等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第一講數(shù)列定義及其性質(zhì)、基本概念:1通項(xiàng)公式：an ；2、前n項(xiàng)和：Sn 3、關(guān)系：an =Sn -Sn(n _ 2)二、性質(zhì)：1單調(diào)性：增數(shù)列：an - anj ；減數(shù)列：an :： anj ；常數(shù)列：an =an2、最值:n最大值：減數(shù)列最小值：增數(shù)列最大值：+川(0)若色最大，貝y a7 08 c0若S0,a8=0, a? 0,最小值:與上面相反3、前n項(xiàng)積Tn有最大值:三、幾種常見數(shù)列：-1,7,-13,19 HI2、7,77,777, HI1 3 5hJ3、2 4 84、11，?，4 川5、2么2旦? ? 33 15 35 63隨堂訓(xùn)練:2 n1已知數(shù)列an通項(xiàng)公式是an ，那么這個(gè)

2、數(shù)列是（）3n +1A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列D.常數(shù)列a12、 已知數(shù)列an滿足ai 0 , 亠，那么這個(gè)數(shù)列是（）an2A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列D.常數(shù)列2 *3、已知數(shù)列an通項(xiàng)公式是an = n kn 2，若對(duì)任意n N，都有an .1 - an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）4、 已知數(shù)列an通項(xiàng)公式是a*二 ,Tn是數(shù)列a* 的前 n 項(xiàng)積，即 Tn=aia2a3illan，2n +1當(dāng)Tn取到最大值是，n的值為（）5、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn二n2，則a$的值是（）等差數(shù)列專題一、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧與技巧點(diǎn)撥1. 等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起

3、，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，空差通常用字母d表示.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是ai,公差是d,則其通項(xiàng)公式為 an= ai + (n 1)d = (n-m)d = p.3.等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)x, A, y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，如果 A是x和y的等差x+ y中項(xiàng)，貝y人二一4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣： an= am+ ( n m)d( n, mE N*).若an為等差數(shù)列，且n = p+ q,貝U am+ an= ap+ aq(m n, p, q E N). 若an是等差數(shù)列，公差

4、為 d,則ak, ak+m, ak+2m,(k, mE N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sn, S2m Sm,務(wù)Sm,也是等差數(shù)列. S2n 1= (2 n 1) an.若n為偶數(shù)，則ndS偶一 S奇=若n為奇數(shù)，則S奇一$偶=a中(中間項(xiàng)).5.等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an,a1+ an2，或等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其前n項(xiàng)和公式為nSi = nai + n 12d.6等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系S = dn2+2,數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2 + Bn（A, B 為常數(shù)）.7最值問題在等差數(shù)列an中，a10, dv 0,則S存

5、在最大值，若 av 0, d0,貝U S存在最小值.一個(gè)推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn= ai + a2 + a3 + an，Sn= an+ an-1 + + di ,+得:Sn =ai + an2兩個(gè)技巧已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元（1）若奇數(shù)個(gè).數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為二，a-2d, ad, a, a+ d,a土 2d,：.（2）.若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差.數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為二,a-3d, a- d, a+ d, a 土 3d,二，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差.數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元四種方法等差數(shù)列的判斷方法（1）定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證 a

6、n- an-1為同一常數(shù);（2）等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證 2an-1 = an + an-2（n3, n N*）都成立；（3）通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 an= pn+ q;（4）前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證 S = An2+ Bn注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列.基礎(chǔ)訓(xùn)練：（公式的運(yùn)用，定義的把握）1.已知等差數(shù)列an中，a3=9, ao=3,則公差d的值為（）A.1隔JB .1C._ 12D .-12已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=2n+5，則此數(shù)列是（）A.以7為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列B .以7為首項(xiàng)，公差為5的等差數(shù)列C.以5為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列D .不是等差數(shù)列3.在等差

7、數(shù)列an中，ai=13, a3=12，若an=2，貝U n等于（）A .:23B .24C .25D .264.兩個(gè)數(shù)1與5的等差中項(xiàng)是（）A .1B .3C .2D .Vs5. （ 2005?黑龍江）如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則（）A .a1+a8 a4+a5B .a1 +a8=a4+a5C .a1+a8 v a4+a5D .a1 a8=a4a5考點(diǎn)1:等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和題型1:已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng)【解題思路】 給項(xiàng)求項(xiàng)問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法【例1 已知a* 為等差數(shù)列，玄仆=8,a6o = 20，則a75 -對(duì)應(yīng)練習(xí)：1已知Sn f為等差數(shù)列，am =p

8、,an =q （ m,n,k互不相等），求a-2、 已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為165，求這5個(gè)數(shù)題型2：已知前n項(xiàng)和Sn及其某項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù).【解題思路利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 a.二 （ n - 1）d求出a1及d，代入Sn可求項(xiàng)數(shù)n ；利用等差數(shù)列的前 4項(xiàng)和及后4項(xiàng)和求出a1 an，代入Sn可求項(xiàng)數(shù)n.【例2已知Sn為等差數(shù)列：an *的前n項(xiàng)和，a4 =9,a9 - -6,Sn =63，求n對(duì)應(yīng)練習(xí)：3、 若一個(gè)等差數(shù)列的前 4項(xiàng)和為36，后4項(xiàng)和為124，且所有項(xiàng)的和為 780,求這個(gè)數(shù)列 的項(xiàng)數(shù)n .4、已知Sn為等差數(shù)列 a :啲前n項(xiàng)和，ai =1,a4 =7,Sn

9、 =100，則n二 _題型3：求等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和【解題思路】(1)利用Sn求出a.,把絕對(duì)值符號(hào)去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題(2)含絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列求和問題，要注意分類討論【例3】已知Sn為等差數(shù)列fan詁勺前n項(xiàng)和，Sn -12n-n2.(1)ai + a? + a?；求a1 + a? + a? +印。；求印+ a? + a? + a.【評(píng)注】由正項(xiàng)開始的遞減等差數(shù)列的絕對(duì)值莪和的計(jì)算解題步陳*(“找出率值或者持罟由正變步的項(xiàng) 叫n(2)對(duì)相進(jìn)行討論，劈并珈 時(shí)，丁” = |務(wù)| =S/曹nn0時(shí)*T, = S a. | =2S.a S.練習(xí)：已知數(shù)列的前斤項(xiàng)和S, = 10n-nS數(shù)列

10、%的每一項(xiàng)都有久=Iah求數(shù)列仇的前卅項(xiàng)和.對(duì)應(yīng)練習(xí)：5、已知Sn為等差數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和，S10 - 1OO,S1oo - 10，求Sno.考點(diǎn)2 :證明數(shù)列是等差數(shù)列【名師指引】 判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：1定義法：ani-an=d（ N .，d是常數(shù)）= d ?是等差數(shù)列；2、 中項(xiàng)法：2an 1二a. an 2 （ N .） =1是等差數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：akn b（ k, b是常數(shù)）二 乩？是等差數(shù)列；4、 項(xiàng)和公式法：Sn =An2 Bn （ A, B是常數(shù)，A = 0）二an 是等差數(shù)列.【例4】已知Sn為等差數(shù)列1an 的前n項(xiàng)和，bn二（n N .）.求證：數(shù)列

11、 b 是等差數(shù)列n對(duì)應(yīng)練習(xí)：6、設(shè)Sn為數(shù)列 a 的前n項(xiàng)和，Sn = pnan（nN ），a a2.（1） 常數(shù)p的值；（2）證：數(shù)列an ?是等差數(shù)列考點(diǎn)3 :等差數(shù)列的性質(zhì)【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解 .【例5】1、已知Sn為等差數(shù)列 Gn 的前n項(xiàng)和，a6 =100,則S1二2、知Sn為等差數(shù)列n /的前n項(xiàng)和，Sn =m, Sm = n（n = m），則Sm n -.對(duì)應(yīng)練習(xí)：7、含2n 1個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（）A.2n 1B. n 1C.n1D. n 1nnn2n8.設(shè)Sn、Tn分別是等差數(shù)列a ?、的前n項(xiàng)和，Sn7n 2，則竺Tnn 3b5考

12、點(diǎn)4:等差數(shù)列與其它知識(shí)的綜合【解題思路】1、利用an與Sn的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；2、求出Tn后，判斷Tn的單調(diào)性【例6】已知Sn為數(shù)列 a詁勺前n項(xiàng)和，Sn二丄n2 11 n ;數(shù)列滿足：b 11，2 2bn 2 =2bn 1 -bn，其前 9項(xiàng)和為 153.數(shù)列a 1 bn涵通項(xiàng)公式；設(shè)Tn為數(shù)列 匕的前n項(xiàng)和，Cn6(2an -11)(2bn -1)求使不等式k Tn對(duì)- n N .都成立的最大正整數(shù) k的值.57課后練習(xí)：1.（2010廣雅中學(xué)）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且3-8 , 315 , Sn是數(shù)列 7 的前n項(xiàng)和，則A. Sio = SnB Sio - SnC .S9 = SiD -S9 ： Si02.在等差數(shù)列：an 沖，a = 120，則 a2 a4 a6 a.3.數(shù)列n J中，an = 2n -49，當(dāng)數(shù)列 & 的前n項(xiàng)和Sn取得最小值時(shí)，n =.4. 已知等差數(shù)列 a 共有1