實(shí)驗(yàn)1一元函數(shù)的圖形(基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn))

1、實(shí)驗(yàn)一 一元函數(shù)微分學(xué)實(shí)驗(yàn)1 一元函數(shù)的圖形（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)） 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?通過(guò)圖形加深對(duì)函數(shù)及其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解, 掌握運(yùn)用函數(shù)的圖形來(lái)觀察和分析函數(shù)的有關(guān)特性與變化趨勢(shì)的方法,建立數(shù)形結(jié)合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲線圖性的方法與技巧. 基本命令1. 在平面直角坐標(biāo)系中作一元函數(shù)圖形的命令Plot: Plotfx,x,min,max,選項(xiàng)Plot有很多選項(xiàng)(Options), 可滿足作圖時(shí)的種種需要, 例如,輸入Plotx2,x,-1,1,AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor1,0,0,PlotPoints->30則輸出在區(qū)間上的

2、圖形. 其中選項(xiàng)AspectRatio->1使圖形的高與寬之比為1. 如果不輸入這個(gè)選項(xiàng), 則命令默認(rèn)圖形的高寬比為黃金分割值. 而選項(xiàng)PlotStyle->RGBColor1,0,0使曲線采用某種顏色. 方括號(hào)內(nèi)的三個(gè)數(shù)分別取0與1之間. 選項(xiàng)PlotPoints->30令計(jì)算機(jī)描點(diǎn)作圖時(shí)在每個(gè)單位長(zhǎng)度內(nèi)取30個(gè)點(diǎn), 增加這個(gè)選項(xiàng)會(huì)使圖形更加精細(xì).Plot命令也可以在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出幾個(gè)函數(shù)的圖形, 只要用集合的形式f1x,f2x,代替fx.2.利用曲線參數(shù)方程作出曲線的命令ParametricPlot:ParametricPlotgt,ht,t,min,max,選項(xiàng)其中

3、是曲線的參數(shù)方程. 例如,輸入ParametricPlotCost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio->1則輸出單位圓的圖形.3. 利用極坐標(biāo)方程作圖的命令PolarPlot如果想利用曲線的極坐標(biāo)方程作圖, 則要先打開(kāi)作圖軟件包. 輸入<<GraphicsGraphics執(zhí)行以后, 可使用PolarPlot命令作圖. 其基本格式為PolarPlotrt,t,min,max,選項(xiàng)例如曲線的極坐標(biāo)方程為要作出它的圖形. 輸入PolarPlot3 Cos3 t, t,0,2 Pi便得到了一條三葉玫瑰線.4. 隱函數(shù)作圖命令I(lǐng)mplicitPlot這里同樣要先打開(kāi)作

4、圖軟件包, 輸入<<GraphicsImplicitPlot.m命令I(lǐng)mplicitPlot的基本格式為ImplicitPlot隱函數(shù)方程, 自變量的范圍, 作圖選項(xiàng)例如方程確定了y是x的隱函數(shù). 為了作出它的圖形, 輸入ImplicitPlot(x2+y2)2=x2-y2,x,-1,1輸出圖形是一條雙紐線.5. 定義分段函數(shù)的命令Which8 / 16命令Which的基本格式為Which測(cè)試條件1, 取值1, 測(cè)試條件2, 取值2,例如, 輸入wx_=Whichx<0,-x,x>=0,x2雖然輸出的形式與輸入沒(méi)有改變, 但已經(jīng)定義好了分段函數(shù):現(xiàn)在可以對(duì)分段函數(shù)求函數(shù)

5、值, 也可作出函數(shù)的圖形.實(shí)驗(yàn)舉例初等函數(shù)的圖形例1.1 作出指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形.輸入命令PlotExpx,x,-2,2則輸出指數(shù)函數(shù)的圖形.輸入命令PlotLogx,x,0.001,5,PlotRange->0,5,-2.5,2.5,AspectRatio->1則輸出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形.注：PlotRange->0,5,-2.5,2.5是顯示圖形范圍的命令. 第一組數(shù)0,5是描述x的, 第二組數(shù)-2.5,2.5是描述y的.注：有時(shí)要使圖形的x軸和y軸的長(zhǎng)度單位相等, 需要同時(shí)使用PlotRange和AspectRatio兩個(gè)選項(xiàng). 本例中輸出的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形的兩個(gè)坐標(biāo)軸的

6、長(zhǎng)度單位就是相等的. 例1.2 作出函數(shù)和的圖形觀察其周期性和變化趨勢(shì). 為了比較, 我們把它們的圖形放在一個(gè)坐標(biāo)系中. 輸入命令PlotSinx,Cscx,x,-2 Pi,2 Pi,PlotRange->-2 Pi,2 Pi,PlotStyle->GrayLevel0,GrayLeve10.5, AspectRatio->1 注：PlotStyle->GrayLeve10,GrayLeve10.5是使兩條曲線分別具有不同的灰度的命令.例1.3 作出函數(shù)和的圖形觀察其周期性和變化趨勢(shì).輸入命令PlotTanx,Cotx,x,-2 Pi,2 Pi,PlotRange-&g

7、t;-2 Pi,2 Pi,PlotStyle->GrayLeve10,GrayLeve10.5,AspectRatio->1例1.4 將函數(shù)的圖形作在同一坐標(biāo)系內(nèi), 觀察直接函數(shù)和反函數(shù)的圖形間的關(guān)系.輸入命令p1=PlotArcSinx,x,-1,1;p2=PlotSinx,x,-Pi/2,Pi/2,PlotStyle->GrayLeve10.5;px=Plotx,x,-Pi/2,Pi/2,PlotStyle->Dashing0.01;Showp1,p2,px,PlotRange->-Pi/2,Pi/2,-Pi/2,Pi/2,AspectRatio->1則

8、可以看到函數(shù)和它的反函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系中的圖形是關(guān)于直線對(duì)稱的.注 Show命令把稱為p1,p2和px的三個(gè)圖形疊加在一起顯示. 選項(xiàng)PlotStyle->Dashing0.01使曲線的線型是虛線.例1.5 (教材 例1.1) 給定函數(shù)(a) 畫出在區(qū)間上的圖形;(b) 畫出區(qū)間上與的圖形.輸入命令fx_=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2);g1=Plotfx,x,-4,4,PlotStyle->RGBColor1,0,0;則輸出在區(qū)間上的圖形.輸入命令g2=PlotSinxfx,x,-4,4,PlotStyle->RGBColor0,1,0;Showg1,g2;

9、則輸出區(qū)間上與的圖形.注: Show命令把稱為g1與g2二個(gè)圖形疊加在一起顯示. 例1.6 在區(qū)間畫出函數(shù)的圖形.輸入命令PlotSin1/x,x,-1,1;則輸出所求圖形，從圖中可以看到函數(shù)在附近來(lái)回震蕩. 二維參數(shù)方程作圖 例1.7 作出以參數(shù)方程所表示的曲線的圖形.輸入命令ParametricPlot2 Cost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio->Automatic則可以觀察到這是一個(gè)橢圓. 注 在ParametricPlot命令中選項(xiàng)AspectRatio->Automatic與選項(xiàng)AspectRatio->1是等效的. 例1.8分別作出星形線和擺

10、線 的圖形.輸入命令ParametricPlot2 Cost3,2 Sint3,t,0,2 Pi,AspectRatio->AutomaticParametricPlot2*(t-Sint),2*(1-Cost),t,0,4 Pi,AspectRatio->Automatic則可以分別得到星形線和擺線的圖形. 例1.9 畫出參數(shù)方程的圖形：輸入命令ParametricPlotCos5 tCost,SintCos3t,t,0,Pi,AspectRatio->Automatic;則分別輸出所求圖形.例1.10 (教材 例1.2) 畫出以下參數(shù)方程的圖形.(1) (2) 分別輸入以

11、下命令:ParametricPlot5Cos-11/5t+7Cost,5Sin-11/5t+7Sint,t,0,10Pi,AspectRatio->Automatic;ParametricPlot(1+Sint-2 Cos4*t)*Cost,Sint,t,0,2*Pi, AspectRatio->Automatic,Axes->None;則分別輸出所求圖形.例1.11 作出極坐標(biāo)方程為的曲線的圖形.曲線用極坐標(biāo)方程表示時(shí), 容易將其轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程. 故也可用命令ParametricPlot來(lái)作極坐標(biāo)方程表示的圖形. 輸入命令rt_=2*(1-Cost);ParametricP

12、lotrt*Cost,rt*Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio->1可以觀察到一條心臟線.極坐標(biāo)方程作圖例1.12 (教材 例1.3) 作出極坐標(biāo)方程為的對(duì)數(shù)螺線的圖形.輸入命令<<Graphics執(zhí)行以后再輸入PolarPlotExpt/10,t,0,6 Pi則輸出為對(duì)數(shù)螺線的圖形.隱函數(shù)作圖例1.13 (教材 例1.4) 作出由方程所確定的隱函數(shù)的圖形(笛卡兒葉形線).輸入命令<<GraphicsImplicitPlot.m執(zhí)行以后再輸入ImplicitPlotx3+y3=3x*y,x,-3,3輸出為笛卡兒葉形線的圖形.分段函數(shù)作圖例1.14

13、分別作出取整函數(shù)和函數(shù)的圖形.輸入命令PlotFloorx,x,-4,4可以觀察到取整函數(shù)的圖形是一條階梯形曲線.輸入命令Plotx-Floorx,x,-4,4得到函數(shù)的圖形, 這是鋸齒形曲線（注意: 它是周期為1的周期函數(shù).）例1.15 作出符號(hào)函數(shù)的圖形.輸入命令PlotSignx,x,-2,2就得到符號(hào)函數(shù)的圖形. 點(diǎn)是它的跳躍間斷點(diǎn). 一般分段函數(shù)可以用下面的方法定義. 例如，對(duì)本例輸入 gx_: = -1/; x<0; gx_: = 0/; x=0; gx_: = 1/; x>0; Plotgx,x,-2,2便得到上面符號(hào)函數(shù)的圖形. 其中組合符號(hào)“/；”的后面給出前面表

14、達(dá)式的適用條件例1.16 (教材 例1.5) 作出分段函數(shù)的圖形.輸入命令hx_:=Whichx<=0,Cosx,x>0,ExpxPlothx,x,-4,4則輸出所求圖形.注:一般分段函數(shù)也可在組合符號(hào)“/;”的后面來(lái)給出前面表達(dá)式的適用條件. 例1.17 (教材 例1.6) 作出分段函數(shù)的圖形.輸入命令fx_:=x2Sin1/x/;x!=0;fx_:=0/;x=0;Plotfx,x,-1,1;則輸出所求圖形. 函數(shù)性質(zhì)的研究 例1.18 研究函數(shù)在區(qū)間上圖形的特征.輸入命令Plotx5+3Ex+Log3,3-x,x,-2,2;則輸出所求圖形. 由圖形容易看出, 從左到右, 圖形漸

15、漸上升. 因而是增函數(shù).例1.19 判斷函數(shù)是否為周期函數(shù).任選一個(gè)較大的范圍, 如取, 在此區(qū)間上畫出函數(shù)的圖形如圖所示.PlotSin2Pi x+Cos2Pi x,x,-4,4;可以看出函數(shù)的圖形以某一寬度以單位重復(fù)出現(xiàn).例1.20 判斷函數(shù)的反函數(shù)的存在性. 若存在, 求反函數(shù)的表達(dá)式, 并畫出起圖形.先解方程 求x. 輸入命令Solvey=x3+3x2+3x+1,x;因此, 所求反函數(shù)為 再輸入命令Plot-1+x(1/3),x,-3,3;則輸出反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖形.注：若一個(gè)函數(shù)滿足: 一個(gè)y對(duì)應(yīng)著一個(gè)x, 則其反函數(shù)一定存在,且在表達(dá)式中將y換成常量求解x, 即將所的表達(dá)式中y換成

16、x, x換成y即得到反函數(shù)的表達(dá)式.作函數(shù)圖形的動(dòng)畫例1.21 制作函數(shù)的圖形動(dòng)畫, 觀察參數(shù)c對(duì)函數(shù)圖形的影響.輸入命令.DoPlotSinc x,x,-Pi,Pi,PlotRange->-1,1,c,1,4,1/3;則輸出圖形動(dòng)畫.例1.22 (教材 例1.7) 作出函數(shù)的圖形動(dòng)畫,觀察參數(shù)c對(duì)函數(shù)圖形的影響.輸入命令DoPlotx2+Sinc x,x,-3,3,PlotRange->-1,5,c,1,5,1/3;則輸出所求動(dòng)畫圖形. 實(shí)驗(yàn)習(xí)題1. 把正切函數(shù)和反正切函數(shù)的圖形及其水平漸近線和直線用不同的線型畫在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi).2. 作出雙曲正切函數(shù)的圖形.3. 輸入以下命令P

17、lotSinx,Sin2 x,Sin3 x,x,0,2 Pi, PlotStyle->RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,1理解選項(xiàng)的含義.4. 為觀察復(fù)合函數(shù)的情況,分別輸入以下命令:PlotSqrt1+x2,x,-6,6,PlotStyle->Dashing0.02,0.01PlotSinCosSinx,x,-Pi,PiPlotSinTanx-TanSinx/x2,x,-5,5PlotEx,ArcTanx,EArcTanx,x,-5,55. 觀察函數(shù)的疊加, 輸入以下命令:a1=Plotx,x,-5,5,PlotStyle->R

18、GBColor0,1,0a2=Plot2 Sinx,x,-5,5,PlotStyle->RGBColor1,1,0a3=Plotx+2 Sinx,x,-5,5,PlotStyle->RGBColor1,0,0Showa1,a2,a36. 分別用ParametricPlot和PolarPlot兩種命令, 作出五葉玫瑰線的圖形.7. 用ImplicitPlot命令作出橢圓的圖形.8. 選擇以下命令的一部分輸入, 欣賞和研究極坐標(biāo)作圖命令輸出的圖形.PolarPlotCost/2,t,0,4 PiPolarPlot1-2 Sin5 t,t,0,2 PiPolarPlotCost/4,t,0,8 PiPolarPlott*Cost,t,0,8,PiPolarPlott(-3/2),t,0,8 PiPolarPlot2 Cos3 t,t,0,PiPolarPlot1-2 S