論文分配及合理評分優(yōu)化的數(shù)學模型

1、論文分配及合理評分優(yōu)化的數(shù)學模型摘 要信息化條件下，如何較為客觀的評價一次考試或者考核成績成為確定人才培養(yǎng)最終效果的重要依據(jù)。本文針對數(shù)學建模競賽中論文分配及合理評分等相關(guān)問題，利用了綜合評價、聚類分析等方法，建立了論文最優(yōu)分配模型、綜合評價模型和評分優(yōu)化模型。通過MATLAB編程和模擬，得到了相應(yīng)的仿真結(jié)果。針對問題一，首先對相關(guān)數(shù)據(jù)進行預處理，將參賽隊信息不完整的數(shù)據(jù)剔除。結(jié)合數(shù)學建模競賽論文評閱的實際情況，為保證論文評閱的公平公正，提高評閱的效率，確定論文分配的四個標準。在此基礎(chǔ)上，制定論文分配的算法，并通過MATLAB編程實現(xiàn)，得到最優(yōu)的論文分配方案。針對問題二，考慮到不同閱卷評委的評

2、分標準不盡相同，評分的總體特征各不一樣，每位評委的評分在論文最終標準分中的權(quán)重也有所不同。根據(jù)不同評委總體打分的數(shù)學期望和標準差與所有評委平均的數(shù)學期望和標準差的偏差情況，建立基于偏移量的綜合評價模型，進而得到所有論文的加權(quán)平均分。在問題一最優(yōu)分配方案的基礎(chǔ)上，用正態(tài)分布模擬評委的打分情況，進而得到相應(yīng)的相應(yīng)結(jié)果。針對問題三，由于不同專家評分特點不同或是其他原因?qū)е露鄠€成績差異較大，需要對評分模型進行優(yōu)化，使得評分更加科學合理。在問題二的求解基礎(chǔ)上，選取權(quán)重最高的10位評委作為專家裁定組，篩選三位評委打分比較懸殊的論文作為疑問論文。沿用問題一的論文分配模型，將疑問論文分配給專家裁定組的10位評

3、委，進行重新評分。針對問題四，考慮到問題三中優(yōu)化后的評分模型存在的不足，有針對性的進行相應(yīng)的優(yōu)化和改進。當出現(xiàn)評分差異較大的論文時，將論文隨機分配給第四位評委進行評分。建立基于聚類分析的評分模型，計算四位評委之間權(quán)重和論文評分的距離，選取距離和最小的三位評委，將其評分作為有效分值計算加權(quán)平均值，從而對成績差異較大的論文得分進行修正。關(guān)鍵詞：論文最優(yōu)分配，偏移量，綜合評價，聚類分析，評分優(yōu)化811.問題重述信息化條件下，如何較為客觀評價一次考試或者考核成績成為確定人才培養(yǎng)最終效果的重要依據(jù)。很多時候，我們的各項成績確定往往需要多項指標共同確定，以建模競賽為例，假設(shè)有n篇論文提交，m個閱卷評委，要

4、求每一篇論文需要被多個（以3個為例）閱卷評委審閱打分，現(xiàn)實的情況是，不同的閱卷評委的評分標準不盡相同，有的評委閱卷比較嚴格，每一分都有自己的想法；也有的評委評分比較隨意，所有的分都差不多，等等。問題一：建立一個合理的分配模型，首先確定每一位閱卷評委的具體閱卷論文是哪些？問題二：建立一個可視化的分數(shù)回收模型，實時收集專家打分，如何將三個成績規(guī)范為一個標準分？最后形成每一篇論文的最終成績。問題三：在評分過程中，由于不同專家評分特點或是其他原因?qū)е露鄠€（以3個為例）成績差異較大，此時如何修正模型？問題四：你有沒有更好的評分策略，提出自己的想法并修改模型。比如在問題一中如何人工調(diào)控來讓誤差盡可能減小。

5、2.問題分析 本題主要涉及三個問題，一是論文分配問題，二是評分問題，三是針對分配和評分模型的優(yōu)化問題。在問題一中，首先對參賽隊信息表進行考察。由于部分參賽隊信息缺失(如缺少MD5碼、姓名信息錯誤等)，需要對表格數(shù)據(jù)進行預處理，將無效的數(shù)據(jù)剔除。其次，結(jié)合歷年數(shù)學建模閱卷評分的實際情況，為保證公平公正，提高效率，需要制定分配論文的規(guī)則。在此基礎(chǔ)上，研究分配論文的算法并通過MATLAB實現(xiàn)。在問題二中，由于不同閱卷評委的評分標準不盡相同，評分的總體特征各不一樣，每位評委的評分在論文最終標準分中的權(quán)重也有所不同，而不是簡單的等權(quán)。衡量評分的總體特征的是數(shù)學期望和標準差。數(shù)學期望反映了評委打分的總體水

6、平，標準差反映了評委打分的離散情況。如果一位評委評分的數(shù)學期望和標準差與所有評委平均的數(shù)學期望和標準差差別較大，則該評委評分比重越??；反之則越大。建立基于偏移量的綜合評價模型，實現(xiàn)對論文分數(shù)的加權(quán)平均。由于題目沒有明確評委的具體打分，可以用正態(tài)分布模擬評委的打分情況。在問題三中，由于不同專家評分特點或是其他原因?qū)е抡撐脑u分差異較大，為保證公平公正，需對問題二中的評分模型進行優(yōu)化。結(jié)合數(shù)學建模論文評審的實際情況，可以選取若干權(quán)重較大的評委作為專家裁定組，專門裁定評分差異較大的論文。沿用問題一中的最優(yōu)分配模型，將若干評分差異大的論文分配給專家裁定組的評委，進行重新打分。在問題四中，考慮到問題三的評

7、分模型雖然有所優(yōu)化，但仍然存在工作量大、效率不高的問題，需對評分模型作進一步優(yōu)化。當論文評分差異大時，可以將論文隨機分配給第四位評委，對其進行打分。通過聚類分析，從四個評委的分數(shù)中選擇相聚最接近的三個分數(shù)，進行加權(quán)平均，從而對論文的最終分數(shù)進行修正。3.符號約定符號標識符號解釋ik論文編號評委編號m位評委的編號序列m位評委的工作量序列第i份論文評委編號序列第i份論文得分第k為評委評分的均值第k為評委評分的均方差第k為評委評分的權(quán)重4.模型假設(shè)1.評委的閱卷能夠做到公平公正。2.每位評委對其分配的所有論文的評分呈現(xiàn)正態(tài)分布。3.每位評委評閱論文的進度大致相同。4.每位評委都會分配到不同題型的論文

8、5.問題一的模型建立與求解5.1數(shù)據(jù)預處理 對參賽隊信息的相關(guān)數(shù)據(jù)進行預處理，將報名信息空缺、MD5缺失、姓名和選題錯誤的參賽隊信息去除，再將符合條件的參賽隊重新編號。得到結(jié)果見附件一。5.2分配標準的制定 結(jié)合閱卷實際情況，為提高閱卷效率，保證論文分配合理，制定以下分配原則：(1)正常情況下，每篇論文有且僅有三位評委評閱。(2)論文的分配要均勻，使得每位評委的工作量要盡量相同。(3)同一院校的評委盡量避免評閱該院校的論文。(4)任意兩篇論文的閱卷評委盡量不要完全相同。5.3 分配算法由于每篇論文由三位評委評閱，總體的工作量為，平均下來每位評委的工作量為。定義所有評委的編號序列為 (5-1)定

9、義所有評委的工作量序列為 (5-2)定義評閱第i份論文的評委序列為 (5-3)表明第i份論文由第l，k，h位評委評閱。具體算法如下：Step1 對于第i份論文(每次執(zhí)行完Step2后i加1)，通過MATLAB隨機從中選擇三位評委編號l、k、h，與該論文匹配，放入中。如果選擇的評委與論文來自同一院校，則重新選擇。如果該論文沒有其他院校評委可以匹配，則可以匹配同一院校評委。Step2 在評委的工作量序列中，將、的值減去1。如果評委的工作量序列中存在等于0，表明第r位評委的工作量已經(jīng)達到。如果評委的工作量序列中存在等于-1，則表明該評委工作量超過平均工作量，為保證公平和效率，該評委可以不再評閱論文，

10、在中將其從剔除。Step3 重復執(zhí)行Step1和Step2直到所有論文都分配完畢。Step4 統(tǒng)計由相同的三位評委評閱的論文數(shù)量N。通過仿真，可以發(fā)現(xiàn)很難找到一個完美的方案，在滿足標準(1)(2)(3)的前提下滿足標準(4)。通過100次仿真，統(tǒng)計由相同的三位評委評閱的論文數(shù)量N。以N值最小的方案為最優(yōu)分配方案。結(jié)果見附件2。6.問題二的模型建立與求解6.1評委打分情況的仿真 由于沒有評委打分的具體數(shù)據(jù)，不妨對評委打分情況進行假設(shè)和仿真。假設(shè)每位評委對分配的所有論文的評分呈現(xiàn)正態(tài)分布的特點，即 (6-1)記作 ，其中為第k為評委打分的均值，為第k為評委打分的均方差。通過MATLAB分別在和的范

11、圍內(nèi)隨機產(chǎn)生均值和均方差，進而對所有評委打分狀態(tài)進行模擬。在問題一得到的最佳分配方案的基礎(chǔ)上，通過MATLAB仿真，得到所有論文的評分。結(jié)果見附件3.6.2基于平均偏移量的綜合評價模型評委在論文評分體系中的權(quán)重主要由均值和均方差決定。一方面，均值反映了評委打分的總體水平，值高表明評委打分總體偏高，值低表明評委打分總體偏低；均方差反映了評委打分的離散情況，偏高表明評委打分比較嚴格，分數(shù)高低明顯，偏低表明評委打分比較隨意，分數(shù)相差不大。建立基于偏移量的評價模型。首先，根據(jù)不同評委的確定權(quán)重。第k位評委打分均值的偏移量為 (6-2)其中為所有評委打分均值的平均數(shù)。由于偏移量越小，表明評委打分情況越接

12、近整體水平，打分越可信，將在實際權(quán)重中占的比例越大；反之，偏移量越大，表明評委打分情況越背離整體水平，打分越不可信，將在實際權(quán)重中占的比例越小，設(shè) (6-3) (6-4)由此，得到，為根據(jù)確定的所有評委在論文閱卷中所占權(quán)重。同理，根據(jù)確定所有評委在論文閱卷中所占權(quán)重。取兩者均值，則可以得到所有評委在論文閱卷中所占權(quán)重。對于第i篇論文，由第l、k、h三位評委批改，從中選取三位評委的權(quán)重，作歸一化處理，得到三位評委評分的權(quán)重值、，進而計算第i篇論文的總分為 (6-5)詳細結(jié)果見附件四。7 .問題三的模型建立與求解7.1 疑問論文、專家裁定組的選擇標準實際評閱過程中，由于專家評分特點不同或是其他原因

13、導致多個成績差異較大，甚至是誤判。這是采用問題二中的模型，往往不能客觀合理的對論文評分。因此，需要將這些存在疑問的論文遴選出來。約定在論文的評分當中，最大分值比最小分值超過30分的為疑問論文。 在問題二的解決過程中，我們得到了61位評委在閱卷過程中所占的權(quán)重。結(jié)合歷年數(shù)學建模競賽閱卷的過程，選取權(quán)重最高的10位評委作為本次論文評審的裁定組，對論文進行重新打分。7.2 分配的論文與評分沿用問題一的分配標準和最佳分配模型，將N篇疑問論文分配給裁定組的10位評委。根據(jù)問題二的假設(shè)和仿真，對疑問論文進行重新打分。進而得到結(jié)果。詳見附件五。8 .問題四的模型建立與求解8.1問題三模型的局限和改進方向模型

14、三采用裁定組專家重新打分的方法，存在一定局限性。一方面，重新評定一篇論文需要用到三位評委評審的效率太低。另一方面，如果降低判決疑問論文的門限，如將最大最小分值差改為20分，那么疑問論文數(shù)量將增加，工作量也將大大提高。因此，對評分策略和評分模型進行改進，使得在保證一定的公平公正的前提下，減少工作量，提高效率。當論文的評分存在較大分差時，通過隨機過程引入第四位評委，對論文進行打分。8.2基于聚類分析的評分模型設(shè)評委打分的樣本值為，其中為該評委在整個論文評閱過程中的權(quán)重，為該評委對論文給出的分值。則兩位評委打分樣本值、的距離是 (8-1)同理，可以得到其余5個距離。在四個樣本中選取三個樣本，使得彼此間的距離和為最小，則取相應(yīng)的三位評委分數(shù)的加權(quán)平均值作為論文的最后分數(shù)。9 .模型的評價及改進9.1模型優(yōu)缺點9.1.1優(yōu)點分析(1)在不知道具體打分的情況下采用正態(tài)分布對評委打分情況進行模擬。(2)評委打分權(quán)重的確定較為客觀合理。9.1.2不足分析(1)疑問論文、專家裁定組的選擇標準主觀因素太強烈。(2)缺少模型的檢驗手段，模型正確性難以驗證。(3)沒有對題型進行分類，也沒有規(guī)范一個評委只評閱一種題型，不太符合實際。9.2 改進方向(1)評委打分權(quán)重的確定可以參考更多的指標。(2)當論文的評分存在較大分差時，在可行范圍