大學(xué)高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)(習(xí)題精講)

1、第1章 函 數(shù)第1章 函 數(shù)§1.1 函數(shù)的概念與性質(zhì)1. 絕對(duì)值與不等式（，）（1）； （2）（調(diào)和平均值幾何平均值算術(shù)平均值）一般地，（3）；2. 函數(shù)概念與性質(zhì) 對(duì)變量的每一個(gè)確定值，變量按某確定規(guī)則，都有且只有一確定值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量是變量的函數(shù)，記為，。注意：定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則是函數(shù)相等的兩要素。（1）無(wú)關(guān)性 （2）單調(diào)性 ；（3）奇偶性 注意：函數(shù)的奇偶性是相對(duì)于對(duì)稱區(qū)間而言，若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則不是奇/偶函數(shù)。（4）周期性 若，則稱為的周期。（5）有界性 若，則稱在上有界。常用有界函數(shù)：，；，；，3. 復(fù)合函數(shù) 設(shè)的定義域?yàn)?，的值域?yàn)椋遥占?，則稱為的復(fù)合函數(shù)

2、。4. 反函數(shù) 設(shè)注意：正反函數(shù)的圖形對(duì)稱于直線；嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)； ； 5. 初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次復(fù)合而成的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。基本初等函數(shù)：冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）；指數(shù)函數(shù)（，）；對(duì)數(shù)函數(shù)（，）；三角函數(shù)，；反三角函數(shù)，. 分段函數(shù)與冪指函數(shù)分段函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)，因?yàn)橐话阍谄涠x域內(nèi)不能用一個(gè)解析式表示；冪指函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)，因?yàn)樗鼰o(wú)法用初等函數(shù)復(fù)合而成；但若規(guī)定，則，是初等函數(shù)。§1.2 典型例題解析例3 已知不等式，用區(qū)間表示不等式的解集分析 解此不等式應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)，由于，分別為，的零值點(diǎn)，于是將區(qū)間劃分為

3、，再考慮各小區(qū)間的取值范圍及端點(diǎn)，最后綜合得出結(jié)論。解法1 解法2 1. 函數(shù)定義域的求法解題思路 （1）分式的分母，對(duì)數(shù)的真數(shù)，偶次方根下的表達(dá)式，反正弦、反余弦號(hào)內(nèi)的表達(dá)式絕對(duì)值；（2）復(fù)合函數(shù)的定義域簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域所構(gòu)成的不等式組的解集。例4 求下列函數(shù)的定義域（1）；解 （2）已知的定義域是，試求 的定義域解 的定義域： 的定義域： ；的定義域：當(dāng)，時(shí)，定義域?yàn)榭占?；?dāng)，時(shí)，定義域?yàn)?；故取交集定義域?yàn)?. 函數(shù)解析式的求法解題思路 （1）將已知變量湊成與內(nèi)的中間變量一致的形式，利用函數(shù)的無(wú)關(guān)特性求解；（2）對(duì)內(nèi)作變量代換，再利用無(wú)關(guān)特性與原方程聯(lián)立求解。（3）由的表達(dá)式求的一般方法是

4、令，從中解出，將其代入中可得例5 求下列函數(shù)解析式（2）已知，, 求；解 令代入原式得 ，則 （3）已知,求；解法1 令，則 解法2 將換成，得，和原式相加得令，則 例6 求下列函數(shù)解析式（1）已知，的定義域?yàn)?，且，求?令，且，則 （）（2）已知，求解 令， ，則 3. 利用定義確定函數(shù)的有關(guān)特性解題思路 （1）若，則為奇函數(shù)；（2）若是的周期，則的周期為；若，分別是以，為周期的函數(shù)，則的周期為，的最小公倍數(shù)。（3）將函數(shù)取絕對(duì)值，由不等式的縮放法或求函數(shù)的最值確定函數(shù)的有界性；（4）若，且，則可確定單增性。例7 設(shè)，求，的奇偶性解 設(shè)，由于，分別令，得 即為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)。例8 設(shè)在上

5、有定義，證明：可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和，且表示法唯一分析 若，則有，由此引入輔助函數(shù)證 設(shè)，故為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且唯一性：設(shè)另有偶函數(shù)及奇函數(shù)使得，則 解得，即表示法唯一。例9 證明下列函數(shù)為周期函數(shù)，并求其最小正周期（1）解法1 由于的周期為，故所求周期為解法2 ，（2）解 例11 設(shè)在上有定義，證明：（1）若的圖形關(guān)于直線對(duì)稱，則；（2）若的圖形關(guān)于直線，對(duì)稱，則是周期的偶函數(shù)。分析（1）若的圖形關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為與，則， 反之，若，則關(guān)于直線對(duì)稱證（1）必要性：，有，則充分性：若，有，則（2）由題設(shè)知，則故是以2為周期的偶函數(shù)例12 判斷下列函數(shù)的有界性（1）解 由，有，則 例13 設(shè)（），證明：（1）若是的單減函數(shù)，則；（2）若是的單減函數(shù)，則；（3）（）證（1）由題設(shè)知， ，由于單減，有，則（2）由于單減，有，則， （3）令，則例14 求下列函數(shù)的反函數(shù)分析：求分段函數(shù)的反函數(shù)，要注意的不同取值范圍對(duì)應(yīng)原來(lái)函數(shù)的值域（2）解 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)， 的值域?yàn)?故 例15 在底為，高為的三角形中內(nèi)接一矩形，將矩形面積表示為其底的函數(shù)。解 設(shè)矩