函數(shù)恒成立存在性及有解問題

1、函數(shù)恒成立存在性問題知識(shí)點(diǎn)梳理1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值.4、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則5、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則6、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則7、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則8、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；9、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；例題講解：題型一、常見方法1、已知函數(shù)，其中，1）對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值

2、范圍；2）對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 2、設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，都有在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍3、已知兩函數(shù)，對(duì)任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 題型二、主參換位法(已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1、對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式恒成立的x的取值范圍。2、已知函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，()求的值；()若上恒成立，求的取值范圍；題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）1、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）1、若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_2、已知

3、函數(shù)，在恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。題型五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的.1、存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_。2、已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式對(duì)時(shí)恒成立，。即的上界小于或等于；不等式對(duì)時(shí)有解，。 或的下界小于或等于；不等式對(duì)時(shí)恒成立，。即的下界大于或等于；不等式對(duì)時(shí)有解，.。 或的上界大于或等于；課后作業(yè)：1、設(shè)，若對(duì)于任意的

4、，都有滿足方程，這時(shí)的取值集合為（ ）（A） （B） （C） （D）2、若任意滿足的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 _ . 3、不等式有解，則的取值范圍是 4、不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。5、已知兩函數(shù)，。（1）對(duì)任意，都有)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（4）存在，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；6、設(shè)函數(shù). （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對(duì)任意的不等式成立，求a的取值范圍。7、已知A、B、C是直線上的三點(diǎn)，向量，滿足：.（1）求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式；（2）若x0，證明：f(x)；（3）若不等式時(shí)，及都恒成

5、立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍8、設(shè)，且（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(I)求 p 與 q 的關(guān)系；(II)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 p 的取值范圍；(III)設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立, 求實(shí)數(shù) p 的取值范圍.函數(shù)專題4：恒成立問題參考答案：題型一、常見方法1、分析：1）思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立，在通過分離變量，創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決 2）思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)和分別求最值，即只需滿足即可簡解：（1）由成立，只需滿足的最小值大于即可對(duì)求導(dǎo)，故在是增函數(shù)，所以的取值范圍是 2、分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù)以本題為例，實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決方法1：化歸

6、最值，；方法2：變量分離，或；方法3：變更主元，簡解：方法1:對(duì)求導(dǎo)，由此可知，在上的最大值為與中的較大者，對(duì)于任意，得的取值范圍是3、解析：對(duì)任意，存在，使得等價(jià)于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，題型二、主參換位法(已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1、解：不等式即,設(shè)，則在-2,2上恒大于0，故有：或2、O ()分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于等于0恒成立的問題。()略解：由()知：，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，只需，（其中）恒成立，由上述結(jié)論：可令,則，而

7、恒成立，。題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）1、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解析: 當(dāng)時(shí)，由得.題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）1、解析：對(duì),不等式恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。2、分析：為了使在恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時(shí)恒大于等于的問題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。解：令，則對(duì)恒成立，而是開口向上的拋物線。當(dāng)圖象與x軸無交點(diǎn)滿足，即，解得。 當(dāng)圖象與x軸有交點(diǎn)，且在時(shí)，則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識(shí)及圖象可得： 解得，故由知。小結(jié)：若二次函數(shù)大于0恒成立，

8、則有，同理，若二次函數(shù)小于0恒成立，則有。若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。題型五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的.1、解：設(shè)，由有解，又，解得。2、解： 因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解.即能成立, 設(shè).由得, .于是,由題設(shè),所以a的取值范圍是課后作業(yè)：1、B。解析：由方程可得，對(duì)于任意的，可得，依題意得。2、 答案：。解析：由不等式可得，由線性規(guī)劃可得。3、解：原不等式有解有解，而，所以。xy034、解：畫出兩個(gè)凼數(shù)和

9、在上的圖象如圖知當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)總有所以5、解析：（1）設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，故。令，得或。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，由，得。（2）據(jù)題意：存在，使成立，即為：在有解，故，由（1）知，于是得。（3）它與（1）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意，都有成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是：。 ，在區(qū)間上只有一個(gè)解。，即.（4）存在，都有，等價(jià)于，由(3)得，點(diǎn)評(píng)：本題的三個(gè)小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件。6、解：（）（1分）令得

10、的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）（4分）當(dāng)x=a時(shí)，極小值=當(dāng)x=3a時(shí)，極小值=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0<a<1，a+1>2a.上是減函數(shù). （9分）于是，對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于 又 7、解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三點(diǎn)共線即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函

11、數(shù)6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等價(jià)于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 當(dāng)x1，1時(shí)，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，則得m3或m312分8、解：(I) 由題意得 而，所以(II)由 (I) 知 ， 4分令，要使在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 h(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 當(dāng)時(shí)，所以在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故； 當(dāng)時(shí)，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，只需，即p1時(shí)， h(x)0，f (

12、x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故 p1適合題意. 綜上可得，p1或 p0另解：(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = p (1 + )要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 f(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足：f(x)0 或 f(x)0 恒成立. 由 f(x)0 Û p (1 + )0 Û p Û p()max，x > 0 = 1，且 x = 1 時(shí)等號(hào)成立，故 ()max = 1p1由 f(x)0 Û p (1 + )0 Û p &#

13、219; p()min，x > 0而 > 0 且 x 0 時(shí)， 0，故 p0綜上可得，p1或 p0(III)g(x) = 在 1,e 上是減函數(shù)x = e 時(shí)，g(x)min = 2，x = 1 時(shí)，g(x)max = 2e即g(x) Î 2,2e 10分 p0 時(shí)，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 遞減 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合題意。 0 < p < 1 時(shí)，由x Î 1,e Þ x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式，故在 1,e 遞增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 < 2，不合題意。 p1 時(shí)，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 連續(xù)遞增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 1,e 上是減函數(shù)本命題 Û f (x)max > g(x)min = 2，