多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、84 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則全微分形式不變性練習(xí)連鎖規(guī)則、連鎖規(guī)則的進一步推廣引例引例 設(shè) zarcsin(xy)，而 x3t，y4t 3，求dtdz解 zarcsin(3t4t 3)，23)43(11tt (343t2)2)(11yx 32)(11yx 43t22)(11yx dtdx2)(11yx dtdyxzdtdxyzdtdy注意 zarcsin(3t4t 3)，dtdz23)43(11tt (343t2)43t2)2)(11yx (343t2)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè) yf(u)，u(x)，則dxdydudydxdu多

2、元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)如何求？ 定理 如果函數(shù)u(t)及vy(t)都在點t 可導(dǎo)， 函數(shù)zf(x，y)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則復(fù)合函數(shù)zf(t), y(t)在點可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：dtdzuzdtduvz 設(shè)zf (u，v，w)，u(t)，vy(t)，ww(t)，則zf(t)，y(t)，w(t)對t 的導(dǎo)數(shù)為：連鎖規(guī)則的推廣：dtdzuzdtduvzdtdvwzdtdvdtdw連鎖規(guī)則：（ 稱為全導(dǎo)數(shù)）dtdz 設(shè)zf(u，v)，而u(x，y)，vy(x，y)，則復(fù)合函數(shù) zf (x，y)，y(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)為：uzvzxzxuyzyu連鎖規(guī)則的進一步推廣：uzvzxv，yvyz

3、yuuzvzyv例1 設(shè)ze usin v ，ux y，vxy ，求 和 xzyz解xzuzvzxuxveu sin vy eu cos v 1 exy y sin (xy) cos (xy)，e usin vxe ucos v1ex yx sin(xy)cos(xy)討論：1設(shè)zf(u，v，w )，u(x，y)，vy(x，y)，ww(x，y)，則wzuzvzxzxuxvxw，yzyuuzvzyvwzyw?xz?yz2設(shè)zf (u，x，y)，且u(x，y)，則?xz?yzufxuxzxf，yuyzufyf答：答：222zyxexuyu例2 設(shè)uf (x，y，z) ，而zx2 sin y求 和

4、xfzfxz解xu2x222zyxe2z222zyxe2x(12x2 sin 2y) yxyxe2422sin2x sin yyfzfyz2y222zyxe2z222zyxe x2 cos yyuyxyxe2422sin2(yx 4sin y cos y) dtdz例3 設(shè)zu vsin t ，而ue t，vcos t求全導(dǎo)數(shù) dtdzuzdtduvzdtdvtz e t(cos t sin t) cos t 解v e tu sin t cos te tcos t e tsin t cos t例4 設(shè)wf (xyz，x y z)，f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，xwzxw2求 及 xwufxuvfxv

5、解令uxyz，vxyz ，則wf (u，v)ufvfyz ，xw或 f1yz f2zxw2z)(ufvfyz)(vfyzuzu)(ufvzv)(ufvfyuzu yz)(vfvzv yz)(vf22uf22vfx y2 z vuf2xyvfyuvf2 yz22vfx y2 z ，22ufvuf2y(xz)vf yzxw2或 f11y(xz) f12 yf2 xy2z f22設(shè)zf(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分全微分形式不變性：uzvzdz du dv 如果zf(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u(x，y)，vy(x，y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則xzyzdz dx dyuzxuvzxv( )dxuzyuvzyv( )dy ( dx dy)uzxuyuvzxvyv ( dx dy)uzvz du dv 例6 設(shè)ze usin v，ux y，vxy，利用全微分形式不變性求全微分( ye usin v e ucos v)dxuzvzdz du dv解 e usin vdu e usin v(y dxx dy )e xy y sin(xy)cos(xy)dx e xy x sin(xy)cos(xy)dy e ucos v dv e ucos v(dxdy)(xe usin v e ucos v )dy練習(xí)1設(shè) zvu，而 ux y ，v 22