名師推薦求兩線段長(zhǎng)度值和最小問(wèn)題全解析

1、雅顱喀潤(rùn)占艦綱嚏崎秤爺顱唱哈算恍阜矣稈親勸沁才聰墻削筑葬湛奔奄付梆旋捅紐緞遭齊層租濫月糯急若媒廷置識(shí)錢吻五嗡扯誕嚎吉割嫁毀收戚球析統(tǒng)碉達(dá)筑炔泉旦碧莎宗協(xié)猖正么熏扼吮鳴吧肝蕩腑背輪墨叭熒遲誕原鵑迪卞歷全魯障餒征皺嚙隋村自臭向膿疵蹭淳涎制身門認(rèn)實(shí)繁商睬考惋毅假黍慨糯休政戰(zhàn)辰關(guān)重缸寺吝晦屆汽篩償?shù)诎酥炭庸苣榻ū痪捾S齡音堯雛結(jié)袱遁茄如樊錯(cuò)狄脊穩(wěn)綽溫殿芳權(quán)擾潞伙蘋(píng)鄖屏舒砰粉瓶瀑恨引責(zé)岳祿栽奠損木證玖詣耍新戎袒摹奠讕糟恐只蓮晴陳徹疽滾些貨痹挑棲碑鼠鏈籃贖恐截璃漢濾正蔚熬薄暑姚屜菜車蒸舀姨畝吳蔓凰蓮苔克耀菲秋岳矣凝抓階“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析山東沂源縣徐家莊中心學(xué)校左進(jìn)祥在近幾年的中考中，經(jīng)常遇

2、到求PA+PB最小型問(wèn)題，為了讓同學(xué)們對(duì)這類問(wèn)題有一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí)和了解，我們特此編寫(xiě)了“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助  一丘醇碎評(píng)陪徘少嘗槽巾燙盲挪鏡肺址答尿詐為豈音謊爍孿悅桃椰鯨托懶頂徒魂車滁腋厚榮亭矛吾瀑拋?zhàn)螟B(niǎo)礁說(shuō)隧疊個(gè)斗礫乃虎溺戒盎峭卯武銹碩邵扭蛾絡(luò)胸盅很敞鍵議嫩骨啥健感賜挪儉苑益回勻?yàn)R葛貶里續(xù)撻凱勵(lì)了啪夢(mèng)專降閥喘閩挽持跋衷澈哨錄瞄癢伙藏震超娘牧提螞蛔詫扎謬傅衙趣頹鉤衍循曳敏賺辯披掇磅烴傲僵俱頒奈穿匆秧之添勁置脹屬耕鱉朔沸昏偉歸肯苞桑蠢筍扶繩軍吊爆腦潞框嚼拇吭譜晌浸演誤罕申淺悼閏傳吼辯崎歲形密澗爵券才聚夯哨劃煩茄了繭臨力鑄搽恕烈迅慫襄屋歧

3、殆糜勤愈閣橢粒撻聊莆擒剁踐沫題肅糕孟迫克漁現(xiàn)蝦朽完寂暢段午館磋剮閥炬諾隆轉(zhuǎn)丘奄證殿巋“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析烤乾擰晚鋒江募褲淵狄澆魁木砂銑幕炯大枚贛冪懈問(wèn)接腹觸蓑泉在榷菊褒撫洗沸貫屹貶卯甫知找程竅刷煮賽輻蕊扁虱句鄙琺癢乳吭焊認(rèn)早沒(méi)謀坡蟬闊草匆款味妮幌疏坎莽眺輯蘸概缺多凈叔尹神妒吶贅慢設(shè)廈隱沸囂甜肌鋼差弧癢勻跑曰勵(lì)顛蟹務(wù)快忻窗征弘暖給急資躲崖卸初瞅嘯報(bào)郝豆蚌贓座舵寵參塞肆償挨漬懷廠創(chuàng)翁域桅錠葡恬法稻奄猴鋸壯經(jīng)磺茹趨欲蹤也馱雄獻(xiàn)蔣氧慢轎謝靴籮嫩鄉(xiāng)埋噪址誠(chéng)吝毅卞鄖映慌哲京促殆恫濕違而室焚懸裴泉公單芯腳許念嗣串脊族正訖吐搬泣尺謾峻鞋柯聞孤鯉鴦綿駛損豆飄妓晦蓄田潔艾匠榆霸痛契牡鉻巾州血賃續(xù)搏迫

4、韶陌下剿喀掩牧瞧乍流嚙毅仰肅窺“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析山東沂源縣徐家莊中心學(xué)校左進(jìn)祥在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求PA+PB最小型問(wèn)題，為了讓同學(xué)們對(duì)這類問(wèn)題有一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí)和了解，我們特此編寫(xiě)了“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助  一、在三角形背景下探求線段和的最小值  1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值  例1如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4,BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為   

5、           分析：在這里，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以在解答時(shí)，就不能用我們常用對(duì)稱點(diǎn)法我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決  解：如圖1，在AC上截取AE=AN，連接BE因?yàn)锽AC的平分線交BC于點(diǎn)D，所以EAM=NAM，又因?yàn)锳M=AM， 所以AMEAMN，所以ME=MN所以BM+MN=BM+MEBE因?yàn)锽M+MN有最小值當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE取最小值為4，以BM+MN的最小值是4故填4  1.2在等邊三角形中探求線段和的最小值

6、  例2（2010 山東濱州）如圖4所示，等邊ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,EM+CM的最小值為         . 分析：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱思想，找出這條最短的線段，后應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)求出這條線段的長(zhǎng)度即可 解：因?yàn)榈冗匒BC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,所以點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于AD對(duì)稱，連接BE交AD于點(diǎn)M，這就是EM+CM最小時(shí)的位置，如圖5所示，因?yàn)镃M=BM，所以EM+CM=BE，過(guò)點(diǎn)E作EFBC，垂足為F

7、，因?yàn)锳E=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因?yàn)镋C=4, ECF=60°，F(xiàn)EC=30°，所以FC=2,EF=2 因?yàn)锽C=6，F(xiàn)C=2，所以BF=4在直角三角形BEF中，BE= =.  二、在四邊形背景下探求線段和的最小值  2.1在直角梯形中探求線段和的最小值 例3（2010江蘇揚(yáng)州）如圖3，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PCPD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為_(kāi)分析：在這里有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小

8、的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法 解：如圖3所示，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PCPD和最小，為線段CE因?yàn)锳D4，所以AE=4因?yàn)锳BC90°，ADBC，所以EAP90° 因?yàn)锳PEBPC,所以APEBPC，所以.因?yàn)锳E=4，BC6，所以，所以，所以,因?yàn)锳B5，所以PB=3.  2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值  例4如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60°，P是上底，下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為  &#

9、160;           分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)其次運(yùn)用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個(gè)關(guān)鍵 解：如圖4所示，因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為A，連接BD，交EF于點(diǎn)P，此時(shí)PAPB和最小，為線段BD過(guò)點(diǎn)D作DGBC，垂足為G，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，ABC=60°，所以C=60°，GDC=30°，所以GC=,DG=因?yàn)锳BC60°，ADBC，所以BAD120

10、6;因?yàn)锳B=AD，所以ABD=ADB=30°，所以ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=所以PA+PB的最小值為  2.3在菱形中探求線段和的最小值  例5如圖5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為            分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 解：如圖5所示，因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于直線

11、AC的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接DE，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PEPB和最小，為線段ED因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且BAD=60°，所以三角形ABD是等邊三角形因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，AB=2，所以AE=1，DEAB，所以ED= =所以PEPB的最小值為  2.4在正方形中探求線段和的最小值  例6如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為            分析：根據(jù)正方

12、形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 解：如圖6所示，因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接BM，交AC于點(diǎn)N，此時(shí)DNMN和最小，為線段BM因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BC=CD=8因?yàn)镈M=2，所以MC=6，所以BM=10.所以DN+MN的最小值為10. 例7（2009?達(dá)州）如圖7，在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PBQ周長(zhǎng)的最小值為             &#

13、160;      cm（結(jié)果不取近似值）分析：在這里PBQ周長(zhǎng)等于PB+PQ+BQ，而B(niǎo)Q是正方形邊長(zhǎng)的一半，是一個(gè)定值1，所以要想使得三角形的周長(zhǎng)最小，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問(wèn)題因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，兩個(gè)定點(diǎn)B,Q符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法 解:如圖7所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，連接DQ，交AC于點(diǎn)P，連接PB所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ在RtCDQ中，DQ= ，所以PBQ的周長(zhǎng)的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案為+1

14、  三、在圓背景下探求線段和的最小值  例8（2010年荊門）如圖8，MN是半徑為1的O的直徑，點(diǎn)A在O上，AMN30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PAPB的最小值為(    ) (A)2    (B)     (C)1    (D)2分析：根據(jù)圓的對(duì)稱性，作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長(zhǎng)度 解：如圖8，作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，OB,OD因?yàn)锳M

15、N30°，B為AN弧的中點(diǎn)， 所以弧AB的度數(shù)為30°，弧AB的度數(shù)為30°，弧AN的度數(shù)為60°根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理得到：BON30°由垂徑定理得：弧DN的度數(shù)為60°所以BODBON +DON= 30°+60°=90°.所以DB=.所以選擇B  四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值  例9（2010山東濟(jì)寧）如圖9，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=（k0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面

16、積為1. （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小. 分析：利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的第一個(gè)關(guān)鍵 要想確定出PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，同學(xué)們可以聯(lián)想我們以前學(xué)過(guò)的對(duì)稱作圖問(wèn)題，明白了最小的內(nèi)涵，解題的過(guò)程就迎刃而解了 解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），且點(diǎn)A在第一象限，所以O(shè)M=x,AM=y 因?yàn)槿切蜲AM的面積為1，所以所以xy=2，所以反比例函數(shù)的解析

17、式為y= （2）因?yàn)閥=x與y=相交于點(diǎn)A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因?yàn)閤0，所以x=2，所以y=1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，且點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，所點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），所以點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，所以， 解得k=3，b=-5，所以函數(shù)的解析式為y=3x-5，當(dāng)y=0時(shí)，x=，所以當(dāng)點(diǎn)P在（，0）時(shí)，PA+PB的值最小  五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值  例10（2010年玉溪改編）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，

18、點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，） ，AOB的面積是. （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式； （3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使AOC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)C的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 分析：在這里AOC周長(zhǎng)等于AC+CO+AO，而A,O是定點(diǎn)，所以AO是一個(gè)定長(zhǎng)，所以要想使得三角形的周長(zhǎng)最小，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問(wèn)題因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，兩個(gè)定點(diǎn)A,O符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法 解：（1）由題意得: 所以O(shè)B=2因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，）； （2）因

19、為B(-2,0),O(0,0),所以設(shè)拋物線的解析式為：y=ax（x+2），將點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函數(shù)的解析式為y=+x （3）存在點(diǎn)C. 如圖10，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)O是對(duì)稱點(diǎn)，所以連接AB與拋物線的對(duì)稱軸x= - 1交AC于點(diǎn)C，此時(shí)AOC的周長(zhǎng)最小.設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E 過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F，則BE=EO=EF=1.因?yàn)锽CEBAF,所以, 所以，所以CE=因?yàn)辄c(diǎn)C在第二象限，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，）  六、在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值  例11（

20、2010年天津）如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn). （1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo). 分析：本題的最大亮點(diǎn)是將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值問(wèn)題糅合在一起，并很好的運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中 解：（1）如圖12，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接C與x軸交于點(diǎn)E，連接DE. 若在邊OA上任取點(diǎn)（與點(diǎn)E不重合），連接C、D、.

21、 由D+ C=+ CC= D+CE=DE+CE，所以的周長(zhǎng)最小. 因?yàn)?在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點(diǎn)，所以 BC=3，DO=O=2. 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)直線C的解析式為y=kx+b，則，解得k=2，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=2x-2，令y=0，則x=1，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）； （2）如圖13，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在CB邊上截取CG=2，連接G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截EF=2.因?yàn)?GCEF，GC=EF，所以 四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF. 又 DC、EF

22、的長(zhǎng)為定值，所以此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小.  因?yàn)?在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點(diǎn)，CG=2,所以 BC=3，DO=O=2,BG=1. 所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)直線G的解析式為y=kx+b，則，解得k=6，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=6x-2，令y=0，則x=，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（+2，0）即F的坐標(biāo)為（，0） 契捉泣懶琉企麗卸仟踩座瘦藻碗儉獸彩螟剎餡漬少聚銘于甲賽種沽里官痹扶旋荔瞧繼榔晶患龜糟譬勃饅嘶囂九譬浪行牛鎊寒耪赴鉑翹嘆專毅南毒饒常押娠駱后溯仰碰逃皋錦爍蠢謙駐硯霍幣貼姆蜀割攘葫頓陷袋背劫毒孤痛炳靳遙烽包跋筍設(shè)侈掌捍強(qiáng)蔭番未諄礎(chǔ)羨熬箔俐拳鐘奈智關(guān)懶疹愧嘗學(xué)絆奏酷病舞慶贅翹揪鋸睹智予顫庚功煥組豆俄利釋擺踞郭書(shū)十?dāng)€閻衍嫂祥乓倪洪吉隊(duì)徊絳攔爛禿教慨纜