曲線和方程練習(xí)題集

1、 曲線與方程一、選擇題1已知兩定點(diǎn)A(1,1)，B(1，1)，動(dòng)點(diǎn)P滿足·，則點(diǎn)P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線解析 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則(1x,1y)，(1x，1y)，所以·(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，即1，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓答案B2已知點(diǎn)F，直線l：x，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是()A雙曲線 B橢圓 C圓 D拋物線解析由已知：|MF|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，故選D.答案D3長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，

2、2，則點(diǎn)C的軌跡是()A線段 B圓C橢圓 D雙曲線解析 設(shè)C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.答案 C4設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡為橢圓，a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案D5已知二面角l的平面角為，點(diǎn)P在二面角內(nèi)，PA，PB，A，B為垂足，且PA4，PB5，設(shè)A，B

3、到棱l的距離分別為x，y，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是()Ax2y29(x0)Bx2y29(x0，y0)Cy2x29(y0)Dy2x29(x0，y0)解析 實(shí)際上就是求x，y所滿足的一個(gè)等式，設(shè)平面PAB與二面角的棱的交點(diǎn)是C，則ACx，BCy，在兩個(gè)直角三角形RtPAC，RtPBC中其斜邊相等，根據(jù)勾股定理即可得到x，y所滿足的關(guān)系式如圖，x242y252，即x2y29(x0，y0)答案B6ABC的頂點(diǎn)A(5,0)、B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A.1 B.1C.1(x>3) D.1(x>4)解析如圖|AD|AE|8，|BF|BE|2

4、，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)答案C7|y|1表示的曲線是()A拋物線 B一個(gè)圓C兩個(gè)圓 D兩個(gè)半圓解析原方程等價(jià)于或答案D二、填空題8. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，離心率為。過的直線 交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，那么的方程為 。答案 9在ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B，C(a>0)，且滿足條件sin Csin Bsin A，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是_解析由正弦定理：×，|AB|AC|BC|，且為雙曲線右支答案1(x>0且y0)10已知圓的方

5、程為x2y24，若拋物線過點(diǎn)A(1,0)、B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是_解析 設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，過A、B、O作準(zhǔn)線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1|BB1|2|OO1|4，由拋物線定義得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))答案 1(y0)11已知P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_解析由，又22，設(shè)Q(x，y)，則(x，y)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.答案112. 曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(1,0)和F2(1,0

6、)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_解析 曲線C經(jīng)過原點(diǎn)，這點(diǎn)不難驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，如果經(jīng)過原點(diǎn)，那么a1，與條件不符；曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這點(diǎn)顯然正確，如果在某點(diǎn)處|PF1|PF2|a2，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面積SF1F2P2，很顯然SF1F2P|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|.所以正確答案 三、解答題13.如圖，已知F(1,0)，直線l：x1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為

7、點(diǎn)Q，且· ·.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程解析 法一：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(1，y)，由··，得(x1,0)·(2，y)(x1，y)·(2，y)，化簡(jiǎn)得C：y24x.法二：由··，得·()0，()·()0，220.|.點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為y24x.14已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1：y1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)C.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求·的最小值解析(1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于

8、它到l1的距離， 點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x24y.(2)由題意知，直線l2方程可設(shè)為ykx1(k0)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x24kx40.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24.又易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為，··(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，當(dāng)且僅當(dāng)k21時(shí)取等號(hào)，·4×2816，即·的最小值為16.15已知雙曲線y21的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，y1)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求直線A1P

9、與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；(2)若過點(diǎn)H(0，h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1l2，求h的值解析(1)由題設(shè)知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y(x)，直線A2Q的方程為y(x)聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，即x1，y1，則x0，|x|.而點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線y21上，y211.將代入上式，整理得所求軌跡E的方程為y21，x0且x±.(2)設(shè)過點(diǎn)H(0，h)的直線為ykxh(h1)，聯(lián)立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0得h212k20，解得k1 ，k2 .由于l1l2，

10、則k1k21，故h.過點(diǎn)A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點(diǎn)H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由×1，得h.此時(shí)，l1，l2的方程分別為yx與yx，它們與軌跡E分別僅有一個(gè)交點(diǎn)與.所以，符合條件的h的值為或.16設(shè)橢圓方程為x21，過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足()，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)直線l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)|的最大值，最小值解析(1)直線l過定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為ykx1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A、B的坐標(biāo)滿足方程組消去y得(4k2)x22kx30.則4k212(4k2)>0.x1x2，x1x2.設(shè)P(x，y)是AB的中點(diǎn)，則()，得消去k得4x2y2y0.當(dāng)斜率k不存在時(shí)，AB的