不定積分解題中的若干技巧何志卿1

1、不定積分解題中的若干技巧何志卿（井岡山大學(xué) 數(shù)學(xué)系 江西 吉安 343009）指導(dǎo)老師 王丹華【摘 要】：給出了不定積分的三種常用求解方法，結(jié)合實例，討論了這三種求解方法在求解不定積分時的若干技巧，對掌握求解不定積分的方法有一定的借鑒意義。【關(guān)鍵詞】：不定積分；求解；技巧1 問題的提出數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系大學(xué)生必修的基礎(chǔ)理論課，其任務(wù)是使學(xué)生掌握邏輯思維方法和提高學(xué)生使用數(shù)學(xué)手段分析解決問題的能力，為后續(xù)的專業(yè)課提供數(shù)學(xué)工具和解決問題的手段。不定積分是積分學(xué)的基礎(chǔ)，更關(guān)鍵的是，對不定積分理解的深淺、掌握的好壞，不僅直接關(guān)系到數(shù)學(xué)分析課程本身，而且還會影響相關(guān)課程的學(xué)習(xí)和掌握，對學(xué)習(xí)定積分、線積分、

2、面積分、重積分和有限元等知識都有重要意義。我們知道，在求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，無論給定函數(shù)的表達式有多么復(fù)雜，我們總可以按照求導(dǎo)法則，按部就班地求出其導(dǎo)數(shù)。也許正是因為求導(dǎo)過程比較簡捷明了，從而決定了它的逆過程即求不定積分的過程似乎變得復(fù)雜而煩瑣，沒有一個統(tǒng)一的法則可以遵循。但恰恰由于這種復(fù)雜性，也預(yù)示著不定積分解題中的技巧是靈活多變的，技巧性也是較強的。對不定積分求解方法進行歸類處理，不僅使求解不定積分的方法條理清楚，而且有助于提高對不定積分概念的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，對學(xué)好微積分具有一定的參考價值。為此，本文正是對常規(guī)的不定積分求解方法進行了一些歸納探討。2 不定積分求解的歸類處理解不定積分的常

3、規(guī)方法有三種，即直接積分法（湊微分法）、換元法（第一、第二換元法）和分部積分法。這三種方法規(guī)定了不定積分方法的大方向，是進行不定積分運算的總原則。不定積分解題的靈活性和技巧性較強，積分方法種類繁多，但各種方法都是在這三種常規(guī)方法的基礎(chǔ)之上進行改進和拓展而得。因此，熟練掌握常規(guī)的三種方法是求解不定積分的基礎(chǔ)。三種方法的詳細介紹及其論證可以參考文獻，下文筆者僅對解不定積分的三種常規(guī)方法在具體運用中的若干技巧進行探討。2.1 不定積分的直接積分法直接積分法通常也可以稱之為湊微分法。直接積分法是建立在不定積分基本積分公式和不定積分線性運算法則（）之上的，求解不定積分的一般思路是：先將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為若干

4、簡單函數(shù)的和，然后應(yīng)用不定積分的線性運算法則和不定積分基本積分公式來求解，這樣做就是為了把復(fù)雜的不定積分化為簡單的不定積分，把未知的不定積分化為已知的不定積分。例題 1 求下列不定積分： ； .解 分析：對于例題1中的，只要對要求的不定積分進行變形，直到可以簡單地利用基本積分公式。 從上面兩道例題看，用直接積分法求解不定積分，除了必須牢記基本積分公式，還要熟練掌握中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些常用公式。在實際解題中要注意靈活運用基本積分公式，充分運用化歸的思想方法。2.2 不定積分的換元積分法換元積分法分為第一換元積分法、第二換元積分法，第一換元積分法和第二換元積分法在數(shù)學(xué)形式上互成逆反，在實際使用時則以新

5、得的積分比原來的積分更易“積分”作為選擇方式的原則。例題 2 求不定積分：.解 分析：對于例題2，理論上可以用直接積分法來求解，但其計算過程顯然是非常繁瑣的。這里采用換元積分法，計算過程就變得相對簡單得多。因為,所以令得另外，要記住在結(jié)果中把原變量換回去。例題 3 求不定積分：解 分析：對于例題3，若采用第二換元積分法，新得出的積分，比原來的積分顯然更易“積出”，而若采用第一換元積分法則過程相對復(fù)雜。令， .解題時應(yīng)該選擇更適合、更簡單、更明確的方法，不要拘泥于某種方法。2.3 不定積分的分部積分法分部積分法適用的情形是被積函數(shù)是兩類完全不同類型函數(shù)的乘積。在以往的學(xué)習(xí)中，筆者總結(jié)出了兩種類型

6、的分部積分法：“降冪”分部積分法和“升冪”分部積分法。解不定積分時，通常以新得的積分比原來的積分更易“積分”作為選擇方式的原則?！敖祪纭狈植糠e分法 一般地，對于形如、的不定積分（其中是一個關(guān)于的次多項式），作如下處理：“令，再把被積函數(shù)中出現(xiàn)的指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)選為分部積分公式中的，進行分部積分，這樣就能使多項式因式的次數(shù)逐漸降低?！边@里不妨稱之為“降冪”分部積分法。例題 4 求下列不定積分：； .解 令 . .“升冪”分部積分法一般地，對于形如、的不定積分（其中是一個關(guān)于的次多項式，為正整數(shù)），作如下處理：“令，為被積函數(shù)中的另一超越函數(shù)因子，進行分部積分，這樣做后，在新的積分中，升冪為次的

7、多項式，就變?yōu)闊o理根式或有理分式?！边@里不妨稱之為“升冪”分部積分法。例題 5 求下列不定積分： ; 解 3 結(jié) 論由于積分的靈活性，求解不定積分切不可拘泥于某種解題方法，在任何時候積分的三個基本方法都是適用的，特別是直接積分法提供了簡捷明快的直觀方法，譬如：對于就需要直接積分而不能再用換元法或分步積分法（否則會變得更困難），而例題2中采用換元積分法就使計算過程變得相對簡單。有時候一道題目可以采用這三種方法中的多種方法求解，有時候一道題目要同時運用多種方法求解。譬如：例題 6 求不定積分：.解 方法1 .方法1中采用了直接積分法. 方法2 .方法2中綜合采用了直接積分法和換元積分法，這里換元的

8、過程：“”是一種非常實用的換元技巧. 方法3 .方法3中采用了分部積分法.不管采用何種方法，運用何種解題技巧，都是希望能更簡單、更準確地求出所要求的不定積分，筆者在此所探討的技巧，就是要充分體現(xiàn)化繁為簡、化未知為已知的化歸思想方法。熟練掌握這三種積分方法，帶著化繁為簡的數(shù)學(xué)思想靈活地運用，還能衍生出各類積分方法。參 考 文 獻：1 孫立卓,孫輝.談不定積分運算中的一些靈活性J.高等數(shù)學(xué)研究,2002,(5):4.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,1992,.3 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解Z.濟南:山東大學(xué)出版社,1999, .4 化歸思想方法在求不定積分中的運用J.

9、棗莊師范專科學(xué)校學(xué)報1996年03期Indefinite integral problem-solving skills in a number ofHeZhiqing(Jinggangshan University, Department of Mathematics, Jiangxi, Ji'an 343009)Instructor WangDanhuaAbstract: Gives the indefinite integral to solve the three commonly used methods, with examples, discuss the solution of these three time in the indefinite integral to sol