平面向量數量積的坐標表示典型例題doc

1、平面向量數量積的坐標表示坐標法是用代數方法研究幾何問題的一個重要思想方法用坐標來研究向量的數量積是本節(jié)的基本內容本節(jié)內容的重點是平面向量數量積的坐標表示以及由此推得的長度、角度、垂直關系的坐標表示難點是用坐標法處理長度、角度、垂直等問題1平面向量數量積的坐標表示兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和設a（x1，y1），b（x2，y2），則a·bx1x2y1y22向量垂直的坐標表示的充要條件兩個非零向量垂直的充要條件是它們的數量積為0即abx1x2y1y203向量長度公式的坐標表示設a（x，y），則|a|2x2y2，因此，|a|4兩向量夾角公式的坐標表示已知非零向量a（x1，y1）

2、，b（x2，y2），夾角為，則cos學習本課時，我們弄清楚下面的問題： 平面向量數量積用坐標表示的基礎和意義是怎樣的？數量積的坐標表示的基礎是：向量的坐標表示和數量積的運算律設i、j分別是和x軸、y軸同向的單位向量，則i·i1，j·j1，i·jj·i0，設a（x1，y1），b（x2，y2），則a·b（x1iy1j）·（x2iy2j）x1x2i2x1y2i·jx2y1i·jy1y2j2x1x2y1y2數量積坐標表示的意義在于能使數量積的計算代數化，為用向量來處理幾何問題，特別是解析幾何問題提供了便利條件&#

3、160;【學習方法指導】怎樣用向量的坐標形式求解向量積的問題？例1已知a（1，2），b（2，0），求同時滿足條件a·c4，b·c0的向量c解：設c（x，y），則由得x0，y2，所求向量c（0，2） 怎樣求向量的投影？例2求向量a（1，2）在向量b（2，2）方向上的投影分析：本題考查向量的數量積的幾何意義要求向量的投影，需先求兩向量的夾角，而這可根據數量積的性質求得解：設向量a與b的夾角為，則cosa在b方向上的投影|a|cos×（ 怎樣把一個已知向量轉化為單位向量？例3設a（x，y）0，則即得到一個單位向量  怎樣利用向量的幾種形式解

4、答問題？例4已知a、b是兩個非零向量，且|a|b|ab|，求a與ab的夾角分析：由于向量的表示形式不同，有下面三種解法：解法一：由|a|b|，有|a|2|b|2又由|b|ab|，得|b|2|a|22a·b|b|2a·b|a|2而|ab|2|a|22a·b|b|23|a|2|ab|a|設a與ab的夾角為，則cos30°解法二：設向量a（x1，y1），b（x2，y2）|a|b|，x12y12x22y22由|b|ab|得x1x2y1y2（x12y12）由|ab|22（x12y12）2·（x12y12）3（x12y12）得|ab|設a與ab的夾角為，則

5、cos30°解法三：由向量加法的幾何意義，可作圖571如下：圖571在平面內任取一點O，作a，b，以、為鄰邊作平行四邊形OACB|a|b|，即|，OACB為菱形，OC平分AOB，這時ab，ab，而|a|b|ab|即|AOB為正三角形，則AOB60°，于是AOC30°即a與ab的夾角為30°點評：用向量的坐標形式入手容易，但計算量較大用向量的幾何形式簡捷且直觀，但不易入手 怎樣用平面向量的坐標形式解證幾何問題？例5已知A（5，1），B（1，7），C（1，2），求ABC中A的平分線AD的長圖572解：|AB|10，|AC|5設D分所成的比為，則2設點D（x0，y0），則x0所以，|AD| 【知識拓展】用向量方法可以解證三角和不等式方面的問題例6用向量法證明cos（）coscossin sin（要求0，）證明：在單位圓上取兩動點A、B，設以OA、OB為終邊的角分別為，則A（cos，sin），B（cos，sin）于是·coscossinsin又