向量代數(shù)與空間解析幾何06304

1、向量代數(shù)與空間解析幾何*.* 向量代數(shù)的幾個注意點 向量平移后，向量的坐標不變，這是因為向量的模和方向都不變 向量在坐標軸上的分向量與向量在坐標軸上的投影（即向量的坐標）不同，前者是向量，后者是數(shù)量。 在向量代數(shù)中，若, 則中不一定有零向量. 若 則不一定相等. 兩向量的夾角指兩向量正方向的夾角，其限制范圍 兩非零向量垂直 ， 兩非零向量平行或?qū)?yīng)坐標成比例， 在解向量方程時，注意：a） 由于向量沒有除法運算，所以在方程中不能除以非零向量；b） 向量的“乘法”由向量積與數(shù)量積之分，還有混合積；c） 向量積不滿足交換律；d） 向量積的?？捎嬎忝娣e，混合積可計算體積及向量共面。 *.* 空間解析幾

2、何的幾個注意點：1） 熟記直線、平面的各類方程及表達各種位置關(guān)系的有關(guān)公式2） 點到直線距離 直線L過P點，為方向向量，M到L距離3） 公垂線長度 直線L1過P1， 直線L2過P2，4） 求空間直線（或空間曲線）在平面上的投影時，其關(guān)鍵時要求出投影平面（或投影柱面）的方程，將此方程和所給平面方程聯(lián)立起來，即得所求的投影方程。5） 柱面，旋轉(zhuǎn)面的特點，二次曲面一般方程6） 空間曲線方向向量或，曲面法向量一、 向量的運算1、填空題(1)已知都是單位向量，且滿足，則 。(2 ) 已知，則 。(3)設(shè)，且，則 。2、計算題（）設(shè),求一單位向量，使，且 共面。（）求與向量共線且滿足的向量。（）設(shè)與為非零

3、向量，且，求二、求空間直線方程 解題提示：在求空間直線方程時，“定點”（確定所求直線上的一點）和“定向”（所求直線的方向向量）是關(guān)鍵。1、 求過點P（ -1 ，0，4）平行于平面 3x - 4y + z = 10 且與直線 x + 1 = y 3 = z/2 相交的直線方程。三、求平面方程 解題提示： 求平面方程時，若題設(shè)條件中有兩個相交的平面（其方程為一般式方程），則用平面束方程處理簡便；若題設(shè)條件中平面過一點，則一般用點法式方程，此時問題轉(zhuǎn)化為求平面的法向量。、 一平面垂直于平面 z = 0 ，且通過點 M0（1，1，1）到直線 的垂線段，求此平面的方程。、 求通過直線 且與平面 垂直的平

4、面。四、求切線，切平面的方程。 解題提示： 曲線 的切線方程為 其中 是切點，是曲線切向量，平行于向量 曲線 的切線方程為 t0為切點處的參數(shù)值。曲面F（x, y, z）=0的切平面方程為 （*） 其中是切點，是曲面在切點的法向量。 當曲面方程為顯式 z = z (x, y) 時，則切平面方程為 、試證曲面 上任一點切平面與三坐標面所圍的立體體積為定值。、求曲面 的切平面，使之過直線 。、在曲線的所有切線中，與平面平行的切線有幾條？方程是什么？、求 在點（1，1，1）處的切線與法平面。五、求投影方程 解題提示：求空間曲線在坐標面上投影曲線方程的基本方法：先求出投影柱面的方程，然后與所給坐標面的

5、方程聯(lián)立起來就是所求的投影曲線方程。、 曲線方程為，求它在三個坐標面上的投影。、 直線 在三個坐標面及平面 上的投影方程。六、求曲面方程 解題提示：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的基本方法，平面曲線的繞某坐標軸旋轉(zhuǎn)，則該坐標所對的變量不變，而將曲線方程中另一變量改寫為該變量與第三變量平方和的正負平方根。、 直線 繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)曲面方程。Ppt、 曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。、 已知柱面的準線方程為 ，母線平行于y軸，求此柱面方程。、 已知準線為 母線的方向數(shù)是0，1，1，求滿足條件的柱面方程。、 求頂點在原點，準線為 的錐面方程。練習(xí)題：、 設(shè) ，則 。、 向量為實數(shù)，證明：使最小的向量垂直于、 直線L過點M（1，-2，0）且與兩條直線 ， 垂直，則L的參數(shù)方程為 。、 橢球面與平面之間的最短距離為 。、 設(shè)直線 在平面z = 1 上的投影為直線L，則點（1，2，1）到直線L的距離等于 。、 求直線L： 在平面上的投影直線L0的方程，并求L0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程。、 證明：錐面 z = xf(y/x)的切平面經(jīng)過其頂點（0，0，0），其中f是可微函數(shù)。、 求過直線 的平面使之平行