大學(xué)高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)(習(xí)題精講)

1、第1章 函 數(shù)第1章 函 數(shù)§1.1 函數(shù)的概念與性質(zhì)1. 絕對值與不等式（，）（1）； （2）（調(diào)和平均值幾何平均值算術(shù)平均值）一般地，（3）；2. 函數(shù)概念與性質(zhì) 對變量的每一個確定值，變量按某確定規(guī)則，都有且只有一確定值與之對應(yīng)，則稱變量是變量的函數(shù)，記為，。注意：定義域和對應(yīng)規(guī)則是函數(shù)相等的兩要素。（1）無關(guān)性 （2）單調(diào)性 ；（3）奇偶性 注意：函數(shù)的奇偶性是相對于對稱區(qū)間而言，若定義域關(guān)于原點不對稱，則不是奇/偶函數(shù)。（4）周期性 若，則稱為的周期。（5）有界性 若，則稱在上有界。常用有界函數(shù)：，；，；，3. 復(fù)合函數(shù) 設(shè)的定義域為，的值域為，且（空集），則稱為的復(fù)合函數(shù)

2、。4. 反函數(shù) 設(shè)注意：正反函數(shù)的圖形對稱于直線；嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)； ； 5. 初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次復(fù)合而成的，并能用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。基本初等函數(shù)：冪函數(shù)（為實數(shù)）；指數(shù)函數(shù)（，）；對數(shù)函數(shù)（，）；三角函數(shù)，；反三角函數(shù)，. 分段函數(shù)與冪指函數(shù)分段函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)，因為一般在其定義域內(nèi)不能用一個解析式表示；冪指函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)，因為它無法用初等函數(shù)復(fù)合而成；但若規(guī)定，則，是初等函數(shù)。§1.2 典型例題解析例3 已知不等式，用區(qū)間表示不等式的解集分析 解此不等式應(yīng)先去掉絕對值符號，由于，分別為，的零值點，于是將區(qū)間劃分為

3、，再考慮各小區(qū)間的取值范圍及端點，最后綜合得出結(jié)論。解法1 解法2 1. 函數(shù)定義域的求法解題思路 （1）分式的分母，對數(shù)的真數(shù)，偶次方根下的表達式，反正弦、反余弦號內(nèi)的表達式絕對值；（2）復(fù)合函數(shù)的定義域簡單函數(shù)的定義域所構(gòu)成的不等式組的解集。例4 求下列函數(shù)的定義域（1）；解 （2）已知的定義域是，試求 的定義域解 的定義域： 的定義域： ；的定義域：當(dāng)，時，定義域為空集；當(dāng)，時，定義域為；故取交集定義域為2. 函數(shù)解析式的求法解題思路 （1）將已知變量湊成與內(nèi)的中間變量一致的形式，利用函數(shù)的無關(guān)特性求解；（2）對內(nèi)作變量代換，再利用無關(guān)特性與原方程聯(lián)立求解。（3）由的表達式求的一般方法是

4、令，從中解出，將其代入中可得例5 求下列函數(shù)解析式（2）已知，, 求；解 令代入原式得 ，則 （3）已知,求；解法1 令，則 解法2 將換成，得，和原式相加得令，則 例6 求下列函數(shù)解析式（1）已知，的定義域為，且，求解 令，且，則 （）（2）已知，求解 令， ，則 3. 利用定義確定函數(shù)的有關(guān)特性解題思路 （1）若，則為奇函數(shù)；（2）若是的周期，則的周期為；若，分別是以，為周期的函數(shù)，則的周期為，的最小公倍數(shù)。（3）將函數(shù)取絕對值，由不等式的縮放法或求函數(shù)的最值確定函數(shù)的有界性；（4）若，且，則可確定單增性。例7 設(shè)，求，的奇偶性解 設(shè)，由于，分別令，得 即為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)。例8 設(shè)在上

5、有定義，證明：可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，且表示法唯一分析 若，則有，由此引入輔助函數(shù)證 設(shè)，故為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且唯一性：設(shè)另有偶函數(shù)及奇函數(shù)使得，則 解得，即表示法唯一。例9 證明下列函數(shù)為周期函數(shù)，并求其最小正周期（1）解法1 由于的周期為，故所求周期為解法2 ，（2）解 例11 設(shè)在上有定義，證明：（1）若的圖形關(guān)于直線對稱，則；（2）若的圖形關(guān)于直線，對稱，則是周期的偶函數(shù)。分析（1）若的圖形關(guān)于直線對稱點為與，則， 反之，若，則關(guān)于直線對稱證（1）必要性：，有，則充分性：若，有，則（2）由題設(shè)知，則故是以2為周期的偶函數(shù)例12 判斷下列函數(shù)的有界性（1）解 由，有，則 例13 設(shè)（），證明：（1）若是的單減函數(shù)，則；（2）若是的單減函數(shù)，則；（3）（）證（1）由題設(shè)知， ，由于單減，有，則（2）由于單減，有，則， （3）令，則例14 求下列函數(shù)的反函數(shù)分析：求分段函數(shù)的反函數(shù)，要注意的不同取值范圍對應(yīng)原來函數(shù)的值域（2）解 當(dāng)時，的值域為 當(dāng)時， 的值域為 故 例15 在底為，高為的三角形中內(nèi)接一矩形，將矩形面積表示為其底的函數(shù)。解 設(shè)矩