湖南師大附中2015屆高三月考試卷(4)

1、湖南師大附中2015屆高三月考試卷(四)數(shù)學(xué)（理科）命題：湖南師大附中高三數(shù)學(xué)備課組 (考試范圍：高中理科數(shù)學(xué)全部內(nèi)容)一.選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(12i)4+2i（i為虛數(shù)單位），則 |z| 為 ( C )A.1 B. C. 2 D.2.設(shè)aR ，則“a2”是“直線l1：ax+2y=0與直線l2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的 （A ）A .充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C .充分必要條件 D . 既不充分也不必要條件3已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖1所示，那么函數(shù)的圖象最有可能的是(

2、A ) 圖14.為了了解某縣今年高考準(zhǔn)備報(bào)考體育專業(yè)的學(xué)生的體重情況，將所得的學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)分組整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3小組的頻率a，b，c恰成等差數(shù)列，若抽取的學(xué)生人數(shù)是48，則第2小組的頻數(shù)為(B)A6 B12C18 D245如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則正實(shí)數(shù)的最小值是( A )A B C D6數(shù)列共有5項(xiàng)，其中，且，則滿足條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為( B )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【解析】設(shè)，則等于1或-1，由，知共有3個(gè)1，1個(gè)-1.這種組合共有個(gè)，選B.7.已知圖象不間斷的函數(shù)f（x）是區(qū)間a，b上的單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)

3、如圖是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框圖，判斷框內(nèi)可以填寫的內(nèi)容有如下四個(gè)選擇：f（a）f（m）0； f（a）f（m）0；f（b）f（m）0； f（b）f（m）0其中能夠正確求出近似解的是（C）A. B. C. D. 【解析】據(jù)二分法求方程近似解的步驟知當(dāng)f（m）f（a）0，即f（m）f（b）0時(shí)，說明根在區(qū)間（a，m）內(nèi)，令b=m，當(dāng)f（m）f（b）0, 即f（m）f（a）0時(shí)，說明方程的根在區(qū)間（m，b）內(nèi)，令a=m，由框圖得到當(dāng)滿足判斷框中的條件時(shí)將b=m故判斷框內(nèi)的條件為f（m）f（a）0或f（m）f（b）0，故選C8已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)x，y滿足，則向量 在向量方向

4、上的投影的取值范圍是 （ C ）A. B. C. D.xyOAPBC【解析】作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖.設(shè)向量 在向量方向上的投影為z，則.由圖知，所以.當(dāng)時(shí)，3；當(dāng)時(shí)，3.所以z的取值范圍是9 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為（ D ）A BC D【解析】此幾何體是三棱錐P-ABC（直觀圖如右圖），底面是斜邊長為4的等腰直角三角形ACB，且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影D是底面直角三角形斜邊AB的中點(diǎn)。易知，三棱錐P-ABC的外接球的球心O在PD上。設(shè)球O的半徑為r，則OD=2-r，CD=2，OC=r，解得：，外接球的表面積為.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線

5、的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)、，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ B ）A. B. C. D. OMFA解析：取為中點(diǎn)，則等價(jià)于也就是要求點(diǎn)的橫坐標(biāo)。由解得，故需，解得，則二.填空題：本大題共6個(gè)小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.（一）選做題（請(qǐng)考生在第11，12，13三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計(jì)分）11（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 。答案： 12.（不等式選講選做題）己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是 .答案： 13.（幾何證明選講選做題）如圖，

6、切圓于點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則的長為 .答案：（二）必做題（第14題圖）14甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語口語測試成績的莖葉圖如圖所示現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲小組學(xué)生”記為事件A；“抽出的學(xué)生英語口語測試成績不低于85分”記為事件B則P（A|B）的值是 答案：15. 設(shè)常數(shù).若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為-15,則_-3_.16.將5個(gè)全等的正方形按如圖所示方式放置在一個(gè)的矩形OEFG內(nèi)，其中頂點(diǎn)P、C、Q、D分別在矩形的四條邊上.ABPCDEOQFG （1）設(shè)向量a，b，以向量a，b為基底，則向量 3b2a (用向量a，b表示)； （2）若OE7，OG8

7、，則圖中5個(gè)正方形的邊長都為.ABPCDEOQFGxyM【解析】（1）如圖，3b2a. （2分）（2）如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.所以3b2a(2x3y，3x2y)，3ab(3xy，x3y).因?yàn)镺E7，OG8，則.所以，即正方形的邊長為. （5分）、三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本題滿分12分）在ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知，且（）求角A的大小；（）若，求ABC的面積的最大值【解析】（）由，且可得， 由正弦定理，得 又，則 （4分）因?yàn)椋瑒t又，所以 （6分）（）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，?（8分）因?yàn)?，則所以，當(dāng)且

8、僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 （10分）所以，故ABC的面積S的最大值為 （12分）18.（本題滿分12分）如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長.解：（法一）（）取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)榧癏是EF的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫?如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量， 取，則。又平面的一個(gè)法向量，故，又由圖形觀察知二面角的平面角為銳角所以二面角的余

9、弦值為 6分（）解：設(shè)則， 因?yàn)榉酆螅c重合，所以， 故，得， 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以. 12分（法二）（）解：取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié). 因?yàn)?及是的中點(diǎn)，E所以又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?又平面,故，又因?yàn)椤⑹?、的中點(diǎn)，易知，所以，于是面，所以為二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值為. 6分（）解：設(shè), 因?yàn)榉酆螅c重合，所以， 而， ,得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以. 12分19（本題滿分12分）目前，埃博拉病毒肆虐西非并逐漸蔓延，研究人員將埃博拉的傳播路徑結(jié)合飛機(jī)航班數(shù)據(jù)、埃博拉的潛伏時(shí)間等因素，計(jì)算出不限飛情況下，亞洲國家中印度、中國、阿聯(lián)酋、黎巴嫩在

10、一個(gè)月后出現(xiàn)輸入性病例的概率分別為0.1、0.2、0.2、0.2，假定各國出現(xiàn)輸入性病例相互獨(dú)立（1）求上述四國中恰有1個(gè)國家出現(xiàn)輸入性病例的概率；（2）從上述四國中任選兩國調(diào)研疫情，求恰有一國選在西亞（阿聯(lián)酋、黎巴嫩），一國選在中國和印度中的概率；（3）專家組擬按下面步驟進(jìn)行疫情調(diào)研，每一步若出現(xiàn)輸入性病例則停留下來研究，不再進(jìn)行下一步調(diào)研：第一步，一次性選取中國和印度兩個(gè)國家同時(shí)進(jìn)行調(diào)研；第二步，在阿聯(lián)酋和黎巴嫩兩個(gè)國家中隨機(jī)抽取1個(gè)國家進(jìn)行調(diào)研；第三步，對(duì)剩下的一個(gè)國家進(jìn)行調(diào)研求該專家組調(diào)研國家個(gè)數(shù)的分布列及期望解：（1）所述四國中恰有1個(gè)國家出現(xiàn)輸入性病例的概率為：4分（2）恰有一國選

11、在西亞，一國選在中國和印度中的概率為： 7分（3）設(shè)該專家組調(diào)研國家個(gè)數(shù)為，則的可能取值為2、3和4，由題得：；;故該專家組調(diào)研國家個(gè)數(shù)的分布列為：234P 0.28 0.144 0.576該專家組調(diào)研國家個(gè)數(shù)的期望為：E20.2830.14440.5763.29612分20. （本題滿分13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（1）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）是否存在以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，使得數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然時(shí)也符合，故 3分（1）當(dāng)時(shí)，5分當(dāng)時(shí)，所以， 7分（2）由，知數(shù)列中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)如存在以為

12、首項(xiàng)，公比為2或4的數(shù)列（）此時(shí)中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列 10分當(dāng)時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列當(dāng)時(shí)，若存在以為首項(xiàng)，公比為3的數(shù)列，則， 所以滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式為 13分21. （本題滿分13分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且（1） 求橢圓的離心率； （2） 求直線AB的斜率； （3） 設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值 解：（1）由/且，得，從而 整理，得，故離心率 3分（2）由（I）得，所以橢圓的方程可寫為 設(shè)直線AB的方程為，即 由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得.依題意， 6分而

13、由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以 聯(lián)立解得， 21世紀(jì)教育網(wǎng) 將代入中，解得. 8分（3）解法一：由（2）可知 當(dāng)時(shí)，得，由已知得.線段的垂直平分線l的方程為直線與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為. 10分直線的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組為 ，由解得 故當(dāng)時(shí)，同理可得. 13分解法二：由（II）可知當(dāng)時(shí)，得,由已知得 21世紀(jì)教育網(wǎng) 由橢圓的對(duì)稱性可知B，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形. 10分 由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.因?yàn)椋?，解得m=c（舍），或.則，所以. 當(dāng)時(shí)，同理可得 13分22.（本題滿分13分）設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點(diǎn)。（1）設(shè),若存在區(qū)間使得在上為單峰函數(shù)，求的取值范圍;（2）設(shè)，其中證明：對(duì)任意為上的單峰函數(shù)：記函數(shù)在上的峰點(diǎn)為，證