最短路徑問題(1)

1、八年級八年級 上冊上冊13.4 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題最短路徑問題看圖思考：看圖思考：為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了綠地里本沒有路，走的人多了 禁止踐踏禁止踐踏兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短將軍飲馬問題：將軍飲馬問題： 兩點之間線段最短這個問題早在古羅馬時代就兩點之間線段最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：向他請教一個百思不得其

2、解的問題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？ 這就是被稱為這就是被稱為將軍飲馬將軍飲馬而廣為流傳的問題。而廣為流傳的問題。P兩點之間線段最短兩點之間線段最短. 根據(jù)：根據(jù)：BA兩點在一條直線兩側(cè)兩點在一條直線兩側(cè)例例1.1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？ 最短路線：最短路線：將軍飲馬：將軍飲馬：A -

3、P- B. 例例2.2.如圖：一位將軍騎馬從城堡如圖：一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B， 途途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？路程最短？ AB河河兩點在一條直線同側(cè)兩點在一條直線同側(cè)( (二二) )一次軸對稱：一次軸對稱：例例2 2變式：已知：變式：已知：P P、Q Q是是ABCABC的邊的邊ABAB、 ACAC上的點，你能在上的點，你能在BCBC上確定一點上確定一點R R， 使使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？兩點在一條直線同側(cè)兩點在一條直線同側(cè)( (二二) )一次軸對稱：一次軸對稱：草地草地河邊河邊.駐地駐地A例例

4、3.3.如圖：一位將軍騎馬從如圖：一位將軍騎馬從駐地駐地A A出發(fā)，先牽馬去出發(fā)，先牽馬去草地草地 OMOM吃草，再牽馬去吃草，再牽馬去河邊河邊ONON喝水，喝水， 最后回到駐地最后回到駐地A A，問：這位將軍怎樣走路程最短？問：這位將軍怎樣走路程最短？OMN( (三三) )二次軸對稱：二次軸對稱：一點在兩相交直線內(nèi)部一點在兩相交直線內(nèi)部例例3 3變式：已知變式：已知P P是是ABCABC的邊的邊BCBC上的點，上的點， 你能在你能在ABAB、ACAC上分別確定一點上分別確定一點Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？( (三三) )二次軸對稱：二次軸對稱：一點在兩相交

5、直線內(nèi)部一點在兩相交直線內(nèi)部例例4 4：如圖，：如圖，A A為馬廄，為馬廄，B B為帳篷，將軍某一天要為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。天的最短路線。（四）二次軸對稱：（四）二次軸對稱： 兩點在兩相交直線內(nèi)部兩點在兩相交直線內(nèi)部ABA/B/PQ最短路線：最短路線：A P Q BA P Q BlMN例例4變式變式：如圖，如圖，OMCN是矩形的臺球桌面，有是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于黑、白兩球分別位于B、A兩點的位置上，兩點的位置

6、上， 試問怎樣撞擊白球，使白球試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺邊依次碰撞球臺邊OM、ON后，反彈擊中黑球？后，反彈擊中黑球？（四）二次軸對稱：（四）二次軸對稱： 兩點在兩相交直線內(nèi)部兩點在兩相交直線內(nèi)部.,.AOMABONB作法:(1)作點 關(guān)于的對稱點點 關(guān)于的對稱點(2)ABOMCOND連結(jié) 和 ，交于 ，交于 。則點C、D為所求。.AABBCDMON例4變式：（四）二次軸對稱：（四）二次軸對稱： 兩點在兩相交直線內(nèi)部兩點在兩相交直線內(nèi)部兩點在一條河兩側(cè)兩點在一條河兩側(cè)例例5.5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，A A和和B B兩

7、兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.MN.橋建在何橋建在何處才能使將軍從處才能使將軍從A A到到B B的路徑的路徑AMNBAMNB最短？（假定河的兩岸最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）是平行的直線，橋要與河垂直）BA造橋選址問題造橋選址問題思維分析思維分析BA 1、如圖假定任選位置造橋、如圖假定任選位置造橋，連接和，從，連接和，從A到到B的路徑是的路徑是AM+MN+BN，那么，那么怎樣確定什么情況下最短呢？怎樣確定什么情況下最短呢？ 2、利用線段公理解決問題我們、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？遇到了什么障礙呢？ 我們能否在不

8、改變我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花思維火花各抒己見各抒己見1、把、把A平移到岸邊平移到岸邊.2、把、把B平移到岸邊平移到岸邊.3、把橋平移到和、把橋平移到和A相連相連.4、把橋平移到和、把橋平移到和B相連相連.古有愚公移山，今有學(xué)古有愚公移山，今有學(xué)子搬橋，呵呵子搬橋，呵呵!上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢不變呢？請檢驗驗.合作與交流合作與交流1、2兩種方法改變了兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？怎樣調(diào)整呢？把把A或或B分別向下或上平移一個橋長分別向下或上

9、平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決問題解決BAA1MN如圖，平移如圖，平移A A到到A A1 1，使，使A A1 1等等于河寬，連接于河寬，連接A A1 1交河岸于交河岸于作橋，此時路徑作橋，此時路徑最短最短. .理由；另任作橋理由；另任作橋，連接，連接，.由平移性質(zhì)可知，由平移性質(zhì)可知，.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，而，而轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為.在在中，由線段公理知中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN問題延伸問題延伸如圖，如圖，A和和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋座橋MN和和PQ.橋分別建

10、在何處才能使從橋分別建在何處才能使從A到到B的路徑最短？的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）思維分析思維分析如圖，問題中所走總路徑是如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋橋MN和和PQ在中間，且方向不在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用能改變，仍無法直接利用“兩兩點之間，線段最短點之間，線段最短”解決問題，解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移平移的方法有三種：兩個橋長都平移到到A點處、都平移到點處、都平移到B點處、點處、MN平移平移到到A點處，點處，PQ平移到平移到B點處點處思維方法思維方法 沿垂直于第一條河岸方沿垂直于第一條河岸方向平移點至點，沿向平移點至點，沿垂直于第二條河岸方向平移垂直于第二條河岸方向平移點至點，連接點至點，連接A1B1 分別交分別交A、B的對岸于的對岸于N、P兩點，建橋兩點，建橋MN和和PQ.最短路徑最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.（2）把）把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為 在直線的兩側(cè)，化折線為直線，在直線的兩側(cè)，化折線為直線， 將軍飲馬的實質(zhì)：將軍飲馬的實質(zhì)：（3）可利用）可利用“兩點之間線段最短兩點之間線