51 二項式定理

1、5二項式定理5.1二項式定理1能用計數(shù)原理證明二項式定理(難點)2會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題(難點)基礎(chǔ)初探教材整理二項式定理閱讀教材P23P24“例1”以上部分，完成下列問題1二項式定理：(ab)n_.【答案】CanCan1bCanrbrCbn2二項式系數(shù)：_.【答案】C(r0,1,2，n)3二項式通項：_，即二項展開式的第_項【答案】Canrbrr14在二項式定理中，如果設a1，bx，則得到公式：(1x)n_.【答案】1CxCx2Cxrxn判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)(ab)n展開式中共有n項()(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響()(3)Cank

2、bk是(ab)n展開式中的第k項()(4)(ab)n與(ab)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同()【解析】(1)因為(ab)n展開式中共有n1項(2)因為二項式的第k1項Cankbk和(ba)n的展開式的第k1項Cbnkak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的(3)因為Cankbk是(ab)n展開式中的第k1項(4)因為(ab)n與(ab)n的二項式展開式的二項式系數(shù)都是C.【答案】(1)(2)(3)(4)質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型二項式定理的正用、逆用(1)用二項式定理展開5；(2)化簡：C(x1)n

3、C(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.【精彩點撥】(1)二項式的指數(shù)為5，且為兩項的和，可直接按二項式定理展開；(2)可先把x1看成一個整體，分析結(jié)構(gòu)形式，逆用二項式定理求解【自主解答】(1)5C(2x)5C(2x)4C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.1展開二項式可以按照二項式定理進行展開時注意二項式定理的結(jié)構(gòu)特征，準確理解二項式的特點是展開二項式的前提條件2對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便3對于化簡多個式子的和時，可以考慮二項式定理的逆用對于這類問題的

4、求解，要熟悉公式的特點、項數(shù)，各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù)再練一題1(1)求4的展開式；(2)化簡：12C4C2nC.【解】(1)法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題(1)求二項式6的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù)；(2)求9的展開式中x3的系數(shù)【精彩點撥】利用二項式定理求展開式中的某一項，可以通過二項展開式的通項公式進行求解【自主解答】(1)由已知得二項展開式的通項為Tr1C(2)6rr(1)rC26r，T

5、612.第6項的二項式系數(shù)為C6，第6項的系數(shù)為C(1)212.(2)Tr1Cx9rr(1)rCx92r，92r3，r3，即展開式中第四項含x3，其系數(shù)為(1)3C84.1二項式系數(shù)都是組合數(shù)C(r0,1,2，n)，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念2第r1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為C.例如，在(12x)7的展開式中，第四項是T4C173(2x)3，其二項式系數(shù)是C35，而第四項的系數(shù)是C23280.再練一題2(1) 7的展開式中x5的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)(2)二項式6的展開式中的常數(shù)項為_【

6、解析】(1)Tr1C(x3)7rrCx214r，令214r5，得r4，C35.故展開式中x5的系數(shù)為35.(2)Tr1C(2x)6rr(1)rC262rx62r，令62r0，得r3，所以常數(shù)項為T4(1)3C20.【答案】(1)35(2)20探究共研型求展開式中的特定項探究1如何求4展開式中的常數(shù)項【提示】利用二項展開式的通項Cx4rCx42r求解，令42r0，則r2，所以4展開式中的常數(shù)項為C6.探究2(ab)(cd)展開式中的每一項是如何得到的？【提示】(ab)(cd)展開式中的各項都是由ab中的每一項分別乘以cd中的每一項而得到探究3如何求(2x1)3展開式中含x的項？【提示】(2x1)

7、3展開式中含x的項是由x中的x與分別與(2x1)3展開式中常數(shù)項C1及x2項C22x212x2分別相乘再把積相加得xCC(2x)2x12x13x.即(2x1)3展開式中含x的項為13x.已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項(1)求n；(2)求含x2項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項【精彩點撥】【自主解答】通項公式為：Tr1C (3)rC(3)r.(1)第6項為常數(shù)項，r5時，有0，即n10.(2)令2，得r(106)2，所求的系數(shù)為C(3)2405.(3)由題意得，令k(kZ)，則102r3k，即r5k.rZ，k應為偶數(shù)，k2,0，2即r2,5,8，所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分

8、別為405x2，61 236,295 245x2.1求二項展開式的特定項的常見題型(1)求第k項，TkCank1bk1；(2)求含xk的項(或xpyq的項)；(3)求常數(shù)項；(4)求有理項2求二項展開式的特定項的常用方法(1)對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；(2)對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；(3)對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致再練一題3(1)在(1x3)(1x)10的展開式中，x5的系

9、數(shù)是_(2)若6展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為_【解析】(1)x5應是(1x)10中含x5項、含x2項分別與1，x3相乘的結(jié)果，其系數(shù)為CC(1)207.(2)6的展開式的通項是Tk1Cx6k()kx2kCx63k()k，令63k0，得k2，即當k2時，Tk1為常數(shù)項，即常數(shù)項是Ca，根據(jù)已知得Ca60，解得a4.【答案】(1)207(2)4構(gòu)建體系1在(x)10的展開式中，含x6的項的系數(shù)是()A27CB27CC9CD9C【解析】含x6的項是T5Cx6()49Cx6.【答案】D2在8的展開式中常數(shù)項是()A28B7 C7D28【解析】Tk1C8kk(1)kC8k，當8k0，即k6時，T7(1)6C27.【答案】C3在6的展開式中，中間項是_【解析】由n6知中間一項是第4項，因T4C(2x2)33C(1)323x3，所以T4160x3.【答案】160x34在9的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是_，第4項的系數(shù)是_. 【導學號：62690021】【解析】Tk1C(x2)9kkkCx183k，當k3時，T43Cx9x9，