最短路徑問題(1)

1、八年級(jí)八年級(jí) 上冊上冊13.4 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題最短路徑問題看圖思考：看圖思考：為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了綠地里本沒有路，走的人多了 禁止踐踏禁止踐踏兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短將軍飲馬問題：將軍飲馬問題： 兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題：向他請教一個(gè)百思不得其

2、解的問題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？ 這就是被稱為這就是被稱為將軍飲馬將軍飲馬而廣為流傳的問題。而廣為流傳的問題。P兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短. 根據(jù)：根據(jù)：BA兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)例例1.1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？ 最短路線：最短路線：將軍飲馬：將軍飲馬：A -

3、P- B. 例例2.2.如圖：一位將軍騎馬從城堡如圖：一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B， 途途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？路程最短？ AB河河兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)( (二二) )一次軸對稱：一次軸對稱：例例2 2變式：已知：變式：已知：P P、Q Q是是ABCABC的邊的邊ABAB、 ACAC上的點(diǎn)，你能在上的點(diǎn)，你能在BCBC上確定一點(diǎn)上確定一點(diǎn)R R， 使使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)( (二二) )一次軸對稱：一次軸對稱：草地草地河邊河邊.駐地駐地A例例

4、3.3.如圖：一位將軍騎馬從如圖：一位將軍騎馬從駐地駐地A A出發(fā)，先牽馬去出發(fā)，先牽馬去草地草地 OMOM吃草，再牽馬去吃草，再牽馬去河邊河邊ONON喝水，喝水， 最后回到駐地最后回到駐地A A，問：這位將軍怎樣走路程最短？問：這位將軍怎樣走路程最短？OMN( (三三) )二次軸對稱：二次軸對稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例例3 3變式：已知變式：已知P P是是ABCABC的邊的邊BCBC上的點(diǎn)，上的點(diǎn)， 你能在你能在ABAB、ACAC上分別確定一點(diǎn)上分別確定一點(diǎn)Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？( (三三) )二次軸對稱：二次軸對稱：一點(diǎn)在兩相交

5、直線內(nèi)部一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例例4 4：如圖，：如圖，A A為馬廄，為馬廄，B B為帳篷，將軍某一天要為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。天的最短路線。（四）二次軸對稱：（四）二次軸對稱： 兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部ABA/B/PQ最短路線：最短路線：A P Q BA P Q BlMN例例4變式變式：如圖，如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上，兩點(diǎn)的位置

6、上， 試問怎樣撞擊白球，使白球試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺(tái)邊依次碰撞球臺(tái)邊OM、ON后，反彈擊中黑球？后，反彈擊中黑球？（四）二次軸對稱：（四）二次軸對稱： 兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部.,.AOMABONB作法:(1)作點(diǎn) 關(guān)于的對稱點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于的對稱點(diǎn)(2)ABOMCOND連結(jié) 和 ，交于 ，交于 。則點(diǎn)C、D為所求。.AABBCDMON例4變式：（四）二次軸對稱：（四）二次軸對稱： 兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部兩點(diǎn)在一條河兩側(cè)兩點(diǎn)在一條河兩側(cè)例例5.5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，A A和和B B兩

7、兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.MN.橋建在何橋建在何處才能使將軍從處才能使將軍從A A到到B B的路徑的路徑AMNBAMNB最短？（假定河的兩岸最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）是平行的直線，橋要與河垂直）BA造橋選址問題造橋選址問題思維分析思維分析BA 1、如圖假定任選位置造橋、如圖假定任選位置造橋，連接和，從，連接和，從A到到B的路徑是的路徑是AM+MN+BN，那么，那么怎樣確定什么情況下最短呢？怎樣確定什么情況下最短呢？ 2、利用線段公理解決問題我們、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？遇到了什么障礙呢？ 我們能否在不

8、改變我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花思維火花各抒己見各抒己見1、把、把A平移到岸邊平移到岸邊.2、把、把B平移到岸邊平移到岸邊.3、把橋平移到和、把橋平移到和A相連相連.4、把橋平移到和、把橋平移到和B相連相連.古有愚公移山，今有學(xué)古有愚公移山，今有學(xué)子搬橋，呵呵子搬橋，呵呵!上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢不變呢？請檢驗(yàn)驗(yàn).合作與交流合作與交流1、2兩種方法改變了兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？怎樣調(diào)整呢？把把A或或B分別向下或上平移一個(gè)橋長分別向下或上

9、平移一個(gè)橋長那么怎樣確定橋的位置呢那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決問題解決BAA1MN如圖，平移如圖，平移A A到到A A1 1，使，使A A1 1等等于河寬，連接于河寬，連接A A1 1交河岸于交河岸于作橋，此時(shí)路徑作橋，此時(shí)路徑最短最短. .理由；另任作橋理由；另任作橋，連接，連接，.由平移性質(zhì)可知，由平移性質(zhì)可知，.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，而，而轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為.在在中，由線段公理知中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN問題延伸問題延伸如圖，如圖，A和和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋座橋MN和和PQ.橋分別建

10、在何處才能使從橋分別建在何處才能使從A到到B的路徑最短？的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）思維分析思維分析如圖，問題中所走總路徑是如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋橋MN和和PQ在中間，且方向不在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用能改變，仍無法直接利用“兩兩點(diǎn)之間，線段最短點(diǎn)之間，線段最短”解決問題，解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種：兩個(gè)橋長都平移平移的方法有三種：兩個(gè)橋長都平移到到A點(diǎn)處、都平移到點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、點(diǎn)處、MN平移平移到到A點(diǎn)處，點(diǎn)處，PQ平移到平移到B點(diǎn)處點(diǎn)處思維方法思維方法 沿垂直于第一條河岸方沿垂直于第一條河岸方向平移點(diǎn)至點(diǎn)，沿向平移點(diǎn)至點(diǎn)，沿垂直于第二條河岸方向平移垂直于第二條河岸方向平移點(diǎn)至點(diǎn)，連接點(diǎn)至點(diǎn)，連接A1B1 分別交分別交A、B的對岸于的對岸于N、P兩點(diǎn)，建橋兩點(diǎn)，建橋MN和和PQ.最短路徑最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.（2）把）把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為 在直線的兩側(cè)，化折線為直線，在直線的兩側(cè)，化折線為直線， 將軍飲馬的實(shí)質(zhì)：將軍飲馬的實(shí)質(zhì)：（3）可利用）可利用“兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線