趣味數學游戲——幻方

1、趣味數學游戲幻方當你還是個小學生的時候，也許就玩過這樣一種數學益智游戲，就是把1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字，分別填在3×3的方格里，使之橫、豎、對角線的數字相加都等于15（如下圖），這樣的“填數”的問題，在數學語言里就叫“幻方”。而填在3×3方格里的，就叫3階幻方。3階幻方是最簡單的幻方。 歷代數學家們，都喜歡研究幻方，現在的幻方種類很多，有平面幻方，還有立體幻方、高次幻方等，平面幻方又分三角幻方，六角幻方（蜂窩幻方）等。這里要重點介紹的，還是平面正方形幻方，3階正方形幻方的等值是15，,這個等值是不可改變的，即是說你永遠都無法設計出等值是14或者16的3階

2、幻方，對于4階、5階幻方乃至n階幻方都一樣，其等值都是唯一的、確定的。其中4階幻方的等值是34，5階幻方的等值是65，對于任意n階幻方，其等值為（n3+n）÷2。其實，任意階幻方構造法,任意維幻方構造法,任意次幻方構造法,數學家們都早已找到，不存在最大階幻方的世界紀錄之類的說法。對平面幻方的構造，分為三種情況：N為奇數、N為4的倍數、N為其它偶數(4n+2的形式)1、 N 為奇數時，最簡單(1) 將1放在第一行中間一列;(2) 從2開始直到n×n止各數依次按下列規(guī)則存放：按 45°方向行走，如向右上，每一個數存放的行比前一個數的行數減1，列數加1(3) 如果行列范

3、圍超出矩陣范圍，則回繞。例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數同樣加1;(4) 如果按上面規(guī)則確定的位置上已有數，或上一個數是第1行第n列時，則把下一個數放在上一個數的下面。2、 N為4的倍數時采用對稱元素交換法。首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上位置的數關于方陣中心作對稱交換，即a(i,j)與a(n-1-i,n-1-j)交換，所有其它位置上的數不變。(或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)3、 N 為其它偶數時當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階)子方陣。按上述奇數階幻方給分解的4個子方陣對應賦值上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)即4個子方陣對應元素相差v，其中vn*n/4四個子矩陣由小到大排列方式為 然后作相應的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(j<t或j>n-t+2),a(t-1,0)與a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對元素交換其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。以下