和差倍問題四年級

1、和差倍問題是指已知幾個數(shù)的和、差或它們的倍數(shù)關(guān)系（其中的兩項），求這幾個數(shù)的應(yīng)用題。包括和倍問題、差倍問題、和差問題這三類應(yīng)用題，及可以轉(zhuǎn)化為這三類應(yīng)用題的比較復(fù)雜的倍數(shù)問題。這幾類應(yīng)用題有比較相似的數(shù)量關(guān)系和解題思路，列方程來解非常簡單，但四年級孩子沒有學(xué)過方程法解題，需要根據(jù)數(shù)量關(guān)系逆向推理，列綜合算式解答。教學(xué)中常常采用畫線段圖的方法來分析各種數(shù)量間的關(guān)系，幫助孩子理解題意，尋找解題途徑。解題關(guān)鍵是，要在題目中確定一個數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)（常以最小數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，即1倍量），把標(biāo)準(zhǔn)量看作一份，再根據(jù)其它數(shù)量與標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)關(guān)系，找出幾個數(shù)量的和、差或（和+差）、（和-差）對應(yīng)的份數(shù)，通過除法計算先求出標(biāo)準(zhǔn)

2、量，再算出其它相關(guān)數(shù)量。涉及兩個數(shù)的和差倍問題，最基本數(shù)量關(guān)系有以下3組：和倍問題：已知大小兩個數(shù)的和及它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。和÷（倍數(shù)+1）=小數(shù)；小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)。差倍問題：已知大小兩個數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。差÷（倍數(shù)-1）=小數(shù)；小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)。和差問題：已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求這兩個數(shù)。（和+差）÷2=大數(shù)；（和-差）÷2=小數(shù)。在二、三年級奧數(shù)課堂已經(jīng)學(xué)過簡單的和差倍問題，本冊教材奧賽天天練用四講內(nèi)容來分類講述復(fù)雜一點的和差倍問題：第7講和倍問題、第8講差倍問題、第9講和差問題、第10講復(fù)雜的

3、倍數(shù)問題。奧賽天天練第7講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)1【題目】：一個長方形的周長是36厘米，長是寬的2倍，這個長方形的面積是多少平方厘米？ 【解析】：先求出長方形長和寬的和：36÷2=18（厘米）；把長方形的寬看作1份，長就是2份，長和寬的和對應(yīng)的就是3份，所以長方形的寬是：18÷（2+1）=6（厘米）；長是：6×2=12（厘米）；這個長方形的面積是：12×6=72（平方厘米）。奧賽天天練第7講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)2【題目】：北京路小學(xué)的同學(xué)為幼兒園的小朋友做紅花和黃花共300朵。已知紅花的朵數(shù)比黃花的2倍少30朵。問兩種花各有多少朵？【解析】：我們把黃花朵數(shù)看作一份

4、，畫出線段圖如下：         從線段圖中可以看出，兩種花的總和再添上30朵，正好對應(yīng)了3份。所以黃花朵數(shù)為：（300+30）÷（1+2）=110（朵）。紅花朵數(shù)為：300-110=190（朵）。奧賽天天練第7講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1【題目】：被除數(shù)、除數(shù)、商3個數(shù)的和是212。已知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？【解析】：由商是2，可得被除數(shù)與除數(shù)的和為：212-2=210；且被除數(shù)是除數(shù)的2倍。把除數(shù)看著1份，兩數(shù)和對應(yīng)的份數(shù)是3份，除數(shù)為：210÷（2+1）=70；被除數(shù)為：70×

5、2=140。奧賽天天練第7講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：5箱蘋果和5箱葡萄共重75千克，每箱蘋果是每箱葡萄重量的2倍。每箱蘋果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】：5箱蘋果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱蘋果與1箱葡萄重量和為：75÷5=15（千克）。把1箱葡萄的重量看作一份，重量為：15÷（2+1）=5（千克）；每箱蘋果重量為：5×2=10（千克）。奧賽天天練第7講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：甲、乙、丙3數(shù)之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三數(shù)各是多少？【解析】：    我們把丙數(shù)看作一份，畫出線段

6、圖如下：          假如我們給乙數(shù)添上4湊成2份，甲數(shù)減去7湊成3份，則這時候三個數(shù)的總和為：183+4-7=180，和對應(yīng)的份數(shù)為：1+2+3=6。所以，一份數(shù)即丙數(shù)為：180÷6=30；乙數(shù)為：30×2-4=56；甲數(shù)為：30×3+7=97。1、在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于120，而減數(shù)是差的3倍，那么差等于多少？分析：這是一個和倍問題。減數(shù)是差的3倍，那么被減數(shù)就是差的4倍，所以被減數(shù)、減數(shù)與差的和就是差的8倍，應(yīng)該等于120，所以差120

7、7;815。解：120÷（1312）15                                答：差等于15。2、甲、乙、丙共有100本課外書。甲的本數(shù)除以乙的本數(shù)，丙的本數(shù)除以甲的本數(shù)，商都是5，余數(shù)也都是1。那么乙有多少本書？分析：這是和倍問題?？梢赃@樣理解，“甲、

8、乙、丙3個數(shù)是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是幾？”。即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）倍多（1×51）6。那么100減去（16）的差對應(yīng)（155×5）倍，這樣可求出乙是多少。解：1001（1×51）÷（11×51×5×5）91÷313（本）  答：乙有3本書。3、用中國象棋的車，馬，炮分別表示不同的自然數(shù)。如果：車÷馬2，炮÷車4，炮馬56，那么“車馬炮”等于多少？分析：這是一個差倍問題。依題有，馬是1倍，車是馬的2倍，

9、炮是車的4倍，所以炮與馬的倍數(shù)差是（2×41）7倍，而炮與馬的兩數(shù)差是56，根據(jù)差倍問題的公式就可分別求出車、馬、炮的值。解：56÷（81）8馬；8×216車16×464炮8166488車馬炮      答：車、馬、炮的和是884、甲、乙兩位學(xué)生原計劃每天自學(xué)的時間相同，若甲每天增加自學(xué)時間半小時，乙每天減少自學(xué)時間半小時，則乙自學(xué)6天的時間僅相等于甲自學(xué)一天的時間。問：甲、乙原計劃每天自學(xué)多少分鐘？分析：差倍問題。原來時間相同，現(xiàn)甲多半小時，乙少半小時，現(xiàn)在的兩數(shù)差是（3030）60分鐘，現(xiàn)在的差數(shù)差是

10、（61）5倍，這樣可求出現(xiàn)乙每天自學(xué)的時間，加上30分鐘，可得原計劃每天自學(xué)時間。解：（3030）÷（61）30123042（分鐘）  答：原計劃每天自學(xué)42分鐘。 5、.三個小組共有180人，一、二兩個小組人數(shù)之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數(shù)。分析：要點：先把一，二小組看成一個整體！把第三小組看成一個整體，我們把這種方法叫“化三為二”即把三個問題轉(zhuǎn)換成二個問題，先求出第一，二小組的人數(shù)，再求出第一小組的人數(shù)。這也是一個和差問題。解：（18020）÷2100（人）第一，二小組的人數(shù)  （1002）&#

11、247;249（人）第一小組的人數(shù)答：第一小組的人數(shù)是49人。6有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會，第一個到會的女同學(xué)同全部男生握過手，第二個到會的女生只差一個男生沒握過手，第三個到會的女生只差2個男生沒握過手，以此類推，最后一個到會的女生同7個男生握過手。問這些學(xué)生中有多少名男生？分析：這是和差問題。我們可以這樣想：如果這個班再多6個女生的話，最后一個女生就應(yīng)該只與1個男生握手，這時，男生和女生一樣多了，所以原來男生比女生多（71）6個人！解：（506）÷228（人）。          

12、60;               答：男生人數(shù)28人。       涉及4個或4個以上對象數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜和差倍問題。7、有貨物108件，分成四堆存放在倉庫時，第一堆件數(shù)的2倍等于第二堆件數(shù)的一半，比第三堆的件數(shù)少2，比第四堆的件數(shù)多2問每堆各存放多少件？分析：如果我們把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（2×2）4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就剛好是1422

13、9倍（第三堆和第四堆剛好一個多2件一個少2件正好抵消），那么1倍就是108÷912件，第二堆就是12×448件，第三堆就是12×2226件，第四堆就是12×2222件。解：（10822）÷（12×222）108÷912（件）第一堆  12×2×248（件）第二堆； 12×2226（件）第三堆； 12×2222（件）第四堆；答：每堆各有12件、48件、26件、22件。8、 四年級有4個班，不算甲班其余三個班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總

14、人數(shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問這四個班共有多少人？  解答：用131134265，這是1個甲、丁和2個乙、丙的總和，因為乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，所以用2651264就剛好是3個乙、丙的和，264÷388，就是說乙丙的和是88，那么甲丁和是88189，所以四個班的和是8889177人。甲廠人數(shù)比乙廠少540人，若從兩廠各調(diào)走600人，乙廠人數(shù)恰好是甲廠人數(shù)的4倍，求甲廠原來有多少人？【解析】：“兩廠各調(diào)走600人”，因調(diào)走人數(shù)相同，調(diào)人前后兩廠的人數(shù)差沒有發(fā)生變化。把調(diào)走600人后，甲廠人數(shù)看作1份，乙廠人數(shù)看作4份，兩廠人數(shù)差還是540人，此時甲廠

15、人數(shù)為：540÷（4-1）=180（人）。甲廠原有人數(shù)：180+600=780（人）。奧賽天天練第8講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1【題目】：有A、B、C三根繩子，A、C的長度之和是B的2倍。如果把C剪去6分米，那么A的長度就是B、C長度之和的一半。A與B相比，比長分米?！窘馕觥浚哼@一題因為與A、B比較的標(biāo)準(zhǔn)不同，分別是（A+C）和（B+C）,所以A和B的長短無法直接比出。解題的關(guān)鍵是制造出相同的比較標(biāo)準(zhǔn)，再通過等量代換，得出結(jié)論。由題意可得：A+C=2B, 即：A+B+C=3B；B+C-6=2A, 即：A+B+C-6=3A。即：3B-3A=6（分米），B-A=2(分米)。所以：A與B相比，B比

16、A長2分米。奧賽天天練第8講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：在一個數(shù)的后面補上兩個“0”，得到的新數(shù)比原來的數(shù)增加了1980。這個數(shù)是多少？【解析】：把原來的數(shù)看作1份，原數(shù)末尾加兩個“0”即擴大了100倍，得到的新數(shù)也就是100份，它們的差就是增加的1980。所以原來這個數(shù)為:1980÷（100-1）=20。奧賽天天練第8講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，幾天后剩下的大米是面粉的3倍？【解析】：因每天用掉的面粉和大米數(shù)量相等，不論經(jīng)過多少天，面粉和大米的數(shù)量差都不變，仍然是：138-94=44（千克）。我們把幾天后剩下的面粉

17、重量看作1份，大米重量也就是3份，則幾天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。用掉的面粉總量除以每天用面粉數(shù)量，可以得出所求的天數(shù)：（94-22）÷9=8（天）。奧賽天天練第8講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：有A、B、C三輛車，C車裝的貨物是B車的一半，B車比A車少160千克，A車裝的是C車的4倍，A、B、C三輛車共裝貨物多少千克？【解析】：根據(jù)題中的三個條件，C車裝的貨物最少，我們把C車裝的貨物看作一份，畫出線段圖如下：       從圖中可以看出B車貨物就是2份，A車貨物就是4份，B車比A車少的160千克對

18、應(yīng)的份數(shù)是2。所以1份數(shù)即C車裝貨物為：160÷（4-2）=80（千克）。三輛車共裝貨物：80×（1+2+4）=560（千克）。奧賽天天練第9講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1【題目】：小王和小張共買了20本書，如果小王給小張6本書，那么小王就比小張少2本書。問小王、小張各買了多少本書？【解析】：我們以小王給小張6本書之后，剩下的本數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，畫出線段圖如下：         解法一：先求出小王現(xiàn)有本數(shù)。小王給小張6本書之后，兩人書的總本數(shù)不變。以小王現(xiàn)有本數(shù)為較小數(shù)，小張現(xiàn)有本數(shù)為較大數(shù)，兩數(shù)和為20，兩數(shù)

19、差為2，則小王現(xiàn)有數(shù)：（20-2）÷2=9（本）。所以，小王買書：9+6=15（本）；小張買書：20-15=5（本）。解法二：直接先求小張買書本數(shù)。小張增加6本之后比小王現(xiàn)有本數(shù)多2本，則小張買書本數(shù)比小王現(xiàn)有本數(shù)少（6-2=）4本，所以小張買書本數(shù)比小王買書本數(shù)少（4+6=）10本。所以小張買書本數(shù)為：（20-10）÷2=5（本）；小王買書：20-5=5（本）。第一種解法思路比較簡單。奧賽天天練第9講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：四（1）班投票選舉班長，小明得到的選票比小華多14張，小華得到的選票比小玲多8張。如果這3人共得選票54張，那么他們各得選票多少張？【解析】：小玲

20、得到選票最少，我們以小玲得到選票張數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，畫出線段圖如下：       可以先求出小玲獲票張數(shù)，再求出另外兩個人的獲票張數(shù)。觀察線段圖，把小玲獲票張數(shù)看作1份，把小華獲票張數(shù)去掉8張，把小明獲票張數(shù)去掉（8+14）張，都湊成1份，總張數(shù)減少為：54-8-（8+14）=24（張）。所以小玲獲票張數(shù)為：24÷3=8（張）；小華獲票張數(shù)為：8+8=16（張）；小明獲票張數(shù)為：16+14=30（張）。這題也可以把小華獲票張數(shù)或小明獲票張數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，先求出來，再求出另外兩個人的獲票張數(shù)。奧賽天天練第9講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：一

21、位少年短跑選手，順風(fēng)跑90米用了10秒鐘。在同樣的風(fēng)速下，逆風(fēng)跑70米也用了10秒鐘。問在無風(fēng)的時候他跑80米要用多少秒？【解析】：解題之前要明確一點：如果我們以無風(fēng)時少年跑步速度為標(biāo)準(zhǔn)，在同樣的風(fēng)速下，順風(fēng)跑步速度高出標(biāo)準(zhǔn)的米數(shù)，與逆風(fēng)跑步速度低于標(biāo)準(zhǔn)的米數(shù)是相等的，相當(dāng)與風(fēng)速。所以無風(fēng)速度就是順風(fēng)速度和逆風(fēng)速度的平均數(shù)。解法一：先求出無風(fēng)時少年速度：（90÷10+70÷10）÷2=8（米）。再求出無風(fēng)的時候該少年跑80米需要的時間：80÷8=10（秒）。解法二：以10秒跑步路程為標(biāo)準(zhǔn)，該少年無風(fēng)時10秒跑步路程為：（90+70）÷2=80（

22、米）。所以，在無風(fēng)的時候該跑80米要用10秒。第二種解法解答這一題比較簡便，但不宜推廣，第一種解法是基本解法。如下圖，4個一樣大的長方形和1個小正方形拼成了1個大正方形。大正方形的面積是64平方分米，小正方形的面積是4平方分米，問長方形的寬是幾分米？        【解析】：對64和4分解因數(shù)：64=8×8；4=2×2。所以，大正方形的邊長為8，即長方形長與寬的和為8；小正方形的邊長為2，即長方形長和寬的差為2。    所以，長方形的寬為：（8-2）÷2=3（分米）

23、。奧賽天天練第10講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)1【題目】：姐姐做自然練習(xí)比妹妹做算術(shù)練習(xí)多用48分鐘，比妹妹做英語練習(xí)多用42分鐘，妹妹做算術(shù)、英語兩門練習(xí)共用了44分鐘，那么妹妹做英語練習(xí)用了多少分鐘？【解析】：“姐姐做自然練習(xí)比妹妹做算術(shù)練習(xí)多用48分鐘，比妹妹做英語練習(xí)多用42分鐘”，由此可以推出妹妹做算術(shù)練習(xí)比做英語練習(xí)少用時間：48-42=6（分鐘）。所以妹妹做英語練習(xí)的時間為：（44+6）÷2=25（分鐘）。奧賽天天練第10講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)2【題目】：用中國象棋的車、馬、炮分別表示不同的自然數(shù)。如果，車÷馬=2，炮÷車=4，炮-馬=56，那么“車+馬+炮”等于

24、多少？【解析】：車、馬、炮表示的三個數(shù)中，馬表示的數(shù)最小，我們以馬表示的數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，畫出線段圖如下：        把馬表示的數(shù)看作1份，車表示的數(shù)就是2份，炮表示的數(shù)就是4個2份，所以，馬表示的數(shù)為：56÷（2×4-1）=8?！败?馬+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。奧賽天天練第10講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：兩組學(xué)生參加義務(wù)勞動，甲組學(xué)生人數(shù)是乙組的3倍，而乙組的學(xué)生人數(shù)比甲組的3倍少40人，求參加義務(wù)勞動的學(xué)生共有多少人？【解析】：把乙組學(xué)生人數(shù)看作1份，畫出線段圖如下：