為。4.原方程可化為為齊次方程，令，則，所以，兩

6、邊同時積分得，則，即。5.原方程可化為為齊次方程，令，則，所以，兩邊同時積分得，則，即，所以，所以方程同解為。6.先求解方程組，得，做變換，則原微分方程可化為，令得如下齊次方程，所以，兩邊同時積分得，代回得，即，再次代回得。7.先求解方程組，得，做變換，則原微分方程可化為，令得如下齊次方程，所以，兩邊同時積分得，即，所以，代回得，再次代回得。8.。9.原方程可化為，即，其通解為，即。10.原方程可化為，即，其通解為。11.方程為伯努利方程，令，則方程可化為，則，則方程的通解為。12.原方程可化為，即，則方程為伯努利方程，令，則方程可化為，則。所以方程通解為。13.令，則原方程可化為，其通解為，

7、代回得。14.題目有誤，應為，原方程可化為，令，則方程可化為，則，代回得。15.令，則，所以，兩邊同時積分得，代回得。16.由題方程兩邊同時積分得，再兩邊同時積分得，再兩邊同時積分得方程通解。17.設，則，原方程化為，則，即，則。18.設，則，原方程化為，則或，當時，則是方程的解，但不是方程的通解。當時，則，則，即。19.設，則，原方程化為，則或，當時，則是方程的解，但不是方程的通解。當時，則，則，即。所以通解為。20.特征方程為，特征根為，則方程通解為。21.特征方程為，特征根為，則方程通解為。22.特征方程為，特征根為，則方程通解為。23.特征方程為，所以，即或，特征根為，則方程通解為。2

8、4.特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因為不是特征根，所以可設非齊次方程的特解為，代入方程可得，所以，特解為，所以通解為。25.特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因為是單特征根，所以可設非齊次方程的特解為，代入方程可得，所以，所以，則特解為，所以通解為。26.特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因為不是特征根，所以可設非齊次方程的特解為，代入方程可得，所以，所以，則特解為，所以通解為。27.特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因為，且，不是特征根，所以可設非齊次方程的特解為，代入方程可得，所以，則特解為，所以通解為。28.方程為歐拉方程，可做變換，即，則，原方程可化為，特征

9、方程為，特征根為，方程的通解為，代回，得原方程的通解為。29.原題有誤。方程應為為歐拉方程，可做變換，即，則，原方程可化為，特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因為，且不是特征根，所以可設非齊次方程的特解為，代入方程得，則，則特解為，通解為，代回，得原方程的通解為。30.方程為歐拉方程，可做變換，即，則，原方程可化為，特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因為不是特征根，但是二重特征根，所以可設非齊次方程的特解為，代入方程得，則，則特解為，通解為，代回，得原方程的通解為。31.令，則方程可化為，特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，所以原方程的通解為。（14）1.分離變量得，兩邊同時積

10、分得，所以方程通解為，由初值條件知，所以，則滿足方程得特解為。2.分離變量得，兩邊同時積分得，所以方程通解為，由初值條件知，所以，則滿足方程得特解為。3.原方程可化為為齊次方程，令，則，所以，由有理函數(shù)形式積分法知，兩邊同時積分得，所以方程通解為，代回知，由初值條件知，所以，則滿足方程得特解為。4.原方程可化為為齊次方程，令，則，所以，由有理函數(shù)形式積分法知，兩邊同時積分得，所以方程通解為，代回知，由初值條件知，所以，則滿足方程得特解為。5.由題通解為，由初值條件，所以，則滿足方程得特解為。6.由題通解為，由初值條件，所以，則滿足方程得特解為。7.由題通解為，因為解連續(xù)則，且由初值得，所以，所

11、以滿足初值的特解為。8.由題，則，兩邊積分得，因為當，知，所以，從而，則，兩邊積分得，由，知，則解為，即為，即。9.題目錯誤，初值應改為，。設，則，代入方程得，兩邊積分得，因為當，知，從而，所以，兩邊積分得，當，時，知，則解為。10.設設，則，代入方程得，兩邊積分得，因為當，知，從而，所以，因為當，所以排除，所以，即，兩邊積分得，當，時，知，則解為。11.特征方程為，所以，其通解為，則，由初值條件可得，所以，所以特解為。12.特征方程為，所以，其通解為，則，由初值條件可得，所以，所以特解為。13.特征方程為，所以，齊次方程通解為，則，因為為單特征根，可設特解為，代入方程得，于是，所以通解為，所

12、以由初值條件可得，所以，所以特解為。14.特征方程為，所以，齊次方程通解為，則，因為為重特征根，可設特解為，代入方程得，所以，于是，所以通解為，所以由初值條件可得，所以，所以特解為。15.特征方程為，所以，齊次方程通解為，則，因為為特征根，可設特解為，代入方程得，所以，于是，所以通解為，所以由初值條件可得，所以，所以特解為。（15）以速度為零的點為原點，由牛頓運動規(guī)律的，且有初值，則，其通解為，由初值條件知，即滿足初值的特解為。（16）由二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)知和都是齊次方程的特解，并且它們顯然是線性無關的，所以齊次方程的通解為。（17）1.因為，所以微分方程為全微分方程，通解為。2.因

13、為，所以微分方程不是全微分方程。3.因為，所以微分方程為全微分方程，通解為。（18）1.積分因子為，則方程可化為全微分方程，其通解為。2.積分因子為，則方程可化為全微分方程，其通解為，即。3.積分因子為，則方程可化為全微分方程，其通解為，即。（19）考慮，則，。則可以推出方程為全微分方程，所以為積分因子。由題這時，所以積分因子為，從而為全微分方程，所以方程通解為。（20）由題，則它的通解為，且滿足初值，則，所以滿足要求的。（21）由題，則，且，則原來的積分方程轉(zhuǎn)化為二階線性齊次方程，且滿足初值，對應齊次方程的特征方程為，則，則對應齊次方程的通解為，可設非齊次方程的特解為，帶入方程得，即其特解為，所以非齊次方程的通解為，則由初值可得，即所求積分方程的解為。（22）1.設所給方程的解為，其中為任意常數(shù)。從而，帶入方程得，即，所以，從而。2.可先求出方程兩個線性無關的特解，從而得出方程的通解，設，從而，代入方程得，即。所以，即，亦即，從