高等數(shù)學(xué)第9章參考答案

1、 第八章 多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用 § 1 多元函數(shù)概念 一、設(shè).二、求下列函數(shù)的定義域：1、 2、 三、求下列極限： 1、 （0） 2、 () 四、證明極限 不存在.證明：當(dāng)沿著x軸趨于（0，0）時(shí)，極限為零，當(dāng)沿著趨于（0，0）時(shí)，極限為, 二者不相等，所以極限不存在五、證明函數(shù) 在整個(gè)xoy面上連續(xù)。 證明：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在（0，0）也連續(xù)。所以函數(shù) 在整個(gè)xoy面上連續(xù)。六、設(shè)且當(dāng)y=0時(shí)，求f(x)及z的表達(dá)式. 解：f(x)=，z § 2 偏導(dǎo)數(shù)1、設(shè)z= ,驗(yàn)證 證明：，2、求空間曲線在點(diǎn)（）處切線與y軸正向夾角()3、設(shè), 求 ( 1)4、設(shè),

2、求 ， ， 解： ， 5、設(shè)，證明 : 6、判斷下面的函數(shù)在(0,0) 處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)（偏導(dǎo)）？說明理由 連續(xù)； 不存在， 7、設(shè)函數(shù) f(x,y)在點(diǎn)（a,b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求 （2fx(a,b)） § 3 全微分1、單選題（1）二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)是它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在的 _ (A) 必要條件而非充分條件 （B）充分條件而非必要條件 （C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件 （2）對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)，下列有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)與全微分關(guān)系中正確的是_ (A) 偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則全微分必不存在 （B）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則全微分必存在 （C）全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)必

3、連續(xù) （D）全微分存在，而偏導(dǎo)數(shù)不一定存在2、求下列函數(shù)的全微分：1） 2） 解： 3） 解：3、設(shè)， 求 解： =4、設(shè) 求： 5、討論函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處的連續(xù)性 、偏導(dǎo)數(shù)、 可微性解： 所以在（0，0）點(diǎn)處連續(xù)。 ，所以可微。 §4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、 設(shè)，求 解：=2、 設(shè)，求 3、 設(shè)， 可微，證明 4、 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求， 解： , , = ,5、 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求解： ， 6、 設(shè)，求解：。7、設(shè)，且變換 可把方程=0 化為 ， 其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求常數(shù)的值 證明： 得： a=38、設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)的

4、一階偏導(dǎo)數(shù)，f(1,1)=1,又， 求 和 (1) , (a+ab+ab2+b3) § 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1、 設(shè)，求解：令，2、 設(shè)由方程確定，其中可微，證明 3、 設(shè)由方程所確定，其中可微，求 4、 設(shè)，求， ( ，)5、 設(shè)由方程所確定，可微，求解：令 ，則6、設(shè)由方程所確定，求 ()7、設(shè)z=z(x,y)由方程 所確定，求, , , § 6 微分法在幾何中的應(yīng)用1、 求螺旋線 在對(duì)應(yīng)于處的切線及法平面方程解：切線方程為 法平面方程2、 求曲線 在（3，4，5）處的切線及法平面方程 解：切線方程為 ，法平面方程：3、 求曲面在（1，-1，2）處的切平面及法線方程 解

5、：切平面方程為 及法線方程4、 設(shè)可微，證明由方程所確定的曲面在任一點(diǎn)處的切平面與一定向量平行證明：令，則 ，所以在（）處的切平面與定向量（）平行。5、 證明曲面）上任意一點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明：令，則 在任一點(diǎn)處的切平面方程為 在在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明曲面上任意一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)7、設(shè)F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)t, 總有 k為自然數(shù)，試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點(diǎn)的切平面都相交于一定點(diǎn) 證明 ： 兩邊對(duì)t 求導(dǎo)，并令t=1 設(shè)是曲面上任意一點(diǎn)，則過這點(diǎn)的切平面為： +=0 此平面過原點(diǎn)（0，0，0

6、） § 7 方向?qū)?shù)與梯度1、 設(shè)函數(shù)， 1）求該函數(shù)在點(diǎn)（1，3）處的梯度。2）在點(diǎn)（1，3）處沿著方向的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)達(dá)到最大和最小的方向解：梯度為 , 方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向?yàn)椋较驅(qū)?shù)達(dá)到 最小值的方向?yàn)椤?、 求函數(shù)在（1，2，-1）處沿方向角為的方向?qū)?shù)，并求在該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向及最大方向?qū)?shù)的值。解：方向?qū)?shù) 為，該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向即為梯度的方向 ，此時(shí)最大值為 3、 求函數(shù)在（1，1，-1）處沿曲線在（1，1，1）處的切線正方向（對(duì)應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù)。解：，該函數(shù)在點(diǎn)（1，1，-1）處的方 向?qū)?shù)為，4、求函數(shù)在（1，1，-

7、1）處的梯度。解：， § 8 多元函數(shù)的極值及求法 1、求函數(shù)的極值。 答案：（，）極小值點(diǎn) 2求函數(shù)的極值 答案：極小值 3. 函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處取得極值，求常數(shù)a (-5) 4、 求函數(shù)在條件下的條件極值解： ，極小值為5、 欲造一個(gè)無蓋的長方體容器，已知底部造價(jià)為3元/平方，側(cè)面造價(jià)均為1元/平方，現(xiàn)想用36元造一個(gè)容積最大的容器，求它的尺寸。（長和寬2米，高3米）6、 在球面（）上求一點(diǎn)，使函數(shù) 達(dá)到極大值，并求此時(shí)的極大值。利用此極大值證明 有證明：令令，解得駐點(diǎn)。所以函數(shù)在處達(dá)到極大值。極大值為。即，令得。 7、求橢球面被平面x+y+z=0截得的橢圓的長半軸與短半軸的

8、長度解： ， 長半軸 ， 短半軸 第八章 自測題一、選擇題：（每題2分，共14分）1、設(shè)有二元函數(shù) 則 A、存在；B、不存在；C、存在， 且在(0,0)處不連續(xù)；D、存在， 且在(0,0)處連續(xù)。2、函數(shù)在各一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是在連續(xù)的 A、必要條件； B、充分條件；C、充要條件； D、既非必要也非充分條件。3、函數(shù) 在(0,0)點(diǎn)處 A、極限值為1； B、極限值為-1；C、連續(xù)； D、無極限。4、在處，存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的 （A）必要條件； （B）充分條件； （C）充要條件； （D）既非必要亦非充分條件。5、點(diǎn)是函數(shù)的 （A）極小值點(diǎn)； （ B）駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)；（C）極大值點(diǎn)； （D）

9、最大值點(diǎn)。6、曲面在點(diǎn)P(2,1,0)處的切平面方程是 （A）； （B）；（C）； （D）7、已知函數(shù)均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么 (A); (B) ;(C) ; (D) 二、填空題：（每題分，共18分）1、 （ 0 ）、設(shè)，則（ ）、設(shè)則( 0 )、設(shè)，則在點(diǎn)處的全微分.、曲線在點(diǎn)處的切線方程為( )、曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程為( )三、計(jì)算題（每題6分）1、設(shè)，求的一階偏導(dǎo)數(shù) ， 。2、設(shè)，求此函數(shù)在點(diǎn)處的全微分。并求該函數(shù)在該點(diǎn)處沿著從 P到方向的方向?qū)?shù)( ，)、設(shè)具有各二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：、設(shè) 求和。 不存在，故不存在，同理，也不存在。 當(dāng)時(shí)，有 、設(shè)由方程所確定，求 ( )、設(shè)，具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)，求 、設(shè)確定函數(shù)，求。 、設(shè)，式中二階可導(dǎo)，求解：記，則，類似地，有四、（分）試