平面的點(diǎn)法式方程

1、xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程n第七節(jié)第七節(jié) 平面及其方程平面及其方程,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上

2、方程稱為平面的方程，點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點(diǎn)已知點(diǎn)).,(000zyx例例 1 1 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn))4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 015914 zyx例例 2 2 求過點(diǎn)求過點(diǎn))1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程

3、.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平

4、行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.例例 3 3 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn))2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 D由由平平面面過過點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與z

5、yx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個(gè)個(gè)單單

6、位位的的平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 Dz

7、CyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(222223

8、1)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點(diǎn)點(diǎn)，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()