第7章動態(tài)測試數(shù)據(jù)處理的基本方法

1、 按照被測物理量是否隨時間而變化，測試技術可分為靜態(tài)測試和動態(tài)測試兩大類。 靜態(tài)測試靜態(tài)測試的被測量是靜止不變的，儀器的輸入量為常量。 動態(tài)測試動態(tài)測試的被測量是隨時間或空間而變化的，儀器的輸入量及測試結(jié)果(數(shù)據(jù)或信號)也是隨時間而變化的。 表示物理現(xiàn)象或過程的任何數(shù)據(jù)，都可以分為確定性的和隨機性的兩大類。 能夠用明確的數(shù)學關系式描述的數(shù)據(jù)稱為確定性數(shù)據(jù)。 不能用明確的數(shù)學關系式來表達的數(shù)據(jù)稱為隨機的或非確定性的數(shù)據(jù)。 動態(tài)測試數(shù)據(jù)的特征可以用數(shù)據(jù)的幅值隨時間變化的表達式、圖形或數(shù)據(jù)表來表示，這就是數(shù)據(jù)的時域描述。 時域描述比較簡單直觀(例如示波器上的波形圖)，但它不能反映數(shù)據(jù)的頻率結(jié)構(gòu)。為此

2、，常對數(shù)據(jù)進行頻譜分析，研究其頻率成分及各頻率成分的強度，這就是數(shù)據(jù)的頻域描述。 所謂“域”的不同，是指描述數(shù)據(jù)的坐標圖橫坐標的物理量不同。如時域的橫坐標為時間t，頻域的橫坐標為頻率f或。 隨著研究的目的不同，可采用不同的域描述。隨著研究的目的不同，可采用不同的域描述。 確定性數(shù)據(jù)可以根據(jù)它的時間歷程記錄是否有規(guī)律地重復出現(xiàn)，或根據(jù)它是否能展開為博里葉級數(shù)，而劃分為周期數(shù)據(jù)和非周期數(shù)據(jù)兩類。 周期數(shù)據(jù)又可分為正弦周期數(shù)據(jù)和復雜周期數(shù)據(jù)。 非周期數(shù)據(jù)又可分為準周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。 1周期數(shù)據(jù)周期數(shù)據(jù) 周期數(shù)據(jù)是經(jīng)過一定時間間隔重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)。周期數(shù)據(jù)是經(jīng)過一定時間間隔重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)。 最常見的是

3、正弦周期數(shù)據(jù)，其幅度隨時間作正弦周期波動，其函數(shù)形式如下： （7-2） 時 域頻 域復雜周期數(shù)據(jù)復雜周期數(shù)據(jù) 復雜周期數(shù)據(jù)是由不同頻率的正弦周期數(shù)據(jù)疊加而成的，其頻率比為有理數(shù)，其圖形是由基波的整數(shù)倍波形疊加而成的。 若基波頻率為f1，各組成項的頻率為nfl，nl，2，則復雜周期數(shù)據(jù)可以展開為博里葉級數(shù): （7-3） 式中，式中，（7-4） 可見，復雜周期數(shù)據(jù)是由一個靜態(tài)分量可見，復雜周期數(shù)據(jù)是由一個靜態(tài)分量A0和無限多和無限多個諧振分量個諧振分量(振幅為振幅為An，相位為，相位為n)組成，諧振分量的頻組成，諧振分量的頻率都是率都是f1的整倍數(shù)。的整倍數(shù)。復雜周期數(shù)據(jù)的圖形描述復雜周期數(shù)據(jù)的圖

4、形描述 由圖可見，即使x(t)可能包含無限多個頻率分量，但頻譜仍然是離散的。周期性方波、三角波及鋸齒波都是復雜周期性波形的例子。 在幾何量測量中，不圓度誤差數(shù)據(jù)通常也是復雜周期數(shù)據(jù)它是由偏心量、橢圓度及各種棱圓度等諧波分量疊加而成的。 凡能用明確的數(shù)學關系式描述的，但又凡能用明確的數(shù)學關系式描述的，但又不是周期性的數(shù)據(jù)，均稱為非周期數(shù)據(jù)。不是周期性的數(shù)據(jù)，均稱為非周期數(shù)據(jù)。它包括準周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。它包括準周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。 準周期數(shù)據(jù)準周期數(shù)據(jù) 準周期數(shù)據(jù)是由彼此的頻率比不全為有理數(shù)的兩個以上準周期數(shù)據(jù)是由彼此的頻率比不全為有理數(shù)的兩個以上正弦數(shù)據(jù)疊加而成的數(shù)據(jù)。正弦數(shù)據(jù)疊加而成的數(shù)據(jù)。

5、 例如例如x1(t)為周期性數(shù)據(jù)。為周期性數(shù)據(jù)。 1/3，1/7，3/7是有理數(shù)。是有理數(shù)。X2(t)為準周期性數(shù)據(jù)。為準周期性數(shù)據(jù)。50/150/3是無理數(shù)是無理數(shù)（7-5） 式中的任一頻率成分式中的任一頻率成分fn與另一頻率成分與另一頻率成分fm之比之比fnfm不全為有理數(shù)。不全為有理數(shù)。 準周期數(shù)據(jù)的頻域描述如圖所示。 在工程實踐中，當兩個或在工程實踐中，當兩個或幾個不相關的周期性物理現(xiàn)幾個不相關的周期性物理現(xiàn)象混合作用時，常會產(chǎn)生準象混合作用時，常會產(chǎn)生準周期數(shù)據(jù)。例如幾個電動機周期數(shù)據(jù)。例如幾個電動機不同步振動造成的機床或儀不同步振動造成的機床或儀表的振動，其動態(tài)測試結(jié)果表的振動，其

6、動態(tài)測試結(jié)果即為準周期數(shù)據(jù)。即為準周期數(shù)據(jù)。 瞬態(tài)數(shù)據(jù)瞬態(tài)數(shù)據(jù)準周期數(shù)據(jù)以外的非周期數(shù)據(jù)均為瞬態(tài)數(shù)據(jù)。準周期數(shù)據(jù)以外的非周期數(shù)據(jù)均為瞬態(tài)數(shù)據(jù)。 產(chǎn)生瞬態(tài)數(shù)據(jù)的物理現(xiàn)象很多。如圖所示。 圖a為熱源消除后物體溫度變化及其頻譜； 圖b為激振力解除后的阻尼振蕩系統(tǒng)的自由振動及其頻譜； 圖c為在tc時刻斷裂的電纜的應力及其頻譜。 與周期數(shù)據(jù)及準周期數(shù)據(jù)不同，瞬態(tài)數(shù)據(jù)的特點是不能用離散頻譜表示。 瞬態(tài)數(shù)據(jù)的頻譜是連續(xù)型的且頻率范圍無限，瞬態(tài)數(shù)據(jù)的頻譜是連續(xù)型的且頻率范圍無限，這與周期數(shù)據(jù)及準周期數(shù)據(jù)有明顯區(qū)別。這與周期數(shù)據(jù)及準周期數(shù)據(jù)有明顯區(qū)別。 瞬態(tài)數(shù)據(jù)的描述瞬態(tài)數(shù)據(jù)的描述（7-7） （7-8） x(f

7、)的反變換為 大多數(shù)情況下，瞬態(tài)數(shù)據(jù)可通過傅里葉變換，得到其頻大多數(shù)情況下，瞬態(tài)數(shù)據(jù)可通過傅里葉變換，得到其頻域的描述為域的描述為 與確定性數(shù)據(jù)不同，隨機性數(shù)據(jù)是不能與確定性數(shù)據(jù)不同，隨機性數(shù)據(jù)是不能用明確的數(shù)學表達式來描述。若在一個動用明確的數(shù)學表達式來描述。若在一個動態(tài)試驗中，不能在合理的試驗誤差范圍內(nèi)態(tài)試驗中，不能在合理的試驗誤差范圍內(nèi)預計未來時刻的測試結(jié)果數(shù)據(jù)，則可認為預計未來時刻的測試結(jié)果數(shù)據(jù)，則可認為此動態(tài)試驗數(shù)據(jù)是隨機性數(shù)據(jù)。隨機性數(shù)此動態(tài)試驗數(shù)據(jù)是隨機性數(shù)據(jù)。隨機性數(shù)據(jù)只能用概率統(tǒng)計的特征量來描述。據(jù)只能用概率統(tǒng)計的特征量來描述。 根據(jù)隨機數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征量是否隨時間根據(jù)隨機數(shù)據(jù)

8、的統(tǒng)計特征量是否隨時間變化，可把隨機數(shù)據(jù)分為平穩(wěn)過程和非平變化，可把隨機數(shù)據(jù)分為平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程兩大類。穩(wěn)過程兩大類。 平穩(wěn)隨機過程又可進一步分為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程又可進一步分為各態(tài)歷經(jīng)的和非各態(tài)歷經(jīng)的。和非各態(tài)歷經(jīng)的。 重復測量一個不變的物理量，由于被測量、測量儀器或測量條件的隨機因素，造成所測得一系列測量結(jié)果包含隨機誤差(偶然誤差)，其中每次測量結(jié)果都是取得一個隨機的、但是唯一的測量值，因而，測量結(jié)果是一個隨機變量。 隨著自動化生產(chǎn)和科學研究的發(fā)展，越來越多地需要測量連續(xù)變化的過程，這時被測量可能是隨時間而連續(xù)變化，或者是隨空間而連續(xù)變化。因此測量過程和測量結(jié)果也是隨時間而連續(xù)變化

9、的。同樣，由于檢測對象、測量儀器和測量條件的隨機誤差，因而被測過程和測量結(jié)果都是一個隨機的但是連續(xù)變化的函數(shù)。它有別于上述隨機變量，我們稱之為隨機函數(shù)隨機函數(shù)。 對隨機函數(shù)的分析計算，本質(zhì)上類似于前幾章的隨機誤差，但較復雜一些。 隨機過程理論就是研究隨機性表現(xiàn)為一個過程的隨機現(xiàn)象的學科，通常它是研究動態(tài)測量過程及其測量結(jié)果的理論根據(jù)。 幾何量機械量測量，過去以靜態(tài)測量為主。今幾何量機械量測量，過去以靜態(tài)測量為主。今天，隨著生產(chǎn)過程的自動化，幾何量機械量的動天，隨著生產(chǎn)過程的自動化，幾何量機械量的動態(tài)測量日益增加。例如機械量測量中的振動測量、態(tài)測量日益增加。例如機械量測量中的振動測量、動載和動態(tài)

10、應變測量、速度加速度連續(xù)測量，以動載和動態(tài)應變測量、速度加速度連續(xù)測量，以及流量、壓力、溫度等物理量的連續(xù)測量等。幾及流量、壓力、溫度等物理量的連續(xù)測量等。幾何量測量中的線紋尺和圓分度的動態(tài)測量、絲桿何量測量中的線紋尺和圓分度的動態(tài)測量、絲桿或齒輪參數(shù)的動態(tài)測量、磨削加工中尺寸的測量或齒輪參數(shù)的動態(tài)測量、磨削加工中尺寸的測量和控制、圓度測量、表面粗糙度測量等。和控制、圓度測量、表面粗糙度測量等。 顯然，用過去靜態(tài)測量精度評定方法(如前幾章所述)是不能正確評定動態(tài)測量結(jié)果的，而且不能進一步分析動態(tài)測量中的特殊現(xiàn)象(例如測量速度、頻率響應、記錄失真等)。 因此，有必要進一步介紹動態(tài)測量及誤差計算的

11、理論基礎隨機過程理論。 用輪廓儀測量某磨削表面粗糙度的記錄曲線中的任一點的表面輪廓高度是一個隨機變量，而沿任一方向的輪廓曲線是一個隨機函數(shù)。因而連續(xù)測量表面粗糙度可以看作是一個隨機過程。 在動態(tài)測量中，對某一個不斷變化著的量進行在動態(tài)測量中，對某一個不斷變化著的量進行測量，每一個測量結(jié)果是一個確定的隨時間或空測量，每一個測量結(jié)果是一個確定的隨時間或空間變化的函數(shù)間變化的函數(shù)(例如一條記錄曲線例如一條記錄曲線)，對于測量的，對于測量的時間間隔內(nèi)的每一瞬時，該函數(shù)都有一個確定的時間間隔內(nèi)的每一瞬時，該函數(shù)都有一個確定的數(shù)值。但由于隨機誤差的存在，使得重復多次測數(shù)值。但由于隨機誤差的存在，使得重復多

12、次測量，會得到不完全相同的函數(shù)結(jié)果量，會得到不完全相同的函數(shù)結(jié)果(例如一組記錄例如一組記錄曲線曲線)。這種函數(shù)，對于自變量。這種函數(shù)，對于自變量(時間或空間時間或空間)的每的每一個給定值，它是一個隨機變量，我們稱這種函一個給定值，它是一個隨機變量，我們稱這種函數(shù)為隨機函數(shù)。數(shù)為隨機函數(shù)。 每個測量結(jié)果xi(t)叫做隨機函數(shù)的一個現(xiàn)實或一個樣本，如x1(t)，x2(t)，xN(t)。而x(t)表示這些隨機函數(shù)樣本的集合(總體) 表面粗糙度的測量 自變量為時間t的隨機函數(shù)，通常叫隨機過程(例如磨加工尺寸是磨削時間的隨機函數(shù))。自變量為空間坐標l的隨機函數(shù)，通常叫隨機場(例如絲杠螺旋線誤差是絲杠長度

13、的隨機函數(shù))。隨機場和隨機過程的研究方法是一樣的。因此以下統(tǒng)稱隨機過程或隨機函數(shù)。 所有對自變量為時間t的隨機函數(shù)計算公式，同樣適用于自變量為空間坐標l或其他參量的隨機函數(shù)。 隨機過程或隨機函數(shù)隨機過程或隨機函數(shù)x(t)包含如下的內(nèi)容：包含如下的內(nèi)容： 把把x(t)看作是樣本集合時，看作是樣本集合時，x(t)意味著一組時間意味著一組時間函數(shù)函數(shù)x1(t)，x2(t)，xN(t)的集合；的集合； 把把x(t)看作是一個樣本看作是一個樣本(或一個現(xiàn)實或一個現(xiàn)實)時，時，x(t)意意味著一個具體的時間函數(shù)味著一個具體的時間函數(shù). 例如例如x(t)x3(t)； 若若ttl時，則時，則x(t)意味著一組

14、隨機變量意味著一組隨機變量x1(t1)，x2(t1)，xN(t1)的集合。的集合。 實際上，含義實際上，含義1、2、3的本質(zhì)是一樣的，只是對隨機過的本質(zhì)是一樣的，只是對隨機過程的描述方式不同。程的描述方式不同。 含義含義1是從總體集合意義上講的。是從總體集合意義上講的。 含義含義2是從一個時間歷程是從一個時間歷程(一個現(xiàn)實一個現(xiàn)實)上描述。一個現(xiàn)實是上描述。一個現(xiàn)實是表示一次實驗給定的結(jié)果這時，隨機函數(shù)表現(xiàn)為一個非表示一次實驗給定的結(jié)果這時，隨機函數(shù)表現(xiàn)為一個非隨機的確定性函數(shù)。隨機的確定性函數(shù)。 含義含義3則是從一個固定的則是從一個固定的t值上描述，由圖值上描述，由圖712截取各截取各個現(xiàn)實

15、，得一組個現(xiàn)實，得一組xl(t1)，x2(t1)，xN(t1)值，這是一組值，這是一組隨機變量，同樣反映隨機過程隨機變量，同樣反映隨機過程x(t)的特征。的特征。 由此可見，隨機函數(shù)兼有隨機變量與函數(shù)的特點。在一般由此可見，隨機函數(shù)兼有隨機變量與函數(shù)的特點。在一般實際測量中，多采用含義實際測量中，多采用含義2描述隨機過程，而在理論分析描述隨機過程，而在理論分析中，多采用含義中，多采用含義3進行研究。進行研究。 隨機變量通常用它的概率分布函數(shù)、算術平均值和標準差作為特征量來表示。 同樣，隨機過程也有它的特征量，這些特征量不象隨機變量的特征量那樣表現(xiàn)為一個確定的數(shù)，而是表現(xiàn)為一個函數(shù)。 常用四種統(tǒng)

16、計函數(shù)來表示，即： 概率密度函數(shù)； 均值、方差和方均值； 自相關函數(shù)； 譜密度函數(shù)。概率密度函數(shù)是描述隨機數(shù)據(jù)落在給定區(qū)間內(nèi)的概率。概率密度函數(shù)是描述隨機數(shù)據(jù)落在給定區(qū)間內(nèi)的概率。 (7-10)(7-11)(7-12) 對于自變量t的每一個給定值，mx(t)等于隨機函數(shù)x(t)在該t值時的所有數(shù)值的平均值(數(shù)學期望)，即(7-13) 隨機過程的均值是一個非隨機的平均函數(shù)非隨機的平均函數(shù)，它確定了隨機函數(shù)x(t)的中心趨勢，隨機過程的各個現(xiàn)實(樣本)都圍繞它變動，而變動的分散程度則可用方差成標準差來評定。 隨機函數(shù)的方差和標準差也是一個非隨機的時間函數(shù)，它隨機函數(shù)的方差和標準差也是一個非隨機的時

17、間函數(shù)，它確定了隨機函數(shù)所有現(xiàn)實相對于均值的分散程度。確定了隨機函數(shù)所有現(xiàn)實相對于均值的分散程度。 在在tt1時刻，隨機函數(shù)的方差和標準差計算類似于第二章隨時刻，隨機函數(shù)的方差和標準差計算類似于第二章隨機誤差的方差和標準差計算方法。機誤差的方差和標準差計算方法。(7-14)(7-15)式(714)給出的隨機函數(shù)方差，實質(zhì)上是x(t)的二階中心矩，而二階原點矩(7-16)隨機過程的二階原點矩又稱隨機過程的二階原點矩又稱 因因故故(7-17) 由此可見，方均值既反映隨機過程的中心趨勢，由此可見，方均值既反映隨機過程的中心趨勢，也反映隨機過程的分散度。也反映隨機過程的分散度。 均值和方差是表征隨機過

18、程在各個孤立時刻的均值和方差是表征隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性的重要特征量，但不能反映隨機過程不統(tǒng)計特性的重要特征量，但不能反映隨機過程不同時刻之間的關系。同時刻之間的關系。 因此，除均值和方差外，我們還要用另一個特因此，除均值和方差外，我們還要用另一個特征量來反映隨機過程內(nèi)不同時刻之間的相關程度，征量來反映隨機過程內(nèi)不同時刻之間的相關程度，這特征量叫相關函數(shù)或自相關函數(shù)。這特征量叫相關函數(shù)或自相關函數(shù)。 兩個隨機函數(shù)的均值(數(shù)學期望)和方差幾乎一樣，但x(t)(圖a)的特點是變化緩慢，規(guī)律性較明顯，即x1(t)在不同t時刻的函數(shù)值之間有較明顯的聯(lián)系相關性較強。 而x2(t)(圖b)的特點

19、是變化劇烈，即x2(t)在不同t時刻的函數(shù)值之間的聯(lián)系不明顯，而且隨首兩時刻間隔增大，它的聯(lián)系迅速減少,相關性變?nèi)?。自相關函數(shù)自相關函數(shù) 自相關函數(shù)是一個二元的非隨機函數(shù)，這個函數(shù)在數(shù)學自相關函數(shù)是一個二元的非隨機函數(shù)，這個函數(shù)在數(shù)學上可用相關矩來定義。上可用相關矩來定義。(7-20) 在實際應用中，自相關函數(shù)還有一種更常用的表示式稱為標準自相關函數(shù)，其定義是(7-18) 當當tt相關函數(shù)等于隨機函數(shù)的方差。相關函數(shù)等于隨機函數(shù)的方差。 由于方差可以由自相關函數(shù)表示，故隨機函數(shù)的基本特征由于方差可以由自相關函數(shù)表示，故隨機函數(shù)的基本特征量僅為均值與自相關函數(shù)。量僅為均值與自相關函數(shù)。 自相關函

20、數(shù)是對稱的。自相關函數(shù)是對稱的。 在隨機函數(shù)上加上一個非隨機函數(shù)時，它的均值在隨機函數(shù)上加上一個非隨機函數(shù)時，它的均值(數(shù)學數(shù)學期望期望)也要加上同樣的非隨機函數(shù)，但它的自相關函數(shù)不也要加上同樣的非隨機函數(shù)，但它的自相關函數(shù)不變。變。 所謂非隨機函數(shù)可以是一個固定的數(shù)，也可以是所謂非隨機函數(shù)可以是一個固定的數(shù)，也可以是t的函的函數(shù)。數(shù)。 在隨機函數(shù)上乘以非隨機因子在隨機函數(shù)上乘以非隨機因子f(t)時，它的均值也應乘時，它的均值也應乘上同一因子，而它的自相關函數(shù)應乘上上同一因子，而它的自相關函數(shù)應乘上f(t)f(t)。 特別是當特別是當f(t)常數(shù)常數(shù)C時，它的自相關函數(shù)應乘上時，它的自相關函數(shù)

21、應乘上c2。 在實際應用中，我們不僅關心作為隨機過程的在實際應用中，我們不僅關心作為隨機過程的數(shù)據(jù)的均值和相關函數(shù)，而且往往更關心隨機數(shù)數(shù)據(jù)的均值和相關函數(shù)，而且往往更關心隨機數(shù)據(jù)的頻率分布情況，也就是要研究隨機過程是由據(jù)的頻率分布情況，也就是要研究隨機過程是由哪些頻率成分所組成，不同頻率的分量各占多大哪些頻率成分所組成，不同頻率的分量各占多大比重等。這種分析方法就是所謂頻譜分析法，它比重等。這種分析方法就是所謂頻譜分析法，它在測量誤差理論中占有重要地位。在測量誤差理論中占有重要地位。 對于隨機函數(shù)，由于它的振幅和相位是隨機的，對于隨機函數(shù)，由于它的振幅和相位是隨機的，不能作出確定的頻譜圖。不

22、能作出確定的頻譜圖。 隨機過程的均方值隨機過程的均方值 可用來表示隨機函數(shù)的強度可用來表示隨機函數(shù)的強度 定義函數(shù)定義函數(shù)(7-30)來描述頻譜f到ff范圍內(nèi)隨機過程強度。當隨機過程的長度趨于，而頻率元素f趨于零時，則有(7-31)變換式(731)為定積分形式，則有 (7-32) Gx(f)描述了過程的強度沿描述了過程的強度沿f軸的分布密度，稱為軸的分布密度，稱為隨機過程的頻譜密度或譜密度。如果把隨機過程的頻譜密度或譜密度。如果把x(t)看作是看作是電流，則電流，則x2(t)將表示該電流在負載上產(chǎn)生的功率。將表示該電流在負載上產(chǎn)生的功率。 由此可見譜密度的物理意義是表示由此可見譜密度的物理意義

23、是表示f(t)產(chǎn)生的功產(chǎn)生的功率在頻率軸上的分布，而率在頻率軸上的分布，而Gx(f)曲線與橫坐標所圍曲線與橫坐標所圍面積表示了隨機過程的總功率。面積表示了隨機過程的總功率。 因此因此Gx(f)亦稱功率譜密度或功率譜。亦稱功率譜密度或功率譜。 這樣我們便引進了一個描述平穩(wěn)隨機過程新的特這樣我們便引進了一個描述平穩(wěn)隨機過程新的特征征譜密度函數(shù)譜密度函數(shù)。它是從頻率的領域描述隨機過程，。它是從頻率的領域描述隨機過程，而自相關函數(shù)是從時間的領域描述隨機過程。而自相關函數(shù)是從時間的領域描述隨機過程。 因式(731)是定義在0到的頻率范圍上，因此Gx(f)稱為“單邊”譜密度但譜密度函數(shù)也可以定義在到的頻率

24、范圍上，稱為“雙邊“譜密度，記作Sx(f)。 因隨機過程的總功率不變，故有因隨機過程的總功率不變，故有 （7-33） Gx(f)與 Sx(f)的關系 譜密度有以下重要性質(zhì)： 譜密度Sx(f)是非負的實偶函數(shù)。 譜密度函數(shù)與自相關函數(shù)互為傅里葉變換。（7-34） 式式(734)的簡化形式的簡化形式 由于自相關函數(shù)是偶函數(shù)因此式(734)實際上只有實數(shù)值部分。 故可化簡為只有實值部分的公式 （7-35） （7-36） 或已知某隨機函數(shù)已知某隨機函數(shù)x(t)的相關函數(shù)為指數(shù)函數(shù)型的相關函數(shù)為指數(shù)函數(shù)型 式中 a0； C常數(shù)。試求該過程的譜密度試求該過程的譜密度Sx(f)。解：解： 當當a不同，函數(shù)曲

25、線也不同。不同，函數(shù)曲線也不同。 （1）當）當a減小時，相關函數(shù)隨著減小時，相關函數(shù)隨著增加而減少得緩慢，增加而減少得緩慢，表示隨機過程變化較平滑。這時低頻成分占主要，頻譜上表示隨機過程變化較平滑。這時低頻成分占主要，頻譜上小頻率部分占優(yōu)勢。小頻率部分占優(yōu)勢。 （2）當）當a增加，相關函數(shù)隨增加，相關函數(shù)隨增大面威小得很快，這意增大面威小得很快，這意味著隨機過程前后相關較弱，過程變動劇烈，過程所含高味著隨機過程前后相關較弱，過程變動劇烈，過程所含高頻成份與低頻成份均起作用。頻成份與低頻成份均起作用。 （3）當）當a0時，自相關函數(shù)時，自相關函數(shù)Rx()C。它意味著隨機過。它意味著隨機過程前后完

26、全相關與自變量程前后完全相關與自變量t無關。隨機過程不包含任何頻無關。隨機過程不包含任何頻率成分的波動，故頻譜為率成分的波動，故頻譜為0。頻域為頻域為函數(shù)。函數(shù)。 （4）當）當a時，相關函數(shù)時，相關函數(shù)0，變成在，變成在0處的處的函數(shù)形式。此時各種頻率成份在隨機過程中均函數(shù)形式。此時各種頻率成份在隨機過程中均起作用。且各個作用幾乎一樣。于是該過程的頗起作用。且各個作用幾乎一樣。于是該過程的頗譜表示為一常數(shù)，由式譜表示為一常數(shù)，由式(734)得此常數(shù)的各種頻得此常數(shù)的各種頻率的噪聲合成的隨機噪聲過程亦稱為率的噪聲合成的隨機噪聲過程亦稱為“白噪聲白噪聲”，表表71序號序號5便是白噪聲的相關函數(shù)與譜

27、密度。便是白噪聲的相關函數(shù)與譜密度。它在工程實際中是很有用的。它在工程實際中是很有用的。 隨機過程分為平穩(wěn)隨機過程和非平穩(wěn)隨機過程兩大類。平穩(wěn)過程又可分為各態(tài)歷經(jīng)過程及非各態(tài)歷經(jīng)過程。由于它們備具特點因此其特征量的計算方法亦有不同。但正如前所述，對一物理量作系列測量后不可能求得被測量的真值。同樣，由于隨機誤差的存在及測量次數(shù)有限，因而對一隨機過程作一系列動態(tài)測試后，也不可能求得隨機過程特征量的真值，而只能通過有限個樣本作出估計。在工程實際中的隨機過程大多是干穩(wěn)隨機過程，對于具有N個樣本的平穩(wěn)隨機過程通常采用總體平均法(幾何平均法)求其特征量的估計，而對各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，則可采用時間平均法求其特

28、征量的估計值。 下面分別介紹這些實際估計方法及其精度。下面分別介紹這些實際估計方法及其精度。 研究圖a和圖b兩個不同的隨機過程，可以看出它們的區(qū)別。 圖a的隨機過程x(t)，其特征量(如均值、方差)顯然是不隨t1的變化而有明顯的變化，而且所選擇的tl的起點可以是任意的。 但圖b顯示另一種特點，即隨機過程的均值及自相關函數(shù)顯然隨著t1的推移而有明顯的變化。 定義定義 若隨機過程x(t)的所有特征量與t無關，即其特征量不隨t的推移而變化，則稱x(t)為平穩(wěn)隨機過程。否則，稱為非平穩(wěn)隨機過程。 “平穩(wěn)”的條件隨機過程是“平穩(wěn)”的第一個條件是其均值為常數(shù)： (7-41)隨機過程是“平穩(wěn)”的第二個條件是

29、其方差為常數(shù)： (7-42)隨機過程“平穩(wěn)”的第三個條件是隨機函數(shù)的自相關函數(shù)Rx(t，t)應不隨t的位置推移而變化，即與t無關： (7-43) 由式(721)可知，方差可由自相關函數(shù)表示，因此條件式(742)只是條件式(7-43)的持殊情況。 當不考慮隨機函數(shù)的概率密度等其他特征量，當不考慮隨機函數(shù)的概率密度等其他特征量，而只滿足均值為常數(shù)和自相關函數(shù)僅與而只滿足均值為常數(shù)和自相關函數(shù)僅與有關這兩有關這兩條件時，這樣的隨機函數(shù)稱為寬平穩(wěn)隨機函數(shù)或條件時，這樣的隨機函數(shù)稱為寬平穩(wěn)隨機函數(shù)或廣義平穩(wěn)隨機函數(shù)。廣義平穩(wěn)隨機函數(shù)。 在工程實際中，很多隨機過程都滿足平穩(wěn)的條在工程實際中，很多隨機過程都

30、滿足平穩(wěn)的條件，或者可以近似看作平穩(wěn)的。如照明電網(wǎng)的電件，或者可以近似看作平穩(wěn)的。如照明電網(wǎng)的電壓波動、電阻熱電噪聲、機床的振動、切削加工壓波動、電阻熱電噪聲、機床的振動、切削加工平而的表面粗糙度等都是平穩(wěn)的。因此，我們要平而的表面粗糙度等都是平穩(wěn)的。因此，我們要對平穩(wěn)隨機過程作進一步的研究。對平穩(wěn)隨機過程作進一步的研究。 1平穩(wěn)隨機過程的均值和方差 平穩(wěn)隨機過程的均值和方差都是常數(shù)，且方差等于為0的自相關函數(shù)值。 2平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù) 因為平穩(wěn)過程的均值為常數(shù)，因此它的自相關函數(shù)就可直接用中心化的自相關函數(shù)式表示。當0時：自相關函數(shù)取得最大值，且等于其方差。即（7-50） 平穩(wěn)過程的自

31、相關函數(shù)是偶函數(shù)，即 （7-51） 均值為零的平穩(wěn)隨機過程，若時x(t)與x(t)不相關，則其相關函數(shù)趨于0。即（7-52） 平穩(wěn)隨機過程x(t)若含有周期性成分，則它的自相關函數(shù)中亦合有周期成分，且其周期與過程的周期相同。 在實際應用中，性質(zhì)、是重要的。 當時，不含周期信號成分的平穩(wěn)過程x(t)與x(t)的依賴性甚微(即不相關)，其自相關函數(shù)趨于零。而含有周期信號成分的平穩(wěn)過程，x(t)與x(t)仍有周期性依賴關系，其自相關函數(shù)仍保持一定值。因此可從自相關函數(shù)是否趨于零來鑒別出均值為零的平穩(wěn)過程是否混有周期信號。 上面給出了描述平穩(wěn)隨機過程的特征量的各個定義，若知道隨機函數(shù)的類型，便可知其特

32、征量。但在工程實際中，更多的情況是預先不知道隨機數(shù)據(jù)的函數(shù)形式，面是通過實驗測得如圖712所示的隨機函數(shù)樣本集合。這時可由實驗結(jié)果來求特征量。 圖712 圖712 首先對首先對N個連續(xù)的記錄采樣個連續(xù)的記錄采樣(采集斷續(xù)的數(shù)字樣本采集斷續(xù)的數(shù)字樣本)，取，取等間距的等間距的tl，t2，tn，截取圖，截取圖712的連續(xù)記錄，得函的連續(xù)記錄，得函數(shù)值，如表數(shù)值，如表72所示。所示。 采樣數(shù)目的確定：若圖采樣數(shù)目的確定：若圖712的記錄長度為的記錄長度為T，首先將首先將T分成等間距的分成等間距的n等分即等分即tktk-1Tn，為了可靠地計算均值和自相關函數(shù)為了可靠地計算均值和自相關函數(shù), n要取得足夠要取得足夠大，具體確定辦法參見有關書籍的采樣定理。大，具體確定辦法參見有關書籍的采樣定理。 采樣數(shù)目確定后，計算平穩(wěn)隨機過程的特征量，采樣數(shù)目確定后，計算平穩(wěn)隨機過程的特征量，就不必用積分形式運算，而可以用代數(shù)