初二數學競賽輔導資料共12講講義1

1、第 1 頁目 錄本內容適合八年級學生競賽拔高使用。重點落實在奧賽方面的基礎知識與基本技能培訓與提高。本內容難度適中，講練結合，由淺入深，講解及練習同步，重在提高學生的數學分析能力及解題能力。另外，在本次培訓中，內容的編排與講解可以根據學生的具體狀況由任課教師適當的調整順序與增刪內容。其中因式分解為初二下冊內容，但是考慮到它的重要性與工具性，將在本次培訓進行具體解讀。注：有(*) 標注的為選做內容。本次培訓具體計劃如下，以供參考：本次培訓具體計劃如下，以供參考：第一講實數（一）第二講實數（二）第三講平面直角坐標系、函數第四講一次函數（一）第五講一次函數（二）第六講全等三角形第七講直角三角形及勾股

2、定理第八講 株洲市初二數學競賽模擬卷（未裝訂在內，另發(fā)）第九講 競賽中整數性質的運用第十講不定方程及應用第 2 頁第十一講因式分解的方法第十二講因式分解的應用第十三講考試（未裝訂在內，另發(fā)）第十四講試卷講評第第 1 1 講講 實數（一）實數（一）【知識梳理】一、非負數：正數與零統(tǒng)稱為非負數1、幾種常見的非負數（1）實數的絕對值是非負數，即|a|0在數軸上，表示實數a的點到原點的距離叫做實數a的絕對值，用|a|來表示設a為實數，則絕對值的性質：絕對值最小的實數是 0若a及b互為相反數，則|a|b|；若|a|b|，則ab對任意實數a，則|a|a， |a|a|ab|a|b|，(b0)|a|b|ab|

3、a|b|（2）實數的偶次冪是非負數如果a為任意實數，則0（n為自然數） ，當n1 時，0na22a（3）算術平方根是非負數，即 0，其中a0. a第 3 頁算術平方根的性質： （a0） aa2|2aa2、非負數的性質（1）有限個非負數的與、積、商（除數不為零）是非負數（2）若干個非負數的與等于零，則每個加數都為零（3）若非負數不大于零，則此非負數必為零3、對于形如的式子，被開方數必須為非負數；a4、推廣到的化簡；33aanna5、利用配方法來解題：開平方或開立方時，將被開方數配成完全平方式或完全立方。【例題精講例題精講】 專題一：利用非負數的性質解題：專題一：利用非負數的性質解題：【例 1】已

4、知實數x、y、z滿足，求xyz0241|212zyzzyx的平方根?！眷柟獭?、已知，則的值為222(6)440 xyxxyyxy_；2、若，0)2(12aba的值)2007)(2007(1)2)(2(1) 1)(1(11bababaab求【拓展】設a、b、c是實數，若，求a、b、c14261412cbacba的值專題二：對于專題二：對于 的應用(0)a a 第 4 頁【例 2】已知x、y是實數，且 yxxxy則, 32112；【例 3】已知 、 適合關系式：xyz，求的值。yxyxzyxzyx20022002223xyz【鞏固】1、已知b，且的算術平方根是，31315153aa11am的立方

5、根是 ，試求的平方根與立方根。14 bn)43)(2(mnmn2、已知，則 ；141122xxxyyx）（32【拓展】在實數范圍內，設 ，求 的個位數字。a20102241()12xxxxxa專題三：專題三：，的化簡及應用的化簡及應用2aa33aa常用方法：利用配方法將被開方數配成完全平方式或者立方式【例 4】化簡：961222xxxxy【例 5】若實數x滿足方程 ，那么 11xx 21)x（；【鞏固】1、若，且，則 92a42babba2)(2)(ba；2、已知實數a滿足a0，那么 ；332aa11aa 3、設449612222xxxxxxy（1）求y的最小值（2）求使 6y7 的x的取值范

6、圍。第 5 頁【拓展】若，求的值。01)13(222xxaxx2)2( a【課后練習課后練習】1、如果a 0 ，那么 。3a2、已知與是數的平方根，則求的值 。32m12mpp3、設a、b、c是ABC 的三邊的長，則 22)()(cbacba。4、已知x、y是實數，且則 。, 111xxy5、若 0 a 0） D、S30t（t4）2、圖 1 是韓教師早晨出門散步時，離家的距離及時間之間的函數圖( )y( )xABOyx32020038（升）Q（分鐘）t320200311（升）Q（分鐘）t200311（升）Q（分鐘）t320200311（升）Q（分鐘）tAMByyyyxxxxOOOOABCDAB

7、CDyx圖1第 12 頁象若用黑點表示韓教師家的位置，則韓教師散步行走的路線可能是（）3、函數自變量 的取值范圍為_；x4、如圖，水以恒速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下圖的四種底面積相同的容器中，下面那種方案能準確表達各容器所對應的水高度 與時間 的函數關系圖象：htA （1）甲， （2）乙， （3）丁， （4）丙 B （1）乙，（2）甲， （3）丁， （4）丙C （1）乙， （2）甲， （3）丙， （4）丁 D （1）丁，（2）甲， （3）乙， （4）丙5、平面直角坐標系內，點 A（n，1n）一定不在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限6、若 P(ab，5)及

8、 Q(1，3ab)關于原點對稱，則（ab）(ab)的值為 ；6、已知點 P（3p15，3p）在第三象限，如果其坐標為整數點，求點M 的坐標。第第 4 4 講講 一次函數（一）一次函數（一） 姓名： 【知識梳理】htOhtOhtOhtO甲乙丙?。?）（2）（3）（4）第 13 頁一、一次函數與正比例函數的概念：一、一次函數與正比例函數的概念：若兩個變量x，y間的關系式可以表示成ykxb（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量） ，特別地，當b0時，稱y是x的正比例函數.二、一次函數的圖象：二、一次函數的圖象：由于一次函數ykxb（k，b為常數，k0）的圖象是一條直線，所以一

9、次函數ykxb的圖象也稱為直線ykxb由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數圖象時，只要描出適合關系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點、直線及y軸的交點（0，b） ，直線及x軸的交點（ykx的圖象時，只要描出點（0，0） ， （1，k）即可.kb三、一次函數三、一次函數y ykxkxb b（k k，b b為常數，為常數，k k00）的性質：）的性質：（1）k的正負決定直線的傾斜方向；k0 時，y的值隨x值的增大而增大；kO 時，y的值隨x值的增大而減小（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線及x軸相交的銳角度數越大（直線陡） ，|k|越小，直線及x軸相交的銳角度數越

10、?。ㄖ本€緩） ；（3）b的正、負決定直線及y軸交點的位置；當b0 時，直線及y軸交于正半軸上；當b0 時，直線及y軸交于負半軸上；當b0 時，直線經過原點，是正比例函數第 14 頁（4）由于k，b的符號不同，直線所經過的象限也不同；如圖 1118（1）所示，當k0，b0 時，直線經過第一、二、三象限（直線不經過第四象限） ；如圖 1118（2）所示，當k0，bO 時，直線經過第一、三、四象限（直線不經過第二象限） ；如圖 1118（3）所示，當kO，b0 時，直線經過第一、二、四象限（直線不經過第三象限） ；如圖 1118（4）所示，當kO，bO 時，直線經過第二、三、四象限（直線不經過第一象

11、限） （5）由于|k|決定直線及x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線yx1 可以看作是正比例函數yx向上平移一個單位得到的四、正比例函數四、正比例函數y ykxkx（k k00）的性質：）的性質：（1）正比例函數ykx的圖象必經過原點；（2）當k0 時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（3）當k0 時，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小五、用函數的觀點看方程及不等式：五、用函數的觀點看方程及不等式：（1）方程 2x200 及函數y2x20 觀察思考、二者之間有什么聯系？從數上看：方程

12、2x200 的解，是函數y2x20 的值為 0 時，對應自變量的值第 15 頁從形上看：函數y2x20 及x軸交點的橫坐標即為方程 2x200 的解關系、由于任何一元一次方程都可轉化為kxb0（k、b為常數，k0）的形式所以解一元一次方程可以轉化為、當一次函數值為 0 時，求相應的自變量的值 從圖象上看，這相當于已知直線ykxb確定它及x軸交點的橫坐標值（2）解關于x、y的方程組，從“數”的角度看，相當于考慮當自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數值是多少，從“形”的角度看，相當于確定兩條直線ykxb及ymxn的交點坐標。兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的

13、二元一次方程組的解。（3）解一元一次不等式可以看作是:當一次函數值大于（或小于）0 時，求自變量相應的取值范圍解關于x的不等式kxbmxn可以轉化為：當自變量x取何值時，直線y（km）xbn上的點在x軸的上方，或（2）求當x取何值時，直線ykxb上的點在直線ymxn上相應的點的上方 （不等號為“”時是同樣的道理）【例題精講例題精講】 例例 1 1：已知一次函數，則這樣的一次函數的圖象必經過第 ,0ykxb kb=+0（k0）的解集是x3，則直線ykx2 及x軸的交點是_2、如右圖，直線bxkyl11:及直線xkyl22:在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于x的不等式21k xk xb的

14、解集為 例例 5 5：一個一次函數的圖像及直線平行，及 軸、軸的交點分別為xyA、B，并且過點（1，25） ，則線段 AB 上（包括端點 A、B） ，橫坐標、縱坐標都是整數的點有幾個？【鞏固鞏固】如圖一次函數的圖象經過點與，則5yx( , )P a b( , )Q c d的值為 。()()a cdb cd例例 6 6：如圖，直線 的解析式為，且 及 軸交于點 D，直線1l33 xy1lx經過點 A、B，直線 、交于點 C。2l1l2l（1）求直線的解析式。2l（2）求ADC 的面積；（3）在直線上存在異于點 C 的另一點 P，使得ADP 及ADC 的 2l面積相等，請直接寫出點 P 的坐標。y

15、x121yk xb2yk xOxyO第 18 頁【課后練習課后練習】1、點 A 為直線上的一點，點 A 到兩坐標軸的距離相等，則點22 xyA 的坐標為_。2、直線經過一、二、四象限，那么直線經過 象限。bkxykbxy3、一次函數ykxb（kb，是常數，0k ）的圖象如圖所示，則不等式0kxb的解集是（ ）A2x B0 x C2x D0 x 4、如圖一直線 L 經過不同三點 A（a，b） ，B(b，a)，C，那么(,)ab ba直線 L 經過（ ）A第二、四象限 B第一、三象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限5、設直線( 為自然數)及兩坐標軸圍成的三角形面積為(1)2nxny+=nn

16、S1，2，3，2000).則1232000的值為 ( )nSSSSA. B. C. D. 16、如圖直線及 軸、軸分別交于 A、B 兩點，以線段 AB 為直角邊在第xy一象限內作等腰直角ABC，BAC90，如果在第二象限內有一點P，且ABP 的面積及ABC 的面積相等，求a的值。 第第 5 5 講講 一次函數（二）一次函數（二）【知識梳理知識梳理】一次函數的應用就是從給定的材料中抽象出函數關系，構建一次函數模型，ykxb022第 19 頁再利用一次函數的性質求出問題的解。【例題精講例題精講】例例 1 1：我市一種商品的需求量y1（萬件） 、供應量y2（萬件）及價格x（元件）分別近似滿足下列函數

17、關系式：y1x60，y22x36；需求量為 時，即停止供應。當y1 y2時，0該商品的價格稱為穩(wěn)定價格，需求量稱為穩(wěn)定需求量（1）求該商品的穩(wěn)定價格及穩(wěn)定需求量；（2）價格在什么范圍，該商品的需求量低于供應量？（3）當需求量高于供應量時，政府常通過對供應方提供價格補貼來提高供貨價格，以提高供應量，現若要使穩(wěn)定需求量增加 4 萬件，政府應對每件商品提供多少元補貼，才能使供應量等于需求量？【鞏固鞏固】圖 1130 表示甲、乙兩名選手在一次自行車越野賽中，路程y（千米）隨時間x（分）變化的圖象（全程） ，根據圖象回答下列問題（1）當比賽開始多少分時，兩人第一次相遇？（2）這次比賽全程是多少千米？（3

18、）當比賽開始多少分時，兩人第二次相遇？例例 2 2：在購買某場足球賽門票時，設購買門票數為 （張） ，總費用為x（元） 現有兩種購買方案：y方案一：若單位贊助廣告費 10000 元，則該單位所購門票的價格為每張60 元；（總費用廣告贊助費門票費）方案二：購買門票方式如圖所示2236yx160yx O（第 22 題圖）1000014000100150Ox(張)y(元)甲乙第 20 頁解答下列問題：（1）方案一中，及 的函數關系式為 ；yx方案二中，當時，及 的函數關系式為 ；0160 xyx當時，及 的函數關系式為 ；100 x yx（2）如果購買本場足球賽超過 100 張，你將選擇哪一種方案，

19、使總費用最??？請說明理由；（3）甲、乙兩單位分別采用方案一、方案二購買本場足球賽門票共 700張，花去總費用計 58000 元，求甲、乙兩單位各購買門票多少張【鞏固鞏固】我國是世界上嚴重缺水的國家之一為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費辦法收費。即一月用水10 噸以內（包括 10 噸）的用戶，每噸收水費 元；一月用水超過 10 噸a的用戶，10 噸水仍按每噸 元收費，超過 10 噸的部分，按每噸 元（ab）收費。設一戶居民月用水 噸，應收水費元，及 之間的函數關baxyyx系如圖 13 所示：（1）求 的值；某戶居民上月用水 8 噸，應收水費多少元？a（2）求

20、的值，并寫出當時，及 之間的函數關系式；b10 x yx（3）已知居民甲上月比居民乙多用水 4 噸，兩家共收水費 46 元，求他們上月分別用水多少噸？例例 3 3：抗震救災中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，決定將甲、乙兩個倉庫的糧食，全部轉移到具有較強抗震功能的 A、B 兩倉庫。已知甲庫有糧食 100 噸，乙?guī)煊屑Z食 80 噸，而 A 庫的容量為 70 噸，B 庫的容量為 110 噸。從甲、乙兩庫到 A、B 兩庫的路程與運費如下表（表中第 21 頁“元/噸千米”表示每噸糧食運送 1 千米所需人民幣）（1）若甲庫運往 A 庫糧食 噸，請寫出將糧食運往 A、B 兩庫的總運費x（元）及 （噸）的

21、函數關系式；yx（2）當甲、乙兩庫各運往 A、B 兩庫多少噸糧食時，總運費最省，最省的總運費是多少？【鞏固鞏固】我市某鄉(xiāng)兩村盛產柑桔，村有柑桔 200 噸，村有柑桔AB，AB300 噸現將這些柑桔運到兩個冷藏倉庫，已知倉庫可儲存 240CD，C噸，倉庫可儲存 260 噸；從村運往兩處的費用分別為每噸 20 元DACD，與 25 元，從村運往兩處的費用分別為每噸 15 元與 18 元設從BCD，村運往倉庫的柑桔重量為 噸，兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用ACxAB，分別為元與元AyBy（1）請?zhí)顚懴卤?，并求出?之間的函數關系式；AByy，xCD總計A噸x200 噸B300 噸總計240 噸260

22、噸500 噸（2）試討論兩村中，哪個村的運費較少；AB，（3）考慮到村的經濟承受能力，村的柑桔運費不得超過 4830 元在BB這種情況下，請問怎樣調運，才能使兩村運費之與最??？求出這個最小值例例 4 4：我國鐵路第六次大提速，在甲、乙兩城市之間開通了動車組高速列車已知每隔 1h有一列速度相同的動車組列車從甲城開往乙城如圖收地運地第 22 頁所示，OA是第一列動車組列車離開甲城的路程s(單位在：km)及運行時間t(單位：h)的函數圖象，BC是一列從乙城開往甲城的普通快車距甲城的路程s(單位：km)及運行時間t(單位：h)的函數圖象請根據圖中信息，解答下列問題：（1）點Bh，點B的縱坐標 300

23、的意義是_； （2）請你在原圖中直接畫出第二列動車組列車離開甲城的路程s及時間t的函數圖象；（3）若普通快車的速度為 100 km/h，求BC的解析式，并寫出自變量t的取值范圍； 求第二列動車組列車出發(fā)后多長時間及普通列車相遇； 直接寫出這列普通列車在行駛途中及迎面而來的相鄰兩列動車組列車相遇的間隔時間【鞏固鞏固】某物流公司的快遞車與貨車每天往返于A、B兩地，快遞車比貨車多往返一趟。圖中表示快遞車距離A地的路程y(單位：千米)及所用時間x(單位：時)的函數圖象已知貨車比快遞車早 1 小時出發(fā)，到達B地后用 2 小時裝卸貨物，然后按原路、原速返回，結果比快遞車最后一次返回A地晚 1 小時（1）請

24、在圖中畫出貨車距離A地的路程y(千米)及所用時間x(時)的函數圖象；（2）求兩車在途中相遇的次數(直接寫出答案)；（3）求兩車最后一次相遇時，距離A地的路程與貨車從A地出發(fā)了幾小時？ 【課后練習課后練習】ABCO123100200300s/kmt/h第 23 頁1、某車站客流量大，旅客往往需長時間排隊等候購票經調查統(tǒng)計發(fā)現，每天開始售票時，約有 300 名旅客排隊等候購票，同時有新的旅客不斷進入售票廳排隊等候購票，新增購票人數（人）及售票時間 （分）的函yx數關系如圖所示；每個售票窗口票數（人）及售票時間 （分）的函yx數關系如圖所示某天售票廳排隊等候購票的人數（人）及售票時間y（分）的函數關

25、系如圖所示，已知售票的前 分鐘開放了兩個售票窗xa口（1）求 的值；a（2）求售票到第 60 分鐘時，售票廳排隊等候購票的旅客人數；（3）該車站在學習實踐科學發(fā)展觀的活動中，本著“以人為本，方便旅客”的宗旨，決定增設售票窗口若要在開始售票后半小時內讓所有排隊購票的旅客都能購到票，以便后來到站的旅客能隨到隨購，請你幫助計算，至少需同時開放幾個售票窗口？2 2、如圖，工地上有 A、B 兩個土墩，洼地 E 與河濱 F，兩個土墩的土方數分別是 781 方，1584 方，洼地 E 填上 1025 方，河濱 F 可填上 1390方，要求挖掉兩個土墩，把這些土先填平洼地 E，余下的圖填入河濱F（填入 F 實

26、際只有 1340 方） ，如何安排運土方案，才能使勞力最省？（提示：把土方 米作為運土花費勞力的單位）第第 6 6 講：全等三角形講：全等三角形【知識梳理知識梳理】1、全等三角形：全等三角形、能夠完全重合的兩個三角形。2、全等三角形的判定方法有：143124030078ax/分y/人OOO（圖）（圖）（圖）x/分y/人x/分y/人第 24 頁“SAS” 、 “ASA” 、 “AAS” 、 “SSS” 、 “HL”3、 全等三角形的性質：（1）全等三角形的對應角相等，對應線段（邊、高、中線、角平分線）相等。（2）全等三角形的周長、面積相等。4、全等三角形常見輔助線的作法有以下幾種：1)遇到等腰三

27、角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折” 2)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段及原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉” 3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折” ，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理4)過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”5)截長法及補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段及特定線段相等，或是將某條線段延長，是之及特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明這種作法，適合

28、于證明線段的與、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答【例題精講例題精講】第 25 頁例例 1 1：已知，如圖ABC 中，AB5，AC3，則中線 AD 的取值范圍是_.【鞏固鞏固】如圖所示，已知在ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD上一點，且 BEAC，延長 BE 交 AC 于 F，求證: AFEF.例例 2 2：已知等腰直角三角形 ABC 中，ACBC，BD 平分ABC，求證：ABBCCD【鞏固鞏固】1、已知ABC 中，AD 平分BAC，ABAC，求證：ABACBDDC2、如圖所示，已知

29、四邊形 ABCD 中，ABAD，BAD60，BCD120，求證: BCDCAC. 例例 3 3：如圖，已知在ABC 中，B60，ABC 的角平分線AD，CE 相交于點 O求證：OEOD例例 4 4：如圖，在ABC 中，BAC 的平分線及 BC 的垂直平分線 PQ的垂直平分線 PQ 相交于點 P，過點 P 分別作 PNAB 于 N，PM AC于點 M求證：BNCM例例 5 5：AD 為ABC 的角平分線，直線 MNAD 于 A，E 為 MN 上一點，ABC 周長記為，EBC 周長記為。求證.APBPBPAP【拓展拓展】正方形 ABCD 中，E 為 BC 上的一點，F 為 CD 上的一點，BEDF

30、EF，求EAF 的度數.EFDABCABCDMNPQBACOEABDCFEDCBA第 26 頁【課后練習課后練習】1、如圖，BAC60，C40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ平分ABC 交 AC 于 Q求證：ABBPBQAQ2、如圖，ABC 中，E、F 分別在 AB、AC 上，DEDF，D 是中點，試比較 BECF 及 EF 的大小.3、如圖，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB于 E，DFAC 于 F. （1）說明 BECF 的理由；（2）如果 AB ，AC ，求 AE、BE 的長.ab第第 7 7 講：直角三角形及勾股定理講：直角三角形及勾股定理【知識梳

31、理知識梳理】一、直角三角形的判定：一、直角三角形的判定：1、有兩個角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性質二、直角三角形的性質1、直角三角形兩銳角互余2、直角三角形中 30所對的直角邊等于斜邊的一半3、直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半；4、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方與等于斜邊c的平方，即a2b2c25.直角三角形兩直角邊a，b的平方與等于斜邊c的平方，EDGFCBA第 27 頁即a2b2c2由廣勾股定理我們可以自然地推導出三角形三邊關系對于角的影響在ABC 中，(1)若c2a2b2，則C90；(2)若c2a2b2，則C90；(3)若c2a2b2，則

32、C90勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內部的邊角關系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應用5、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a，b，c有下面關系：a2b2c2那么這個三角形是直角三角形6、勾股數的定義：如果三個正整數a、b、c滿足等式a2b2c2，那么這三個正整數a、b、c叫做一組勾股數。簡單的勾股數有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。【典例精析典例精析】例例 1 1：在ABC 中，BAD90，AB3，BC5，現將它們折疊，使 B 點及 C 點重合，求折痕 DE 的長?！眷柟天柟獭?、如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC6

33、cm、BC8 cm，現將ABC折疊，使點B及點A重合，折痕為DE，則BE的長為（ ）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm2、四邊形 ABCD 中，DAB60 ，BD90，BC1，CD2；求對角線 AC 的長？ABCDE第 28 頁例例 2 2：如圖所示已知：在正方形 ABCD 中，BAC 的平分線交 BC于 E，作 EFAC 于 F，作 FGAB 于 G求證：AB22FG2【鞏固鞏固】已知ABC 中，A90，M 是 BC 的中點，E，F 分別在AB，AC 上，MEMF求證：EF2BE2CF2例例 3 3：已知正方形 ABCD 的邊長為 1，正方形 EFGH 內接于ABCD，

34、AEa，AFb,且 SEFGH32求：的值ab 例例 4 4：已知：P 為ABC 內一點，且 PA3，PB4，PC5，求APB 的度數【鞏固鞏固】如圖，四邊形 ABCD 中，ACBD，AC 及 BD 交于 O 點，AB15，BC40，CD50，則 AD_.例例 5 5：一個直角三角形的三條邊長均為整數，它的一條直角邊的長為15，那么它的另一條直角邊的長有_種可能，其中最大的值是_.【拓展拓展】是否存在這樣的直角三角形，它的兩條直角邊長為整數，且它的周長及面積的數值相等？若存在，求出它的各邊長；若不存在，說明理由?！菊n外練習課外練習】1、如圖，在 RtABC 中，ACB90BC3,AC4,AB

35、的垂直平分線 DE 交 BC 的延長線于點 E，則 CE 的長為（ ）A32 B76 C256D22、如圖，等腰中，是底邊上的高，若ABCABACADADBECHDABCEFGABCDO第 29 頁，5cm6cmABBC，則 cmAD 3、已知 ABCD，ABD，BCE 都是等腰三角形，CD8，BE3，則 AC 的長等于（ ）A.8 B.5 C.3 D. 344、如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、B、C、D 的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形 E 的面積是A13 B26 C47 D945、如圖，在矩形 ABCD 中，在 DC 上存

36、在一點 E，沿直線 AE 折疊，使點 D 恰好落在 BC 邊上，設此點為 F，若ABF 的面積為 30cm2，那么折疊的AED 的面積為_. 第第 9 9 講講 競賽中整數性質的運用競賽中整數性質的運用【知識梳理知識梳理】1 1、完全平方數的末位數、完全平方數的末位數若a是整數，則稱為完全平方數。2a定理 1：完全平方數的末位數只能是 0，1，4，5，6，9。推論：凡末位數是 2，3，7，8 的自然數一定不是完全平方數。定理 2：奇數的平方的十位數字必是偶數。推論：十位數字是奇數的完全平方數一定是偶數。定理 3：連續(xù)的 10 個自然數的平方與的末位數都是 5。2 2、連續(xù)自然數乘積的末位數、連

37、續(xù)自然數乘積的末位數定理 4：兩個連續(xù)自然數乘積的末位數只能是 0，2，6；3 個連續(xù)自然數ACDBABCDE第 30 頁乘積的末位數只能是 0，4，6；4 個連續(xù)自然數乘積的末位數只能是0，4；5 個或 5 個以上連續(xù)自然數乘積的末位數都是 0。3 3、末位數的運算性質、末位數的運算性質定理 5：兩個自然數與的末位數等于這兩個自然數末位數與的末位數；兩個自然數乘積的末位數等于這兩個自然數末位數乘積的末位數，即其中a與b都是自然數利用末位數的性質，可以使一些看上去很困難的問題得以順利解決。4 4、數的整除的判定法則、數的整除的判定法則（1）末兩位數能被 4（或 25）整除的整數能被 4（或 2

38、5）整除。（2）末三位數能被 8（或 125）整除的整數能被 8（或 125）整除。（3）一個整數的奇數位數字與及偶數位數字與的差能被 11 整除，則這個數能被 11 整除。（4）奇位千進位的總與及偶位千進位的總與之差能被 7 或 11 或 13 整除，則這個數能同時被 7，11，13 整除。5 5、帶余除法、帶余除法兩個整數的與、差、積仍是整數，即整數中加、減、乘運算是封閉的，但用一非零整數去除另一整數，所得的商未必是整數。一般地，a、b為兩個整數，則存在惟一的整數對q與r，使得0babqr。這里，特別是當，則稱|0br 0rab|當，則稱b 不整除 a，q稱為a被b除時所得的不完全商；r稱

39、為a0r被b除時所得的余數。第 31 頁【例題精講例題精講】例例 1 1：求的末位數。 19951994【鞏固鞏固】求的末位數。1003100210011373例例 2 2：n為怎樣的自然數時，能被 10 整除？nnnn4321【拓展拓展】今天是星期六，從今天起天后的那一天是星期幾？200010例例 3 3：5 個連續(xù)自然數的平方與能否是完全平方數？請證明你的結論?！眷柟天柟獭縩是自然數，如果n20 與n21 都是完全平方數，求n的值。例例 4 4：1999 除以某自然數，其商為 49，求除數與余數?！眷柟天柟獭考?、乙、丙三個數分別是 312，270，211，用自然數 A 分別去除這三個數，除

40、甲所得余數是乙所得余數的 2 倍，除乙所得余數是除丙所得余數的 2 倍，求這個自然數 A。例例 5 5：若 N是一個能被 17 整除的四位數，求x。782x【鞏固鞏固】已知一個七位自然數能被 99 整除，試求，42762xy324950yx例例 6 6：試寫出 5 個自然數，使得其中任意兩個數中的較大的一個數可以被這兩個數的差整除。(*) 【課后練習課后練習】1、的末三位數是（ ）19995A、025B、125C、625D、8252、小于 1000 既不能被 5 整除，又不能被 7 整除的自然數的個數為（ ）A、658B、648C、686D、6883、已知兩個三位數，與能被 37 整除，證明，

41、六位數abcdefabcdef第 32 頁也能被 37 整除。abcdef4、設 N23x92y為完全平方數，且 N 不超過 2392，求滿足上述條件的一切正整數對 9（x，y）共有多少對？5、試找出由 0，1，2，3，4，5，6 這 7 個數字組成的沒有重復的七位數中，能被 165 整除的最大數與最小數。(*)第第 1010 講講 不定方程及應用不定方程及應用【知識梳理知識梳理】1、整系數方程有整數解的充分而且必要條件是a及b的最大公axbyc約數d能整除c。這個結論告訴我們，若dc,則原方程有整數解，若d不c，則原方程沒有整數解。2、若（a,b）1（即a及b互質） ，、為二元一次整系數不定

42、方程0 x0y的一組整數解（也稱為特解） ，則的所有解（也稱通解）axbycaxbyc為 其中t為任意整數。我們稱這種解法為特解法。如 13x30y4 （13、30）1 則是整數，觀察得整數解，其全部解yx,1, 200yx其他某些不定方程可經過轉化后根據上述定理求解3、遞推法。【例題精講例題精講】例例 1 1：求方程的整數解。3512xy例例 2 2：希望中學收到王教師捐贈的足球、籃球、排球共 20 個，其總價值為 330 元，這三種球的價格分別是足球每個 60 元，籃球每個 30 元，排球每個 10 元，那么其中排球有 個。第 33 頁【鞏固鞏固】求方程的整數解。13304xy【拓展拓展】

43、1、三元一次方程的非負整數解的個數為 個。3xyz2、某人家的 號碼是八位數，將前四位數組成的數及后四位數組成的數相加得 14405，將前三位組成的數及后五位組成的數相加的 16970，求此人家的 號碼。例例 3 3：求方程的整數解。xyxy【鞏固鞏固】方程的正整數解的組數有多少？22105xy例例 4 4：有一個正整數，加上 100，則為一完全平方數；如果加上 168，則為另一個完全平方數，求此數?！眷柟天柟獭恳粋€自然數減去 45 后是一個完全平方數，這個自然數加上 44，仍是一個完全平方數，求這個自然數。例例 5 5：方程的整數解的個數為（ ）【鞏固鞏固】方程的整數解的組數是（ ）【拓展拓

44、展】1、求方程的整數解。 2、求方程的正整數22xyxxyy解?！菊n后練習課后練習】1、已知滿足及，則_, ,x y z5xy29zxyy23xyz2、滿足方程的所有整數解為（）為_.442214yxx y , x y3、方程的正整數解的組數是（ ）21000 xxy4、三元方程的非負整數解的個數是（ ）1999xyz第 34 頁A.20001999 個 B.B.5、方程的整數解的組數是_.6、求除以 7 余 5，除以 5 余 2，除以 3 余 1 的所有三位數中的最小正整數為_.7、求方程的整數解13304xy8、購買 5 種數學用品的件數與用錢總數列成下表：1,2,345,A A A A

45、A件數1,A2A3A4A5A總錢數第一次購件數134561992（元）第二次購件數1579112984（元）則 5 種數學用品各買一件共需多少元？9、求滿足且使 最大的正整數 。yx第第 1111 講：因式分解的方法講：因式分解的方法【知識梳理知識梳理】一、因式分解的意義把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，其操作過程叫分解因式。其中每一個整式叫做積的因式。二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等，通常根據多項式的項數來選擇分解的方法。品名第 35 頁2、一些復雜的因式分解的方法：（1）換元法：對結構比較復雜的多項式，若把其中某些部分

46、看成一個整體，用新字母代替（即換元） ，則能使復雜的問題簡單化、明朗化，在減少多項式項數、降低多項式結構復雜程度等方面有獨到作用。（2）主元法：在解多變元問題時，選擇其中某個變元為主要元素，視其他變元為常量，將原式重新整理成關于這個字母的按降冪排列的多項式，則能排除字母間的干擾，簡化問題的結構。（3）拆項、添項法：拆項是將多項式中的某項拆成兩項或更多項的代數與的一種恒等變形；添項是特殊的拆項，即把零拆成兩個相反項的與。配方法則是一種特殊的拆項、添項法。（4）待定系數法：對所給的數學問題，根據已知條件與要求，先設出問題的多項式表達式（含待定的字母系數） ，然后利用已知條件，確定或消去所設待定系數

47、，使問題得以解答。（5）常用的公式：平方差公式：；bababa22完全平方公式：；2222bababa立方與（差）公式：；2233babababa完全立方公式：；3322333bababbaa【例題精講例題精講】例例 1 1：（1）4x（ab）（b2a2） ；（2）（a2b2）24a2b2；（3）x42x23； （4） （xy）23（xy）第 36 頁2；（5）x32x23x； （6）4a2b26a3b；（7）a2c2+2ab+b2d22cd （8）a24b24c28bc例例 2 2：分解因式：【鞏固】分解因式：1、； 122122xxxx2、；2222284384xxxxxx3、； 4、21131216x