數(shù)學(xué)物理方法常微分方程的本征值問(wèn)題

1、常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題1一、一、Sturm Sturm Liouville Liouville 型方程型方程 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 它與一定的線性齊次邊界條件或周期性條件它與一定的線性齊次邊界條件或周期性條件或自然邊界條件可以構(gòu)成本征值問(wèn)題，稱為或自然邊界條件可以構(gòu)成本征值問(wèn)題，稱為S-LS-L型本征值問(wèn)題。型本征值問(wèn)題。稱為本征值稱為本征值 x 稱為權(quán)函數(shù)稱為權(quán)函數(shù)常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題2二、幾種常見(jiàn)的二、幾種常見(jiàn)的S-LS-L型本征值問(wèn)題型本征值問(wèn)題 1,0 ,1k xq xx 1 1、而而 0 ,00ablyy l 0

2、,2 ,2aby xy x兩種情況下，求解兩種情況下，求解S-LS-L型本征值問(wèn)題型本征值問(wèn)題 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題3 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 0000yyxlyy l 0 ,00ablyy l 1,0 ,1k xq xx 本征值本征值2nnl 本征函數(shù)本征函數(shù)sinnnyxl 1,2,3,n 常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題4 0 ,2 ,2aby xy x dd0ddyk xq x yx yaxbxx 0022yyxy xy x 1,0 ,1k xq xx 本征函數(shù)本征函數(shù)sincosn

3、nnyAnxBnx本征值本征值2nn 0,1,2,3,n 常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題5 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 2,1mk xx q xxxx 2222dddd00ddddyymymxyxyxyxyxxxxxx2 2、BesselBessel方程的本征值問(wèn)題方程的本征值問(wèn)題 22222dd0dd00yyxxxmyxxyMy R 有有限限常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題63 3、Legendre Legendre 方程的本征值問(wèn)題方程的本征值問(wèn)題 22222dd1210dd11yymxxl lyxxxyM 有有限限值值 222dd110dd1y

4、mxyl lyxxx 2221,1,11mk xxq xxl lx dd0ddyk xq x yx yaxbxx 常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題7 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 22212ddee0dd,exxxyyxxxy 長(zhǎng)長(zhǎng)于于的的增增不不快快于于 22e,0 ,exxk xq xx 這個(gè)本征值問(wèn)題來(lái)自量子力學(xué)中的諧振子問(wèn)題這個(gè)本征值問(wèn)題來(lái)自量子力學(xué)中的諧振子問(wèn)題4 4、HermiteHermite 方程的本征值問(wèn)題方程的本征值問(wèn)題20yxyy常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題8 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 12ddee0dd0,

5、exxxyxyxxyxy 長(zhǎng)長(zhǎng)有有限限 于于的的增增不不快快于于 e,0 ,exxk xxq xx 這個(gè)本征值問(wèn)題來(lái)自量子力學(xué)中的氫原子問(wèn)題這個(gè)本征值問(wèn)題來(lái)自量子力學(xué)中的氫原子問(wèn)題5 5、LaguerreLaguerre 方程的本征值問(wèn)題方程的本征值問(wèn)題 10 xyx yy常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題9三、正交函數(shù)系三、正交函數(shù)系1 1、正交函數(shù)定義：如果兩個(gè)函數(shù)、正交函數(shù)定義：如果兩個(gè)函數(shù) 滿足滿足 12fxfx、 12d0bafx fxx ，則稱它們?cè)趨^(qū)間，則稱它們?cè)趨^(qū)間 上正交上正交 , a b *12d0bafx fxx 如果函數(shù)是復(fù)函數(shù)，則寫(xiě)為如果函數(shù)是復(fù)函數(shù)，則寫(xiě)為

6、2 2、歸一化定義：、歸一化定義： nyx由正交定義，對(duì)一本征函數(shù)系由正交定義，對(duì)一本征函數(shù)系當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， d0bnmayx yxx nm 22dbnnayxxN 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，nm 常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題10 122dbnnaNyxx 稱為歸一化因子。稱為歸一化因子。 22dd1bbnnnnaannyxyxyxxNxNN nnnyxxN 令令則有則有 1d0bnmnmanmxxxnm 稱稱 為正交歸一函數(shù)系為正交歸一函數(shù)系 nx 常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題11 nnnxxxx 3 3、完備性條件、完備性條件4 4、完備性定義：在相應(yīng)敬意上滿足狄里赫利

7、條件、完備性定義：在相應(yīng)敬意上滿足狄里赫利條件 的任意函數(shù)的任意函數(shù) 可以用正交完備函數(shù)系展開(kāi)成可以用正交完備函數(shù)系展開(kāi)成 傅里葉級(jí)數(shù)，即：傅里葉級(jí)數(shù)，即： 1nnnfxCx fxnC 可用正交歸一條件求得，即可用正交歸一條件求得，即 11ddbbmnnmnnmmaannfxxxCxxxCC dbmmaCfxxx 常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題12狄里赫利條件：狄里赫利條件： 在在 上只有有限個(gè)第一類間上只有有限個(gè)第一類間 斷點(diǎn)，且只有有限個(gè)極值點(diǎn)。斷點(diǎn)，且只有有限個(gè)極值點(diǎn)。 fx ,a b四、四、S SL L型本征值問(wèn)題的性質(zhì)型本征值問(wèn)題的性質(zhì) dd0ddyk xq x yx

8、yaxbxx 1 1、條件、條件 及其導(dǎo)數(shù)在及其導(dǎo)數(shù)在 中連續(xù)；中連續(xù)； xk x 、 , a b 在在 中連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)連續(xù)或最多中連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)連續(xù)或最多 有一階極點(diǎn)；有一階極點(diǎn)； q x , a b常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題13 中，中， , a b 0 ,0 ,0 xk xq x k x在區(qū)間端點(diǎn)處可能有一階零點(diǎn)。在區(qū)間端點(diǎn)處可能有一階零點(diǎn)。2 2、性質(zhì)、性質(zhì) 結(jié)論結(jié)論1 1：所有本征值都是實(shí)數(shù)，且非負(fù)，即：所有本征值都是實(shí)數(shù)，且非負(fù)，即0n 12n 結(jié)論結(jié)論2 2：存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)的本征值，成一遞增數(shù)列：存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)的本征值，成一遞增數(shù)列對(duì)應(yīng)有無(wú)窮多個(gè)本征函數(shù)對(duì)

9、應(yīng)有無(wú)窮多個(gè)本征函數(shù)12,nyyy稱為本征函數(shù)系，同一本征值對(duì)應(yīng)稱為本征函數(shù)系，同一本征值對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)可能不止一個(gè)。的本征函數(shù)可能不止一個(gè)。常微分方程的本征值問(wèn)題常微分方程的本征值問(wèn)題14 結(jié)論結(jié)論3 3：對(duì)應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù)：對(duì)應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù) ， 在區(qū)間在區(qū)間 上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) 正交，即：正交，即： d0bnmmnayx yxxx x , a bnmyy、 nyx展開(kāi)為絕對(duì)且一致收斂，即：展開(kāi)為絕對(duì)且一致收斂，即： 2ddbnanbnayx fxxxCyxxx 1nnnfxC yx 廣義傅里葉級(jí)數(shù)。廣義傅里葉級(jí)數(shù)。 結(jié)論結(jié)論4 4：本征函數(shù)系在區(qū)間：本征函數(shù)系在區(qū)間 構(gòu)成一個(gè)完備構(gòu)成一個(gè)完備 系，即任意一個(gè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)系，即任意一個(gè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ， 只要它滿足本征值問(wèn)題中的邊界條件，均可以用只要它滿