線性代數(shù)3-6線性方程組習(xí)題課

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 陳建華陳建華線性代數(shù)線性代數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 向量向量 線性方程組線性方程組 典型例題典型例題 線性方程組線性方程組 習(xí)題課習(xí)題課機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnaaa11222. 任一任一 n 維向量維向量 都是都是Rn 的基本單位向量組的基本單位向量組的線性組合的線性組合: :na aa12(,) 1. 是是 的線性組合的線性組合( ( 可由可由 線性表示線性表示) ) ,s1,s1d,sk kk12 sskkk1122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb111122

2、11211222221122 有解有解 n12 (組合系數(shù)就是方程組的一個(gè)解)3. 可表示為可表示為的線性組合的線性組合,n12 一、向量一、向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax111122121122221122000 有非零解有非零解 ( (無(wú)無(wú)) )( (只有零解只有零解) )n12 r 向量維數(shù)向量維數(shù)，其排成的行列式值為其排成的行列式值為0 0向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān). .其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合定理定理5.5.向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) ,()ss 12

3、2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理8.8.向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià). . 推論推論 向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià) 定理定理7.7. 向量組向量組(I)(I)可由可由(II)(II) ，(II)(II)可由可由( () )線性表示線性表示向量組向量組(I)(I)可由可由( () )線性表示線性表示定理定理9 9 向量組向量組 可由可由 線性表示線性表示, ,若若t st s，則向量組則向量組 線性相關(guān)線性相關(guān). . ,12t ,12s ,12t推論推論1 1( (逆否命題逆否命題) )ts ,12s ,12t線性表示線性表示

4、線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)，且可由，且可由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1010推論：推論：等價(jià)的向量組秩相等等價(jià)的向量組秩相等. . (,)(,)1212strr ,12s ,12t 可由可由 線性表示線性表示 推論推論2 2 等價(jià)等價(jià)的的線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)相等向量組所含向量個(gè)數(shù)相等. . 推論推論3 3 向量組的所有極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等向量組的所有極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等. 定理定理1111 矩陣矩陣A的行秩列秩秩的行秩列秩秩重要結(jié)論重要結(jié)論: : 行變換不改變列向量間的線性關(guān)系行變換不改變列向量間的線性關(guān)系機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1 1 設(shè)

5、非齊次方程組設(shè)非齊次方程組AmnXb，則，則(1) r(A)r( A )，原方程組無(wú)解原方程組無(wú)解(2) r(A)r( A )n，原方程組有唯一解原方程組有唯一解(3) r(A)r( A ) n，原方程組有原方程組有無(wú)窮多組無(wú)窮多組解解返回返回有解判定定理二、線性方程組二、線性方程組機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論1 1 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)m未知數(shù)個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí)，必有時(shí)，必有非零解非零解. .定理定理2 2 設(shè)齊次方程組設(shè)齊次方程組AmnXO，r(A)r，則，則(1) rn，原方程組有唯一零解原方程組有唯一零解(2) r n，原方程組有非零解原方程

6、組有非零解( (有無(wú)窮多組解有無(wú)窮多組解) )推論推論2 2 若若齊次方程組齊次方程組AnnXO系數(shù)行列式系數(shù)行列式|A|0，則必有非，則必有非零解零解. .齊次線性方程組齊次線性方程組 有非零解有非零解101,2,nijjja xin0D解的判定定理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.齊次齊次線性方程組解的性質(zhì)線性方程組解的性質(zhì) 1) 1) 兩解之和仍是解兩解之和仍是解 1212, 2) 2) 常數(shù)乘以解仍是解常數(shù)乘以解仍是解 k一般地，解的線性組合仍是解 1 122sskkk導(dǎo)出組導(dǎo)出組 2.2.非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì) 1)1)(1)(1)的兩解之差是其的兩解

7、之差是其導(dǎo)出組導(dǎo)出組的解的解 ,1212 2)2)(1)(1)的一解與其的一解與其導(dǎo)出組導(dǎo)出組的一解之和仍是的一解之和仍是(1)(1)的解的解 , 解的性質(zhì)定理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.1.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定義定義：齊次線性方程組解向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組稱(chēng)作齊次線性方程組解向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組稱(chēng)作齊次線性方程組的一個(gè)齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系。 定理定理3 3 對(duì)齊次線性方程組對(duì)齊次線性方程組(2)(2)，若，若r(A)r n，則基礎(chǔ)解系存則基礎(chǔ)解系存在，且均含在，且均含n-r個(gè)解。個(gè)解。 齊次齊次線性方程組線性方程組(2)(2)當(dāng)當(dāng) 不

8、存在不存在基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系r(A)n 時(shí)只有零解時(shí)只有零解, ,當(dāng)當(dāng)r(A)r n時(shí)時(shí)，有：，有：解的結(jié)構(gòu)定理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 非齊次非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定理定理2 2 若若 是是非齊次非齊次線性方程組線性方程組(1)(1)的一個(gè)解的一個(gè)解, , 是其是其導(dǎo)出導(dǎo)出組組(2)(2)的全部解的全部解, ,則方程組則方程組(1)(1)的全部解的全部解( (通解通解, ,一般解一般解) )為為0 001122n rn rkkk (k1,k2,kn-r為任意常數(shù))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、典型問(wèn)題剖析三、典型問(wèn)題剖析 例1 設(shè)A是mn矩陣，則

9、線性方程組AX=0只有零解的充要條件是A 的（ ） (A)行向量組線性無(wú)關(guān) (B)行向量組線性相關(guān) (C)列向量組線性無(wú)關(guān) (D)列向量組線性相關(guān)1234, ，若 例2 設(shè)矩陣A的伴隨矩陣不為零， 是非齊次線性方程組AXb的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次方程組AXO的基礎(chǔ)解系 ( )(A) 僅含一個(gè)非零解向量 (B) 含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量(C) 不存在 (D) 含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量 （練習(xí)卷P23第二題第3題）（練習(xí)卷P23第二題第5題）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3 (943 (94考研考研) )設(shè)向量組設(shè)向量組( , , ),( , , , )1211 2 40 3 1 2

10、 ( , , ,),33 0 7 14 ( , , ),41 2 2 0 求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，向量組的秩，并寫(xiě)出其余向求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，向量組的秩，并寫(xiě)出其余向量用該極大無(wú)關(guān)組的線性表達(dá)式量用該極大無(wú)關(guān)組的線性表達(dá)式. .( , , ,)52 1 5 10 ,124 r3,31251232答案：答案：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4 (954 (95考研考研) )已知向量組已知向量組(I) ; (II) ;(III) .(I) ; (II) ;(III) .如果如果各向量組的秩分別為各向量組的秩分別為r r(I)(I)r r(II)(II)3 3，r r(III)(II

11、I)4 4，證明向量組，證明向量組 的秩為的秩為4.4. ,1235 ,1234 ,123 ,12354 ,123 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān), ,1234 線性相關(guān)線性相關(guān)kkkkO112233454(),123 4 可由可由 線性表示線性表示: :aaa4112233 kkkkk aaaO112233454112233()即即 證：設(shè)設(shè)（練習(xí)卷P25第四題第6題）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,1235 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)kk akk akk akO14112422343345()()()亦亦即即kk akk akk ak14124234340000 k1 =k2 =k3 =k4 =0,1235

12、4 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)請(qǐng)思考本題的其他解法kkkkk aaaO112233454112233()即即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12,s , ,012,s 例例5 設(shè)設(shè) 為非齊次線性方程組為非齊次線性方程組AX=b 的一個(gè)解，的一個(gè)解， 是是其導(dǎo)出組其導(dǎo)出組AX =0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明： 線性線性無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 0（練習(xí)卷P25第四題第4題）思考1012020012,sss 。令證明：線性無(wú)關(guān)（練習(xí)卷P28第六題）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 設(shè)設(shè) 1121212,m m12, m12, m證明：向量組證明：向量組 與與 等價(jià)。等價(jià)。123, 思考 設(shè)設(shè) 是齊次線性方程組是齊次線性方程組AX=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：證明：也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 122331, （練習(xí)卷P25第四題第5題）（練習(xí)卷P25第四題第2題）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7 7 a 取何值時(shí)，下列線性方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多取何值時(shí)，下列線性方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？在方程組有解時(shí)，求出它的解解？在方程組有解時(shí)，求出它的解 123123123123332xxxxxaxxaxx（練習(xí)卷P23第三題