三角函數(shù)第一輪復習學案

1、 三角函數(shù)與三角恒等變換任意角的三角函數(shù)一、自主梳理1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所成的圖形旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的_，射線的端點O叫做角的_，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的_，按_時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按_時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角若一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個_角(1)象限角使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是_角(2)象限界角(即終邊在坐標軸上的角)終邊在x軸上的角表示為_；終邊在y軸上的角表示為_；終邊落在坐標軸上的角可表示為_(3)終邊相同的角所有與角終邊相同

2、的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把長度等于_長的弧所對的_叫1弧度的角以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做_，它的單位符號是_，讀作_，通常略去不寫(5)度與弧度的換算關(guān)系360_ rad；180_ rad；1_ rad；1 rad_57.30.(6)弧長公式與扇形面積公式l_，即弧長等于_S扇_.2三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么_叫做的正弦，記作sin ，即sin y；_叫做的余弦，記作cos ，即cos x；_叫做的正切，記作tan ，即tan (x0)(1)三角函數(shù)值的符號

3、各象限的三角函數(shù)值的符號如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦3.自我檢測1“”是“cos 2”的 （ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件2. 點P(tan 2 009，cos 2 009)位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知sin 0，則角是 （ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角4已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為 ()A. B. C. D.二、考點分析探究點一角的概念例1(1)如果角是第三象限角，那么，角的終邊落在第幾象限；(2)寫出終邊落在直線yx上的角的集合；(

4、3)若168k360 (kZ)，求在0，360)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角變式遷移1若是第二象限的角，試分別確定2，的終邊所在位置探究點二弧長與扇形面積例2已知一個扇形的圓心角是，00)，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？變式遷移2(1)已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；(2)已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？探究點三三角函數(shù)的定義例3已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值變式遷移3已知角的終邊經(jīng)過點P(4a,3a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值三、課堂小結(jié)1角的度量由原來的角度

5、制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習慣象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長公式和扇形面積公式的運用是學習三角函數(shù)的基礎(chǔ)2三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標法和單位圓法 四、課堂練習一、選擇題1點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2y21逆時針方向運動弧長到達Q，則Q的坐標為（ ） A(，) B(，) C(，) D(，)2若0x和cos x同時成立的x的取值范圍是 ()A.x B.x C.x D.x3已知為第三象限的角，則所在的象限是 ()A第一或第二象限 B第二或第三象限 C第一或第三象限 D第二或第四象限4若1

6、弧度的圓心角所對弦長等于2，則這個圓心角所對的弧長等于 ()Asin B. C. D2sin 5已知且sin cos a，其中a(0,1)，則關(guān)于tan 的值，以下四個答案中，可能正確的是 A3 B3或 C D3或二、填空題6已知點P(sin cos ，tan )在第一象限，且0,2，則的取值范圍是_7已知點P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為_8閱讀下列命題：若點P(a,2a) (a0)為角終邊上一點，則sin ；同時滿足sin ，cos 的角有且只有一個；設(shè)tan 且0 (為象限角)，則在第一象限其中正確命題為_(將正確命題的序號填在橫線上)三、解答題9已知扇形OAB的圓心角為120，半

7、徑長為6，(1)求的弧長； (2)求弓形OAB的面積10在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：(1)sin ； (2)cos .11已知角終邊經(jīng)過點P(x，) (x0)，且cos x.求sin 的值同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導公式一、自主梳理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：_. (2)商數(shù)關(guān)系：_.2誘導公式(1)sin(2k)_，cos(2k)_，tan(2k)_，kZ.(2)sin()_，cos()_，tan()_.(3)sin()_，cos()_，tan()_.(4)sin()_，cos()_，tan()_.(5)sin_，cos_.(6)sin_，c

8、os_.3誘導公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為：上述過程體現(xiàn)了化歸的思想方法4、自我檢測1cos 300等于 ()A B C. D.2若3sin cos 0，則的值為 ()A. B. C. D23是第一象限角，tan ，則sin 等于()A. B. C D4cos()sin()的值是()A. B C0 D.5已知cos()，則sin()_.二、考點分析探究點一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡、求值例1已知x0，0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則為()A1B2C3D42函數(shù)ysin圖象的對稱軸方程可能是 ()AxBx CxDx3函數(shù)f(x)sin，xR的最小正周期為

9、()A.BC2D44函數(shù)f(x)(sin xcos x)2cos 2x的最小正周期為 ()A4B3C2D5如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么|的最小值為 ()A.B.C.D.二、考點分析探究點一求三角函數(shù)的定義域例1求函數(shù)y的定義域變式遷移1函數(shù)ylg(2sin x1)的定義域為_探究點二三角函數(shù)的單調(diào)性例2求函數(shù)y2sin的單調(diào)區(qū)間變式遷移2(1)求函數(shù)ysin，x，的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)y3tan的周期及單調(diào)區(qū)間探究點三三角函數(shù)的值域與最值例3已知函數(shù)f(x)2asin(2x)b的定義域為0，函數(shù)的最大值為1，最小值為5，求a和b的值變式遷移3設(shè)函數(shù)f(x)acos

10、 xb的最大值是1，最小值是3，試確定g(x)bsin(ax)的周期三、知識擴展轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例求下列函數(shù)的值域：(1)y2sin2x2cos x2； (2)y3cos xsin x，x0，； (3)ysin xcos xsin xcos x.【突破思維障礙】1對于形如f(x)Asin(x)，xa，b的函數(shù)在求值域時，需先確定x的范圍，再求值域同時，對于形如yasin xbcos xc的函數(shù)，可借助輔助角公式，將函數(shù)化為ysin(x)c的形式，從而求得函數(shù)的最值2關(guān)于yacos2xbcos xc(或yasin2xbsin xc)型或可以為此型的函數(shù)求值域，一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值

11、域問題提醒：不論用什么方法，切忌忽略函數(shù)的定義域四、課堂小結(jié)1熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)是研究三角問題的基礎(chǔ)，三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上就是解最簡單的三角不等式(組)2三角函數(shù)的值域問題，實質(zhì)上是含有三角函數(shù)的復合函數(shù)的值域問題3函數(shù)yAsin(x) (A0，0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把x看作一個整體，利用ysin x的單調(diào)區(qū)間來求 五、課堂練習一、選擇題1已知函數(shù)ysin x的定義域為a，b，值域為1，則ba的值不可能是 () A.B.CD.2已知函數(shù)ytan x (0)與直線ya相交于A、B兩點，且|AB|最小值為，

12、則函數(shù)f(x)sin xcos x的單調(diào)增區(qū)間是 ()A. (kZ) B. (kZ)C. (kZ) D. (kZ)3函數(shù)f(x)tan x (0)的圖象的相鄰的兩支截直線y所得線段長為，則f的值是()A0B1C1D.4函數(shù)yxcos x的部分圖象是圖中 ()5若函數(shù)ysin xf(x)在，上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)可以是()A1Bcos x Csin xDcos x二、填空題6設(shè)點P是函數(shù)f(x)sin x的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是，則f(x)的最小正周期是_7函數(shù)f(x)2sin 對于任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，則|x1x2|的最小值為_

13、8定義在區(qū)間上的函數(shù)y6cos x的圖象與y5tan x的圖象的交點為P，過點P作PP1x軸于點P1，直線PP1與ysin x的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為_三、解答題(共38分)9已知函數(shù)f(x)，求它的定義域和值域，并判斷它的奇偶性10已知函數(shù)f(x)2sin(x)a(0)與g(x)2cos(2x)1的圖象的對稱軸完全相同(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當x0，時，f(x)的最小值為2，求a的值11已知向量a(sin x，2sin x)，b(2cos x，sin x)，定義f(x)ab.(1)求函數(shù)yf(x)，xR的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若

14、函數(shù)yf(x) (00，0)的圖象可由函數(shù)ysin x的圖象作如下變換得到：（1）相位變換：ysin xysin(x)，把ysin x圖象上所有的點向_(0)或向_(0)平行移動_個單位（2）周期變換：ysin (x)ysin(x)，把ysin(x)圖象上各點的橫坐標_(01)到原來的_倍(縱坐標不變)（3）振幅變換：ysin (x)yAsin(x)，把ysin(x)圖象上各點的縱坐標_(A1)或_(0A0，0)，x(，)表示一個振動量時，則_叫做振幅，T_叫做周期，f_叫做頻率，_叫做相位，_叫做初相函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為_yAtan(x)的最小正周期為_4自我檢測1要得到函數(shù)y

15、sin的圖象，可以把函數(shù)ysin 2x的圖象()A向左平移個單位 B向右平移個單位 C向左平移個單位 D向右平移個單位2已知函數(shù)f(x)sin (xR，0)的最小正周期為.將yf(x)的圖象向左平移|個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則的一個值是 ()A.B.C.D.3已知函數(shù)f(x)sin(x)(xR，0)的最小正周期為，為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象 ()A向左平移個單位長度 B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度 D向右平移個單位長度4函數(shù)ysin的一條對稱軸方程是 ()AxBx CxDx5若動直線xa與函數(shù)f(x)sin x和g(x)cos x的圖象分別

16、交于M、N兩點，則|MN|的最大值為() A1 B. C. D2二、考點分析探究點一三角函數(shù)的圖象及變換例1已知函數(shù)y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象；(3)說明y2sin的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到變式遷移1設(shè)f(x)cos2xsin xcos xsin2x (xR)(1)畫出f(x)在上的圖象； (2)求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間；(3)如何由ysin x的圖象變換得到f(x)的圖象？探究點二求yAsin(x)的解析式例2已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A0，0，|0，0，|0，0)的圖象如圖所示，f()，則f(0)等于()

17、A B CD5若函數(shù)yAsin(x)m(A0，0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對稱軸，則它的解析式是 ()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2Dy2sin2二、填空題6已知函數(shù)ysin(x) (0，0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對稱軸完全相同若x，則f(x)的取值范圍是_三、解答題9已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，|0，00)的最小正周期為，(1)求的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)yg(x)在區(qū)間上的最小值兩角和與差的正弦、余弦和正切公式一、自主梳理1(1)兩角和與

18、差的余弦(，均不等于k，kZ)cos()_， cos()_. (2)兩角和與差的正弦sin()_，sin()_.(3)兩角和與差的正切tan()_，tan()_.其變形為：tan tan tan()(1tan tan )， tan tan tan()(1tan tan )2輔助角公式asin bcos sin()，其中角稱為輔助角3自我檢測1計算sin 43cos 13cos 43sin 13的結(jié)果等于 ()A.B.C.D.2已知cossin ，則sin的值是 ()AB.CD.3函數(shù)f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期是 ()A.BC2D44設(shè)0cos ，則的取值范圍是 ()A.B.

19、C.D.5已知向量a(sin x，cos x)，向量b(1，)，則|ab|的最大值為()A1B.C3D9二、考點分析探究點一給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡、求值)例1求值：(1)2sin 50sin 10(1tan 10)； (2)sin(75)cos(45)cos(15)變式遷移1求值：(1)； (2)tan()tan()tan()tan()探究點二給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值)例2已知0，cos，sin，求sin()的值變式遷移2已知tan2，tan .(1)求tan 的值； (2)求的值探究點三給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的值)例3已知0，ta

20、n ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值變式遷移3若sin A，sin B，且A、B均為鈍角，求AB的值三、知識擴展轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值； (2)若0，且sin ，求sin 的值四、課堂小結(jié)1轉(zhuǎn)化思想是實施三角變換的主導思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換，冪的升降變換等等2變換則必須熟悉公式分清和掌握哪些公式會實現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個公式的相互聯(lián)系和適用條件3恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化4基本技巧：切割化弦，

21、異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)，化為同次冪，化為比例式，化為常數(shù) 五、課堂練習一、選擇題1已知sinsin ，則cos等于 ()ABC.D.2已知cossin ，則sin的值是 ()AB.CD.3已知向量a，b(4,4cos )，若ab，則sin等于()AB C. D.4函數(shù)ysin xcos x圖象的一條對稱軸方程是 ()Ax Bx Cx Dx5在ABC中，3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，則C的大小為 ()A.B. C.或D.或二、填空題6如圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點P(點P不在C上)且半徑相等設(shè)第i段弧所對的

22、圓心角為i (i1,2,3)，則cos cos sin sin _.7設(shè)sin ，tan()，則tan()_.8已知tan 、tan 是方程x23x40的兩根，且、，則tan()_，的值為_三、解答題9 (1)已知，且sin()，cos .求sin ；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值10 (1)證明兩角和的余弦公式C()：cos()cos cos sin sin ；由C()推導兩角和的正弦公式S()：sin()sin cos cos sin .（2）已知ABC的面積S=，3，且cos B，求cos C.11設(shè)函數(shù)f(x)ab，其中向量a(2cos x,1)，b(cos x

23、，sin 2x)，xR.(1)若函數(shù)f(x)1，且x，求x；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間，并在給出的坐標系中畫出yf(x)在區(qū)間0，上的圖象簡單的三角恒等變換一、自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_ (且k)2公式的逆向變換及有關(guān)變形(1)sin cos _cos ；(2)降冪公式：sin2_，cos2_；升冪公式：1cos _，1cos _；變形：1sin 2sin2cos22sin cos _.3、自我檢測1函數(shù)f(x)2sin xcos x是 ()A最小正周期為2的奇函數(shù) B最小正周期為2的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函

24、數(shù) D最小正周期為的偶函數(shù)2函數(shù)f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分別為 ()A3,1 B2,2 C3， D2，3函數(shù)f(x)sin xcos x的最小值是 ()A1BC.D14已知A、B為直角三角形的兩個銳角，則sin Asin B ()A有最大值，最小值0 B有最小值，無最大值C既無最大值也無最小值 D有最大值，無最小值二、考點分析探究點一三角函數(shù)式的化簡例1求函數(shù)y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值變式遷移1已知函數(shù)f(x).(1)求f的值； (2)當x時，求g(x)f(x)sin 2x的最大值和最小值探究點二三角函數(shù)式的求值例2已知sin(2

25、)sin(2)，(，)，求2sin2tan 1的值變式遷移2(1)已知是第一象限角，且cos ，求的值(2)已知cos()，求cos(2)的值探究點三三角恒等式的證明例3已知sin(2)3sin ，設(shè)tan x，tan y，記yf(x)(1)求證：tan()2tan ； (2)求f(x)的解析表達式；(3)若角是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域變式遷移3求證：.三、知識擴展轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例已知函數(shù)f(x)sin2xmsinsin.(1)當m0時，求f(x)在區(qū)間上的取值范圍； (2)當tan 2時，f()，求m的值1求值中主要有三類求值問題：(1)“給角求值”：一般所給出的角

26、都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角2三角恒等變換的常用方法、技巧和原則：(1)在化簡求值和證明時常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，

27、是的二倍角等(3)化繁為簡：變復角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有理式消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異 一、選擇題1已知0，3sin 2sin ，則cos()等于 ()A.BC.D2已知tan()，tan，那么tan等于 ()A.B.C.D.3已知cos 2 (其中，則sin 的值為 ()A.BC.D4若f(x)2tan x，則f的值為 ()AB8 C4D45在ABC中，若cos 2B3cos(AC)20，則sin B的值是()A.B.C.D1二、填空題6已知為第二象限的角，且sin ，則tan 2_.7函數(shù)y2cos2xsin 2x的最小值是_8若，則cos sin 的值為_三、解答題(共38分)9化簡：(1)cos 20cos 40cos 60cos 80； (2).10設(shè)函數(shù)f(x)sin xcos xcos xsin.(1)求f(x)的最小正周期；(2)當時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值11已知函數(shù)f(x)2cos 2xsi