數(shù)學(xué)建模練習(xí)試題

1、1、放射性廢料的處理問題美國(guó)原子能委員會(huì)以往處理濃縮的放射性廢料的方法，一直是把它們裝入密封的圓桶里，然后扔到水深為90多米的海底。生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家們表示擔(dān)心，怕圓桶下沉到海底時(shí)與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。原子能委員會(huì)分辨說這是不可能的。為此工程師們進(jìn)行了碰撞實(shí)驗(yàn)。發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓桶下沉速度超過12.2 m/s 與海底相撞時(shí)，圓桶就可能發(fā)生碰裂。這樣為避免圓桶碰裂，需要計(jì)算一下圓桶沉到海底時(shí)速度是多少? 這時(shí)已知圓桶重量為239.46 kg，體積為0.2058m3，海水密度為1035.71kg/m3，如果圓桶速度小于12.2 m/s就說明這種方法是安全可靠的，否則就要禁止使用這種方法來處理放

2、射性廢料。假設(shè)水的阻力與速度大小成正比例，其正比例常數(shù)k=0.6?，F(xiàn)要求建立合理的數(shù)學(xué)模型，解決如下實(shí)際問題：1. 判斷這種處理廢料的方法是否合理?2. 一般情況下，v大，k也大；v小，k也小。當(dāng)v很大時(shí)，常用kv來代替k，那么這時(shí)速度與時(shí)間關(guān)系如何? 并求出當(dāng)速度不超過12.2 m/s，圓桶的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和位移應(yīng)不超過多少? (的值仍設(shè)為0.6)魚雷攻擊問題在一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)中，甲方一潛艇在乙方領(lǐng)海進(jìn)行秘密偵察活動(dòng)。當(dāng)甲方潛艇位于乙方一潛艇的正西100千米處，兩方潛艇士兵同時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)方。甲方潛艇開始向正北60千米處的營(yíng)地逃跑，在甲方潛艇開始逃跑的同時(shí)，乙方潛艇發(fā)射了魚雷進(jìn)行追蹤攻擊。假設(shè)甲方潛艇與乙方魚雷

3、是在同一平面上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。已知甲方潛艇和乙方魚雷的速度均勻且魚雷的速度是甲方潛艇速度的兩倍。試建立合理的數(shù)學(xué)模型解決以下問題:1) 求魚雷在追蹤攻擊過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡；       2) 確定甲方潛艇能否安全的回到營(yíng)地而不會(huì)被乙方魚雷擊中3、貸款買房問題某居民買房向銀行貸款6萬元，利息為月利率1%，貸款期為25年，要求建立數(shù)學(xué)模型解決如下問題：        1) 問該居民每月應(yīng)定額償還多少錢？2) 假設(shè)此居民每月可節(jié)余700元，是否可以去買房?4、養(yǎng)老保險(xiǎn)問題養(yǎng)老保險(xiǎn)

4、是保險(xiǎn)中的一種重要險(xiǎn)種，保險(xiǎn)公司將提供不同的保險(xiǎn)方案以供選擇，分析保險(xiǎn)品種的實(shí)際投資價(jià)值。某保險(xiǎn)公司的一份材料指出：在每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金的約定下，男子若25歲起投保，屆時(shí)月養(yǎng)老金2282元；若35歲起投保，月養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，月養(yǎng)老金420元. 試求出保險(xiǎn)公司為了兌現(xiàn)保險(xiǎn)責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率(也就是投保人的實(shí)際收益率)?5、生物種群數(shù)量問題種群的數(shù)量問題是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的一個(gè)問題。要預(yù)測(cè)未來種群的數(shù)量，最重要的影響因素是當(dāng)前的種群數(shù)量，今后一段時(shí)間內(nèi)種群的增長(zhǎng)狀況和環(huán)境因素。由于隨著種群數(shù)量增加到一定的程度后，種群在有限的生存空間進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)

5、，種群的增長(zhǎng)狀況會(huì)隨著種群數(shù)量的增加而減少，而且在有限的生存空間，種群數(shù)量也不可能無限增長(zhǎng)，假設(shè)只能達(dá)到某一固定的數(shù)量值記為xm，稱為最大種群容量。又假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)種群數(shù)量的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)種群數(shù)量的比記為：r(x)=r-sx, r,s>0， 其中r相當(dāng)于x=0時(shí)的增長(zhǎng)率，稱為固有增長(zhǎng)率，記當(dāng)前 (即t=0時(shí))種群數(shù)量為x0，時(shí)刻 種群數(shù)量為x(t)。若利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知xm，r，x0，則 1）設(shè)x(t)為連續(xù)、可微函數(shù)，請(qǐng)給出未來時(shí)間里種群數(shù)量滿足的數(shù)學(xué)模型。2）由于某些種群是在固定的一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行繁殖，所以可用種群繁殖周期作為時(shí)間段來研究其增長(zhǎng)狀況。請(qǐng)給出未來時(shí)間里這類種群數(shù)量應(yīng)滿足的離散

6、數(shù)學(xué)模型。6、生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益某工廠購買了一臺(tái)新設(shè)備投入到生產(chǎn)中。一方面該設(shè)備隨著運(yùn)行時(shí)間的推移其磨損程度愈來愈大，因此其轉(zhuǎn)賣價(jià)將隨著使用設(shè)備的時(shí)間增加而減??；另一方面生產(chǎn)設(shè)備總是要進(jìn)行日常保養(yǎng)，花費(fèi)一定的保養(yǎng)費(fèi)，保養(yǎng)可以減緩設(shè)備的磨損程度，提高設(shè)備的轉(zhuǎn)賣價(jià)。那么，怎樣確定最優(yōu)保養(yǎng)費(fèi)和設(shè)備轉(zhuǎn)賣時(shí)間，才能使這臺(tái)設(shè)備的經(jīng)濟(jì)效益最大。7、產(chǎn)品最佳價(jià)格調(diào)整問題物價(jià)管理部門根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)和經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展的需要，決定將A產(chǎn)品的單位價(jià)格P(t)由現(xiàn)在的p0=70元調(diào)整到p1=70元，并要求各公司自行在一年內(nèi)完成這一調(diào)價(jià)任務(wù)。某公司經(jīng)營(yíng)A產(chǎn)品多年，深知每周A產(chǎn)品的銷售量S與其價(jià)格P和價(jià)格變化率有著密切的聯(lián)系

7、，他想利用這種關(guān)系制定一個(gè)A產(chǎn)品的調(diào)價(jià)方案，使全年經(jīng)營(yíng)A產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大。在如下假設(shè)條件下： (1) 物價(jià)部門對(duì)A產(chǎn)品的調(diào)價(jià)決策是積極的、正確的，在一年內(nèi)（調(diào)價(jià)期）不會(huì)發(fā)生對(duì)A產(chǎn)品的其它調(diào)價(jià)決策，A產(chǎn)品在市場(chǎng)上的供求矛盾不會(huì)出現(xiàn)大的變化； (2) 某公司經(jīng)理多年經(jīng)營(yíng)A產(chǎn)品關(guān)于“每周銷售量S與其價(jià)格的P和價(jià)格變化率p的關(guān)系”的信息是可靠的，不妨假設(shè)S=(S,P)； (3) 某公司生產(chǎn)A產(chǎn)品的能力足以滿足市場(chǎng)需求。 設(shè)每周生產(chǎn)S件A產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用是C(S)；   (4) 函數(shù)S=(S,P)和C(S)由統(tǒng)計(jì)方法擬合成連續(xù)可微函數(shù)。現(xiàn)查閱統(tǒng)計(jì)資料得到S=(S,P)=P+100 P+

8、100,C(S)=0.5S2+2S+40經(jīng)過核實(shí)， 這兩個(gè)具體函數(shù)符合公司的實(shí)際情況； (5) 約定一年以52周計(jì)。在調(diào)價(jià)期資金流動(dòng)的時(shí)間價(jià)值忽略不計(jì)。請(qǐng)建立合理的數(shù)學(xué)模型為該公司的A產(chǎn)品制定最佳調(diào)價(jià)方案，并計(jì)算在最佳調(diào)價(jià)方案下的全年最大利潤(rùn)值。8、最佳投資企業(yè)的優(yōu)選問題某投資銀行擬對(duì)某市3家企業(yè)(記為X1, X2, X3, X4)進(jìn)行投資, 抽取5項(xiàng)主要指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估: C1: 年產(chǎn)值(單位:千萬元)；C2:社會(huì)效益(單位:千萬元)；C3：生產(chǎn)能力；C4：管理能力；C5：技術(shù)能力。評(píng)估專家組考察了3家企業(yè)2003年-2005年三個(gè)年度在5個(gè)指標(biāo)下的具體情況，考察的指標(biāo)值見表1, 其中前2個(gè)指標(biāo)

9、信息是各企業(yè)的精確數(shù)據(jù), 后3個(gè)指標(biāo)信息是評(píng)估專家組經(jīng)考察后的定性結(jié)論。各評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重已知W=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2)。試建立數(shù)學(xué)模型確定投資銀行的最佳投資企業(yè)。表1 各企業(yè)分年度指標(biāo)信息情況表指標(biāo)200320042005X1X2X3X4X1X2X3X4X1X2X3X4C15.66.15.86.55.85.76.26.35.75.96.56.9C22.73.02.82.93.02.83.33.12.93.53.23.2C3高很高一般一般很高高高一般高很高高很高C4一般一般高很高高很高高很高高很高一般很高C5高一般很高一般高一般高一般高一般高一般9、棋子顏色變化問題任取n枚黑白

10、兩色的棋子，任意擺成一個(gè)圈；在兩個(gè)顏色相同的棋子中間插入一枚黑色棋子，在兩個(gè)顏色相異的棋子中間插入一枚白色棋子，然后去掉原來的棋子，新棋子仍構(gòu)成一個(gè)圈；繼續(xù)如此做下去。如果經(jīng)n 次這樣的操作后，棋子全變?yōu)楹谏?，那么，n 應(yīng)滿足什么條件。請(qǐng)給出證明過程。10、人口預(yù)測(cè)問題如果要推測(cè)中國(guó)15億人口，有哪些方法？你用的是什么方法，結(jié)果如何？11、點(diǎn)菜問題我們?cè)诓宛^中點(diǎn)菜， 需要包含某些營(yíng)養(yǎng)成份，但同時(shí)又希望總價(jià)格最低。下表是這個(gè)餐館的部分菜單，請(qǐng)你通過數(shù)學(xué)建模方法，提供合理的選菜方案。 序號(hào)菜單價(jià)格(元 )蛋白質(zhì)淀粉維生素礦物質(zhì)1菜肉蛋卷1810112炒豬肝21.501013色拉12.500104

11、紅燒排骨2310005咖喱土豆10.501006清湯全雞32100112、初等模型練習(xí)1 以下是一個(gè)數(shù)學(xué)游戲：(1) 甲先說一個(gè)不超過6的正整數(shù)，乙往上加一個(gè)不超過6的正整數(shù)，甲再往上加一個(gè)正整數(shù)，.，如此繼續(xù)下去。規(guī)定誰先加到50誰就獲勝，問甲、乙各應(yīng)怎樣做？(2) 如將6改為n，將50改為N，問題又當(dāng)如何回答？ 2 甲乙兩人約定中午12：00至1：00之間在市中心某地見面，但兩人講好到達(dá)后只等待對(duì)方10分鐘，求這兩人能相遇的概率。3 某人由A處到位于某河流同側(cè)的B處去，途中需要去河邊取些水，問此人應(yīng)如何走才能使走的總路程最少？4 地面是球面的一部分，（直徑約為12.72×10公里

12、 ），顯然，如果高層建筑的墻是完全垂直于地面的則它們之間必不會(huì)平行。設(shè)一建筑物高為400米，地面面積為2500平方米，問頂面面積比地面面積大多少？5 建一模型說明當(dāng)你在雨中行走又想少淋雨時(shí)，應(yīng)當(dāng)如下做：(1)若你行走的方向是順風(fēng)且雨的夾角至少為 ，你應(yīng)以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相對(duì)于你是垂直下落的（2）在其他情況下，你都應(yīng)以最快的速度行走。6 消防隊(duì)員救火時(shí)不應(yīng)離失火的房屋太近，以免發(fā)生危險(xiǎn)。請(qǐng)建模分析并求出消防隊(duì)員既安全又能發(fā)揮效應(yīng)的最佳位置。7 已知在氣體中音速V與氣壓P、氣體的密度有關(guān)，試求它們之間的關(guān)系。      

13、8 風(fēng)車的功率P與風(fēng)速v、葉面的頂風(fēng)面積S及空氣的密度有關(guān)，試求它們之間的關(guān)系。13、邏輯模型練習(xí)1 證明在7階兩色完全圖中必存在4個(gè)3階單色完全圖2 9名學(xué)者參加一次國(guó)際會(huì)議，他們發(fā)現(xiàn)：（1）任意3人中至少有兩人可以用同一語言交談（2）每人會(huì)講的語言至多為3種，（注意：并非他們只會(huì)將三種語言）證明他們中至少有3人可用同一語言交談。3 將一個(gè)正九邊形連接成完全圖，用兩種顏色對(duì)此完全圖的頂點(diǎn)著色。證明：不論怎樣著色，總可以從此完全圖中找到兩個(gè)全等三角形，他們的頂點(diǎn)是由同一種顏料著色的。4 給九個(gè)定點(diǎn)的完全圖用紅藍(lán)兩種顏色對(duì)邊著色，如果所含的任意三角形中至少含有一條紅邊，證明：必可找到四個(gè)頂點(diǎn)，他

14、們之間的連線均為紅邊，（即其中必含有一個(gè)用紅邊連成的4階完全圖）。5 在一次9個(gè)人的聚會(huì)中，發(fā)現(xiàn)其中任意三人至少有兩人相識(shí)，證明從這9人中必可找出4人，他們是兩兩相識(shí)的。6 某教室中共有9排椅子，每排均有7把，學(xué)生恰好坐滿教室?，F(xiàn)教師要求每一學(xué)生都必須與其前、后、左、右的同學(xué)之一交換座位。請(qǐng)你給出一種交換方法或證明老師的要求是無法實(shí)現(xiàn)的。7 某公司場(chǎng)地如交給甲經(jīng)營(yíng)預(yù)計(jì)年獲利為10萬元，交給乙經(jīng)營(yíng)預(yù)計(jì)年獲利為50萬元，交給丙經(jīng)營(yíng)預(yù)計(jì)獲利為60萬元，如交給甲乙丙共同經(jīng)營(yíng)預(yù)計(jì)獲利為100萬元。試用Shapley公式計(jì)算，在甲乙丙共同經(jīng)營(yíng)時(shí)各方應(yīng)分配到的利益。8 設(shè)某議會(huì)的席位由三個(gè)黨派所擁有，法律規(guī)

15、定贊成票達(dá)到半數(shù)時(shí)提案即被通過。試證明：（1）只要有一個(gè)黨派的席位達(dá)到總席位的一半，則其余兩個(gè)黨派在議會(huì)中事實(shí)上根本不起作用。（2）若三個(gè)黨派所擁有的席位數(shù)均未達(dá)到一半，則三個(gè)黨派在議會(huì)中所起的作用完全相同，（不論它擁有多少席位）。9 猜數(shù)是最古老的數(shù)學(xué)游戲之一，有各種各樣的玩法。下面的猜數(shù)游戲比較簡(jiǎn)單：甲先想好一個(gè)不超過三位（0999之一）的數(shù)字讓乙猜。在猜數(shù)時(shí)甲可以隨便改變自己想好的數(shù)，但不能與此前已經(jīng)回答過的問題相矛盾。乙可提問題，但甲只回答是或者不是。（1）試計(jì)算乙最少要提問幾次，才能講出甲的數(shù)字。（2）設(shè)計(jì)一個(gè)使乙能通過最少次數(shù)提問而講出甲想的數(shù)字的提問方法。  

16、      10 在例16偽幣鑒定的實(shí)驗(yàn)中，第二次測(cè)試是最關(guān)鍵的一步，請(qǐng)考慮一下我們?yōu)槭裁匆@樣設(shè)計(jì)測(cè)試。我們有這樣的把握，如果用這種方法也無法保證在三次測(cè)試?yán)镆欢ㄨb定出偽幣，則不可能有方法保證在三次測(cè)試后一定找到偽幣。你知道原因嗎？14、標(biāo)靶設(shè)計(jì)擲飛鏢是一種流行的游戲，一個(gè)圓形標(biāo)靶被分成20個(gè)相等的扇形區(qū)域，在這些區(qū)域填有數(shù)字1 20 表示飛鏢落在相應(yīng)區(qū)域的得分，游戲規(guī)則是各選手輪流擲鏢，每輪的得分從他的總分301中減去，首先恰好減至0分者獲勝，試建立模型說明如何安排扇形區(qū)域的數(shù)字能增加擲鏢的難度。15、鐵路列車時(shí)刻表問題全國(guó)性的鐵路網(wǎng)由幾條

17、干線和許多支線組成，編排完整的列車運(yùn)行時(shí)刻表的工作量非常巨大，通常需要先單獨(dú)編排每條干線上的列車運(yùn)行時(shí)刻表。設(shè)已知某條干線上的站點(diǎn)分布、車速限制、車距限制、運(yùn)行車次及每次車的?？空军c(diǎn)等數(shù)據(jù)，建立編排該干線上的列車運(yùn)行時(shí)刻表的數(shù)學(xué)模型。16、湖水污染問題設(shè)一容積為V（m3）的大湖受到某種物質(zhì)的污染，污染物均勻地分布在湖中，沒湖水更新的速率為r(m3/天)，并假設(shè)湖水的體積沒有變化，試建立湖水污染濃度的數(shù)學(xué)模型。(1) 美國(guó)安大略湖容積5941*109(m2)，湖水的流量為4.45365*1010(m3/天)。湖水現(xiàn)階段的污染濃度為104，外面進(jìn)入湖中的水的污染濃度為5%，并假設(shè)該值沒有變化，求經(jīng)過500天湖水污染濃度。        (2) 美國(guó)密西根湖的容積為4871*109（m2）。湖水的流量為3.6635132*1010(m3/天).。由于治理污染措施得力及某時(shí)刻起污染源被切斷，求污染被中止后，污染物濃度下降到原來的5%所需時(shí)間。17、自行車外胎的使用壽命目前，自行車在我國(guó)是一種可缺少的交通工具。它小巧、靈活、方便、易學(xué)，而且價(jià)格適中，給廣大居民帶來了不小的益處。但是，自行車也有令人頭痛的地方，最常見的問題莫過于扎胎