微積分小論文

1、 微積分中的“輔助線” PB09203XXX摘要：在微積分的學(xué)習(xí)與作業(yè)中，不難發(fā)現(xiàn)在一些等式的證明中，常毫無思路，看了答案之后拍案驚奇。一些變化仿佛橫空出世，添加一項(xiàng)或是減去一項(xiàng)，或整個(gè)變換形式，通過輔助函數(shù)。這便是構(gòu)造。構(gòu)造函數(shù)法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其構(gòu)造方法思路也是多種多樣的，通過整理，綜合構(gòu)造函數(shù)法在一些著名的定理，公式以及經(jīng)典例題的運(yùn)用，嘗試找出如何構(gòu)造輔助函數(shù)的幾種方法，并通過這些方法在一些具體實(shí)例中的運(yùn)用歸納出構(gòu)造函數(shù)法的一些思路。關(guān)鍵詞：微積分 輔助函數(shù) 等式 微分中值定理 構(gòu)造 在以往的學(xué)習(xí)中無論是數(shù)學(xué)還是物理，遇到難題沒有一點(diǎn)思路，最后一般我們都是采用了曲線救國(guó)，如幾何中的

2、輔助線法?；蛟S直走也能通，但當(dāng)我們站在目的地回望，便會(huì)發(fā)現(xiàn)做題過程中，并不是亮點(diǎn)之間直線最短，曲線往往才是最快的捷徑，這便像從山前到山后，當(dāng)然從山腳繞過去比一股腦的從高山上越過去方便的多。 微積分中亦是如此，當(dāng)命題過于抽象難以解決時(shí)，順著做下去可能就遇到一些知識(shí)與技巧上無法憑己之力翻越的高山。感覺所熟知的定理都不能直接使用。這時(shí)，單憑對(duì)定理的一般運(yùn)用是無法解決問題的，而是需要構(gòu)造出一個(gè)既能運(yùn)用題設(shè)條件又能應(yīng)用相關(guān)定理得輔助函數(shù)，將抽象的關(guān)系通過具體的函數(shù)表達(dá)出來，轉(zhuǎn)化為比較直觀的，易于解決的問題，從山腳繞過去。構(gòu)造在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中廣泛地被采用著，它們所起的作用是橋梁式的作用，甚至有些是起著無法替代

3、的作用。所謂構(gòu)造，即構(gòu)造函數(shù)，就是利用數(shù)學(xué)中的概念和方法，按固定的模式經(jīng)過有限個(gè)步驟能夠定義的概念和能都實(shí)現(xiàn)的方法。而構(gòu)造函數(shù)，簡(jiǎn)而言之，就是為了使某一數(shù)學(xué)命題或者某一數(shù)學(xué)概念通過已知的數(shù)學(xué)概念和方法，人為地構(gòu)造出來的函數(shù)，這些函數(shù)的存在，往往依賴于已知命題的函數(shù)的存在，在條件的約束下，去達(dá)到證明或者說明某種結(jié)論或概念的正確性。下面我們便走進(jìn)構(gòu)造。一、構(gòu)造函數(shù)法在基本定理證明中的運(yùn)用微分中值的定理證明代表著構(gòu)造函數(shù)法的一個(gè)重要的思路，這個(gè)思路是當(dāng)構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)時(shí)，其輔助函數(shù)的構(gòu)造的條件必須滿足現(xiàn)有某個(gè)已證定理的條件，進(jìn)而解決問題。具體的來說羅爾定理證明中是構(gòu)造出了滿足Fermat引理的函數(shù)，

4、進(jìn)而推導(dǎo)出了結(jié)果；而lagrange中值定理和Cauchy定理則都是構(gòu)造出了滿足羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)，來推導(dǎo)出了最終的結(jié)果。構(gòu)造函數(shù)法的思想是發(fā)散的，所以其在微分中值定理的證明中的輔助函數(shù)的構(gòu)造也是多種多樣的，這種多態(tài)化的思想啟發(fā)出，在使用構(gòu)造函數(shù)法時(shí)，我們可以使用各種所學(xué)知識(shí)，根據(jù)命題條件，構(gòu)造出滿足題意的輔助函數(shù)來。微分中值定理的證明實(shí)現(xiàn)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之前的溝通，是利用導(dǎo)數(shù)研究一些函數(shù)性質(zhì)的重要途徑。以微分中值定理為基礎(chǔ)的各種中值問題，成為微積分學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容。這類問題的常見形式是：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且滿足某些附加條件，求證存在一點(diǎn)使得某個(gè)含有的等式成立。處理這類問題，關(guān)鍵在于如

5、何構(gòu)造出能夠滿足羅爾，lagrange定理和Cauchy定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)。通常采用的構(gòu)造函數(shù)方法大多限于幾個(gè)初等的試探方法，如利用函數(shù)的幾何圖像等。用這些方法構(gòu)造函數(shù)往往需要很高的技巧，實(shí)際做題中如不是做了很多題很有經(jīng)驗(yàn)，常常會(huì)無從下手，不能成功構(gòu)造。如果考慮到lagrange中值定理和Cauchy中值定理是羅爾中值定理的推廣形式，羅爾中值定理的結(jié)論為一個(gè)導(dǎo)數(shù)形式，那么構(gòu)造輔助函數(shù)其實(shí)就是要尋找一個(gè)能夠滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的原函數(shù)，這樣，我們可以利用微分運(yùn)算的逆過程積分運(yùn)算，來構(gòu)造輔助函數(shù)，以解決有關(guān)微分中值的問題。著名的牛頓萊布尼茨公式里的連續(xù)函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù)。在證明了這一結(jié)論的過程中

6、，也用到了構(gòu)造。巧妙地運(yùn)用了積分上限函數(shù)，這是個(gè)構(gòu)造函數(shù)，最大的特點(diǎn)就是滿足。正是由于有了這個(gè)函數(shù)，才最終證明了這個(gè)可以說是積分中非常重要的公式。二、利用構(gòu)造函數(shù)與中值定理證明命題基本定理的證明中已經(jīng)用到構(gòu)造，利用基本定理證明新命題的時(shí)候又利用構(gòu)造往基本定理上靠攏。而證明的方法也是多種多樣的，但常用的歸結(jié)起來也就幾種。 其中我們接觸最多的便是原函數(shù)法。這是一種逆向思維的方法，在結(jié)合微分中值定理求解介值定理（或者零點(diǎn)）問題時(shí)，要證明的結(jié)論往往是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，這時(shí)可通過不定積分反求出原函數(shù)構(gòu)造出輔助函數(shù)，首先先將結(jié)論通過恒等變換，化為容易積分的函數(shù)形式，一般常用移項(xiàng)將等式一端變換為常數(shù)0

7、，等式中的變量便作為函數(shù)變量，再設(shè)法求出原函數(shù)，即得所需的輔助函數(shù)，最后結(jié)合微分中值定理，推導(dǎo)出結(jié)論來。例1：證明在連續(xù)，可導(dǎo)，則存在，使。證明一：將要證的結(jié)論變形得，將等式中的記為，即，然后積分得，得到輔助函數(shù)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又因?yàn)?，滿足羅爾定理，所以存在，使得，故。證畢例2證明中在構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)用了一個(gè)技巧，即將積分后的原函數(shù)的常數(shù)，獨(dú)立出來移項(xiàng)到一端，則利用常數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，然后運(yùn)用羅爾定理推導(dǎo)出結(jié)論。如果嚴(yán)格按照歸納的步驟來做依然能夠得出結(jié)論，如下證明二：將要證明的等式中的記為，然后積分得，得到輔助函數(shù)，可知，。故由羅爾定理可得。證畢通過例子的兩個(gè)證明我們可以看出，構(gòu)造函數(shù)

8、法是一個(gè)發(fā)散性思維很強(qiáng)的方法，同一道題可以從不同的角度來考慮輔助函數(shù)的構(gòu)造。方法是多樣的，但思想是一致的，即從結(jié)論出發(fā)，對(duì)條件進(jìn)行一定的變換，得出原函數(shù)即為構(gòu)造函數(shù)，讓這個(gè)構(gòu)造函數(shù)能夠滿足微分中值定理的條件，進(jìn)而利用中值定理得出要證明的結(jié)論。又如利用積分上限函數(shù)做輔助函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解題例：設(shè)f(x)是a, b上的連續(xù)函數(shù)且單調(diào)增加，求證：證明：作輔助函數(shù)：，顯然 因?yàn)閒(x)在上單調(diào)增加，故，從而在內(nèi)單調(diào)增加，于是，取x=b即得命題。有時(shí)不易直接用原函數(shù)法，就可以試著考察命題中需要證明的結(jié)論與微分中值定理的結(jié)論有哪些相近的形式，再構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，必要時(shí)可考慮其幾何意義例：設(shè)函數(shù)f(x)

9、在上可導(dǎo)，且ab0，則在（a,b）上必存在一點(diǎn)，使得 證明：左式如下變形 根據(jù)上式右端結(jié)構(gòu)特征，分子是型，分母是型，所以構(gòu)造輔助函數(shù) ，再將它們與柯西中值定理聯(lián)系起來。又已知ab0,故上不存在x=0點(diǎn)，從而在（a,b）上有易驗(yàn)證倆函數(shù)符合中值定理，于是在開區(qū)間（a,b）上存在一點(diǎn)，使得：即使命題得證除此之外還有我們很少遇到且較難掌握的如微分方程通解法與行列式法微分方程通解法一般適用于如下形式：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足一定的條件，求證存在一點(diǎn)，使得。在處理這一類的問題時(shí)，可以先解微分方程，得到通解，則可構(gòu)造出輔助函數(shù)為，這種處理的方法就是微分方程通解法。在一些微積分等式命題的證明中，構(gòu)

10、造輔助函數(shù)可以利用行列式的性質(zhì)及行列式函數(shù)的求導(dǎo)公式的特點(diǎn)來構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用微分中值定理完成命題的證明。而行列式法便是由行列式推導(dǎo)法延伸而來。行列式函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)有行列式表示的函數(shù)，其中（i，j=1，2，n）的導(dǎo)函數(shù)都存在，則其細(xì)節(jié)在例子中體會(huì)例：設(shè) 在上連續(xù)且二階可導(dǎo)，則在內(nèi)至少一點(diǎn)，使得。證明：變換結(jié)論等式，對(duì)于，存在，使得，令，則在上連續(xù)，且在內(nèi)二階可導(dǎo)，。對(duì)于，構(gòu)造輔助函數(shù)，則易知在上游三個(gè)相異的零點(diǎn)，即，故由羅爾定理可知在內(nèi)至少有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，從而再由羅爾定理知在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，而，故由得，即，所以可知，從而可得出結(jié)論。證畢行列式構(gòu)造函數(shù)法首先將結(jié)論等式變換，

11、使得等式一端不含有等導(dǎo)數(shù)形式，再利用行列式構(gòu)造出輔助函數(shù)如的形式，然后對(duì)求導(dǎo)，在結(jié)合微分中值定理，繼而得出結(jié)論。雖然舉的例子不難，只是希望從小例子中領(lǐng)會(huì)大精神。我們不難看出，利用輔助函數(shù)求解微積分問題，其實(shí)用性高，應(yīng)用范圍廣，步驟簡(jiǎn)明，方法多樣，實(shí)為我們應(yīng)該掌握的解題利器。構(gòu)造函數(shù)乍看之下好像天外飛仙，而從深層次來看，所構(gòu)造的函數(shù)恰恰反映了命題的一些本質(zhì)的東西，如其幾何意義。因此構(gòu)造函數(shù)也是建立在對(duì)題目有著深刻理解的基礎(chǔ)上的一種較為高級(jí)的方法。上面舉的例子只是冰山一角，真正掌握需要我們大量練習(xí)，再通過思考總結(jié)感悟出其中的一套規(guī)律。構(gòu)造作為一種數(shù)學(xué)思想而非特定某一領(lǐng)域的小技巧，已經(jīng)陪伴我們學(xué)習(xí)多年，相信在今后的學(xué)習(xí)中，在其他門科目，如將要到來的復(fù)變函數(shù)中也會(huì)大有用武之地，掌握思想，融會(huì)貫通，便可以將“輔助線”一直漂亮的畫下去，變天外飛仙為天馬行空。參考文獻(xiàn)：1裴禮文 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 高等教育出版社 2006年第二版2. 吉米多維奇原著 費(fèi)定暉編 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集提示解題思路答案 山東科學(xué)技術(shù)出版社 20073陳紀(jì)修 於崇華 金路 數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)） 高等教育出版社 20034. 孫立群 微分中值定理中構(gòu)造輔助函數(shù)的原函數(shù)法 太原城