2018屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)_數(shù)列專題與答案

1、WORD格式.可編輯2018 屆高三第二輪復(fù)習(xí)一一數(shù)列第1講等差、等比考點(diǎn)【高考感悟】從近三年高考看，高考命題熱點(diǎn)考向可能為：考什么怎么考題型與難度1.等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算主要考查等差、等比數(shù)列的基 本量的求解題型：三種題型均可出現(xiàn) 難度：基礎(chǔ)題2.等差(比)數(shù)列的判定與證明主要考查等差、等比數(shù)列的定 義證明題型：難度三種題型均可出現(xiàn) 基礎(chǔ)題或中檔題3.等差(比)數(shù)列的性質(zhì)主要考查等差、等比數(shù)列的性 質(zhì)題型 難度選擇題或填空題基礎(chǔ)題或中檔題_1.必記公式(1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an= ai+ (n 1)d.、工亍 、，、n (ai+an)n (n1) d(2)等差數(shù)列刖 n項(xiàng)和公式： Sn

2、=2=na1+2.(3)等比數(shù)列通項(xiàng)公式：anaqn 1.(4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：na1 (q=1)Sn= ：a1 (1一 qn)a1 一 anq.：=； (qw1)1 1 - q 1 - q(5)等差中項(xiàng)公式：2an = an 1 + an+1(n>2).2(6)等比中項(xiàng)公式：an=an 1 - an+1(n注2). S1(n=1)數(shù)列an的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)an之間的關(guān)系：an = "Sn-Sn 1 (n>2)2 .重要性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：等差數(shù)列中，an=am+ (nm)d;等比數(shù)列中，an= amqn m.(2)增減性：等差數(shù)列中，若公差大于零，則數(shù)列為遞增

3、數(shù)列；若公差小于零，則數(shù)列為遞減數(shù)列.等比數(shù)列中，若 21>0且q>1或a1V0且0v qv 1,則數(shù)列為遞增數(shù)列；若a1>0且0v qv 1或a1v 0且q > 1,則數(shù)列為遞減數(shù)列.3 .易錯(cuò)提醒(1)忽視等比數(shù)列的條件：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，忽視各項(xiàng)都不為零的條件.(2)漏掉等比中項(xiàng)：正數(shù) a, b的等比中項(xiàng)是±Vab,容易漏掉一Vab.【真題體驗(yàn)】1. （2015新課標(biāo)I高考）已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和.若S8=4Si,則aio=（）A 17B.19C. 10D. 122212. （2015新課標(biāo)n局考）已知等比數(shù)列an滿足

4、a=4，a3a5= 4（a41）,則a?=（）11A. 2 B. 1 C.- D.- 283. （2015浙江高考）已知an是等差數(shù)列，公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列，且 2a+a2=1,則a1=, d =.14. （2016全國卷1）已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列如滿足b|=1,b2=,anbn書+0書=nbn,.3（I）求an的通項(xiàng)公式；（II）求bn的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、等差（比）的基本運(yùn)算1 .（2015湖南高考）設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1= 1,且3s1, 2S2, &成等差數(shù)列，則an=2 . （2015重慶高考）已知等差數(shù)列an滿足a

5、3=2,前3項(xiàng)和S3=|.（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列bn滿足b1=a1，b4=a15,求bn的前n項(xiàng)和Tn.專業(yè)知識(shí)整理分享考點(diǎn)二、等差(比)的證明與判斷【典例1】(2017全國1 gSn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S2=2, S3=-6.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn,并判斷Sn+1, 0,Sn+2是否成等差數(shù)列【規(guī)律感悟】判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法(1)定義法：對(duì)于n>1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證 an+1 an J 丁 產(chǎn)同一常數(shù).(2)通項(xiàng)公式法：若 an=a + (n1)d=am+(nm)d 或 an= kn + b(n N*),則an為等差數(shù)列;若

6、 an=a1qn 1= amqn m或 an= pqk"b(nC N ),則an為等比數(shù)列.(3)中項(xiàng)公式法：右 2an = an-1 + an+1(n N , n>2),則an為等差數(shù)列；右an= an 1 ' an+1(nC N ， n>2),且an5 0,則a為等比數(shù)列.變式：(2014 全國大綱圖考)數(shù)列an滿足 a1=1, a2 = 2, an+2 = 2an+1 an+2.(1)設(shè)bn= an+1 an,證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)三、等差(比)數(shù)列的性質(zhì)命題角度一與等差(比)數(shù)列的項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)【典例2】(1)(2015新課標(biāo)n高考

7、)已知等比數(shù)列an滿足a1=3, a+23+25= 21,則23+25+27=()A. 21B. 42C. 63D. 84(2)(2015銅陵卞II擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且&o=12,則as+a6=()126A/5 B. 12 C. 6 D.5命題角度二與等差（比）數(shù)列的和有關(guān)的性質(zhì)【典例3】（1）（2014全國大綱高考）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S2 = 3, &=15,則S6=（） A. 31 B. 32C. 63 D. 64（2）（2015衡水中學(xué)二調(diào)）等差數(shù)列an中，3（a3+a5）+ 2（a7+ai0+ai3）= 24,則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是（

8、） A. 13 B. 26 C. 52 D. 156針對(duì)訓(xùn)練1 .在等差數(shù)列an中，若 a3+a4+a5+a6+a7=25,則 a2 + a8=.2 .在等比數(shù)列an中，a4 a8=16,貝a4 a5a7a8的值為.3,若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10an + a9a12= 2e5,則ln a + ln a2 + ln a20=.【鞏固訓(xùn)練】一、選擇題1. （2015新課標(biāo)II高考）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a + a3+a5=3,則%=（）A. 5B. 7C. 9D. 112. （2014福建高考）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1 = 2, Ss=12,則a6等于（）A.

9、8 B, 10 C. 12 D. 143. （2014重慶高考）對(duì)任意等比數(shù)列an,下列說法一定正確的是（）A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,央，a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列4. （2014天津高考）設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若Si ,S4成等比數(shù)列，則a1=（）1 -1A. 2 B.2 C.2 D 215. （2015遼寧大連模擬）數(shù)列an潴足anan+1 = an an+1（nCN ）,數(shù)列bn潴足bn=1,且b1 an+ 8+ a=90,則 b4 b6（）A.最大值為99 B.為定值99 C.最大值為10

10、0 D.最大值為200二、填空題6. (2015陜西高考)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2 015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為 7. (2015安徽高考)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，aI + a4=9, a2a3=8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于8. (2014江西高考)在等差數(shù)列an中，a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值, 則d的取值范圍為.三、解答題9. (文)(2015蘭州卞莫擬)在等比數(shù)列an中,已知a1 = 2, a4=16.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a3, a5分別為等差數(shù)列bn的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.10、(2

11、014湖北高考)已知等差數(shù)列an滿足：a1=2,且a1，a2,詼成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù) n,使得Sn>60n+ 800?若存在，求 n的最小值；若不存 在，說明理由.11. (2015江蘇高考)設(shè)a1，a2, a3, a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(dw0)的等差數(shù)列.(1)證明：2a1，2a2, 2a3, 2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列；(2)是否存在a1，d,使得a1，a2, a3, a4依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由第2講 數(shù)列求和（通項(xiàng)）及其綜合應(yīng)用【高考感悟】從近三年局考看，局考命題熱點(diǎn)考向可能為:考什么怎么考題型與難度i.數(shù)

12、列的通項(xiàng) 公式考查等差、等比數(shù)列的基本量的求解；考查an與Sn的關(guān)系，遞推關(guān)系等題型：三種題型均可出現(xiàn) 難度：基礎(chǔ)題或中檔題2.數(shù)列白前n 項(xiàng)和考查等差、等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式； 考查用裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分解 組合法求和.題型：三種題型均可出現(xiàn)，更多 為解答題難度：中檔題3.數(shù)列的綜合 應(yīng)用證明數(shù)列為等差或者等比； 考查數(shù)列與不等式的綜合.題型：解答題 難度：中檔題【真題體驗(yàn)】1. （2015北京高考）設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A.若 ai + a2>0,則 a2+a3>0B.若 ai + a3<0,則 ai+a2<0C.若 0<ai<a

13、2,則 a2>Vaia3D,若 ai<0,則(a2ai)(a2a3)>02. （20i5武漢模擬）已知等差數(shù)列an的前ni項(xiàng)和為Sn, a5=5, &=i5,則數(shù)列三的刖i00項(xiàng)和為（）B.署喘D喘3. （20i5福建高考）等差數(shù)列an中，a2 = 4, a4+a7=i5.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè) bn=2an2+n,求 bi+b2+b3+ bi0的值.WORD格式.可編輯考點(diǎn)一、數(shù)列的通項(xiàng)公式【規(guī)律感悟】求通項(xiàng)的常用方法【考點(diǎn)突破】(1)歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納猜想法.(2)已知Sn與an的關(guān)系,利用an =Si, n=1,求an.

14、Sn Sn 1 , n > 2(3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如 時(shí)，常用累加法(疊加法).an+1= an+f(n),其中數(shù)列f(n)前n項(xiàng)和可求，這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系如 法(疊乘法).an+1 = g(n)an,其中數(shù)列g(shù)(n)前n項(xiàng)積可求，此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘(5)構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如an+1= pan+ q（p, q 為常數(shù)）可化為 an+1 + p31= p n +q八,、一一PT7J(pw1)的形式，利用2.3.十 貸思以P為公比的等比數(shù)列求解.遞推關(guān)系形如an+1=詈p(p為非零常數(shù))可化為六=2p的形式.(2015新課標(biāo)n高考)設(shè)Sn是數(shù)

15、列an的前n項(xiàng)和，且ai = -1, an+i = SnSn+i,則Sn=（2015 銅陵模擬）數(shù)列an滿足1a1 + /a2+ + /an=3n+1, nC N*,則 an =333，一，一, 一一 八5an - 13右數(shù)列an滿足 a1=3, an+1= 3a 7,則a2 015的值為考點(diǎn)二、數(shù)列的前n項(xiàng)和【規(guī)律感悟】1.分組求和的常見方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組.(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組.(3)根據(jù)數(shù)列的周期性分組.2 .裂項(xiàng)后相消的規(guī)律常用的拆項(xiàng)公式(其中nCN*)_1=1_, 歷_1=1自_肉1=J( 1 _L)n (n+1) n n+1, 0n (n + k)kn) n+kJ(

16、2n1) (2n+1)2(2n1 2n+1 ,3 .錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an乘以等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)(an -。)型數(shù)列求和.(2)步驟：求和時(shí)先乘以數(shù)列 bn的公比.把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減.整理結(jié)果形式.4 .倒序求和。命題角度一基本數(shù)列求和、分組求和專業(yè)知識(shí)整理分享WORD格式.可編輯【典例1】(2015湖北八校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足 ai=3, bi=1, b2 + S2 = 10, a5 2b2 = a3.馬，n為奇數(shù),求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)令Cn=SSn設(shè)數(shù)列g(shù)的前n項(xiàng)和為Tn,求T2n.bn, n為偶數(shù),命題角度

17、二裂項(xiàng)相消法求和【典例2】(2015安徽高考)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且 ai+a4=9, a2a3= 8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，bn=-anrr，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.SnSn+ 1命題角度三錯(cuò)位相減法求和【典例3】(2015天津高考)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且 & = “=1, b?+b3= 2a3, a5 3b2 =7.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；*(2)設(shè)cn=anbn, nCN ,求數(shù)列Cn的刖n項(xiàng)和.專業(yè)知識(shí)整理分享針對(duì)訓(xùn)練一,、.，. 一、，一一 n2+ n -1. (2014湖南局考)已知數(shù)

18、列an的前n項(xiàng)和$=一2-mN .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn = 2an+(-1)nan,求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.2. (2015山東高考)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列Ian .1an+i，的前n項(xiàng)和為 五上.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(an + 1) 2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn)三、數(shù)列的綜合應(yīng)用【典例4】(2015陜西漢中質(zhì)檢)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S2- (n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；n +1田匕.r* z,5(2)令bn=(n+2) 2a2，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.證明：對(duì)于任意的

19、 nC N ,者B有R.變式：(2015遼寧大連模擬激列滿足an+產(chǎn)七,為.11111n證明：數(shù)列1是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列” 的刖n項(xiàng)和Sn,并證明衛(wèi)+衛(wèi)+ S>n7.【鞏固訓(xùn)練】一、選擇題1. （2015浙江高考）已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.若a3, a4, a8成等比數(shù)列，則（）A. ad>0, dS4>0B. aKO, dv。C. ad>0, dS4<0 D. aEv。，dS>。2. （2015保定調(diào)研）在數(shù)列an中，已知a1=1, an+=2an+1,則其通項(xiàng)公式為 an=（）A . 2n-1 B. 2n1 + 1C. 2n-

20、 1 D, 2（n1）3. （預(yù)測(cè)題）已知數(shù)列an滿足an+1 = 2+ana2,且a1=；則該數(shù)列的前2 015項(xiàng)的和等于（）3 023八A.-2 B. 3 023 C. 1 512 D , 3 0244. （2015長(zhǎng)春質(zhì)檢）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為且a=a2=1, n&+（n+2）an為等差數(shù)列，則an=（）nn+1 2n 1n+1A. 2nTB. 2n_1 + 1C.2n_ 1 D. 2n 11, 一 一 ， 2an2n +1 + 1 , ，一 一一.5. （2015云南第一次統(tǒng)一檢測(cè)）在數(shù)列an中，an>0, a1=2,如果an+1是1與一4_a2的等比中項(xiàng)，那么a1 +

21、 ai+孰智+ 需的值是（） 23410010010110099A. 99B.100 C.101D.100、填空題 一一1八6. (2014全國新課標(biāo) n圖考)數(shù)列an滿足an+i = ；, % = 2,則a =.1 an7.若數(shù)列n(n+4)(2)n中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k=.38(2015江蘇高考)設(shè)數(shù)列an滿足ai=1,且an+i an= n+1(n C N*),則數(shù)列*: r前10項(xiàng)的和為.©nJ9. (2015福建高考)若a, b是函數(shù)f(x)= x2px+q(p>0, q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且 a, b, 一 2這三個(gè)數(shù) 可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排

22、序后成等比數(shù)列，則 p+q的值等于 .三、解答題10. (2015湖北高考)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1=a1，b? =2, q = d, 60=100.(1)求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d>1時(shí)，記Cn = an,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.11. (2014山東高考)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且G ,，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn=(T)n1 4n ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.an an+12018 屆高三第二輪復(fù)習(xí)一一數(shù)列答案【真題體驗(yàn)】（第1講等差、等比考點(diǎn)）1 【解析】設(shè)等差數(shù)列

23、an的首項(xiàng)為ai,公差為d.由題設(shè)知d = 1,S8=4S4，所以8a什28 = 4(4a1+ 6),解11. 19 .信 a1 = 2，所以 a1o = 2+9=-2.故選 B.2 .【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,a1 = ,a3a5= 4(a41),由題可知qw1,則a1q2xa1q 4= 4(a1q3 1),，116Xq6 = 4(4xq31), .q616q3+64=0, .(q38)2 = 0,.q，7=2, .3=2.故選 C.3 .【解析】由a2,a3,a7成等比數(shù)列，得a3=a2a7,則2d2=3ad,即d = 2a1.又2a+a2= 1,所以a1d = - 1.【答案】2

24、 -133314.【斛】(1)an= 3n 1 - (2)bn = - 1 -22 3n-考點(diǎn)一、等差(比)的基本運(yùn)算1 【解析】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列等，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想即可輕松求解等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.由 3S, 2s2, S3成等差數(shù)列，得4s2=3S1+S3,即3s2 3S = 2S2,則3a2=a3,得公比q=3,所以an=a1qn一1=3nT.【答案】312【解】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查考生的運(yùn)算求解能力.（1）將已知條件中的a3, S3用首項(xiàng)a1與公差d表示，求得a1，d,即可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）結(jié) 合利用條件b

25、1 = a1, b4=a15求得公比，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算.（1）設(shè)an的公差為d,則由已知條件得,c c ,3X29a1 +2d = 2, 3a+ 2 d=2，3即 a1+2d=2, a+d = 2，1解得 a1 = 1, d = 2,故通項(xiàng)公式為九=1 +寧，即力=n2./口，1 115 + 1(2)由(1)付 b = 1 , b4 = a15=2 = 8.設(shè)bn的公比為q,則q3= b4L= 8，從而q = 2,故bn的前n項(xiàng)和= 2n- 1.b1 (1qn)1X (1 2n)Tn= -1-=1-2考點(diǎn)二、等差（比）的證明與判斷【典例1】解：（1）設(shè)an的公比為q ,由

26、題設(shè)可得,(1 +q) =2, a2(1 q q2) =-6.解得q - -2同-2故an的通項(xiàng)公式為an = （-2）n（2）由（1）可得Sn =ai(1 -qn)i -q2丁(-1) 32n 142n 3 _ 2n 2由于 WSnk h J1)n-22n 1=2一十（"可=2&，故S-S,Sn節(jié)成等差數(shù)列變式.【解】（1）證明：由an+2=2%+1 an+2得an + 2 01+1 = an + 1 an + 2 ,即 bn+1=bn+2.又 b = a2 a1 = 1,所以bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）得 bn= 1 + 2（n1）,即 an+1 a

27、n= 2n1.S （依十 S（21）,于是查一'之一工,所以 an+1 a1=n2,即 an+1 = n2-i-a1.又a1= 1,所以an的通項(xiàng)公式為an=n2 2n+2.考點(diǎn)三、等差（比）數(shù)列的性質(zhì)命題角度一與等差（比）數(shù)列的項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)【解析】（1）本題主要考查等比數(shù)列的基本概念、基本運(yùn)算與性質(zhì)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力.由于 a1（1+ q2+q4） = 21, a1=3,所以 q4+q26=0,所以 q2= 2（q2 = 3 舍去）， 2a3+as+a7=q （a+a3+ as） = 2x 21 = 42.故選 B.（2）本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)am+ an= ap+ a

28、q.a1+ a10由 S10= 12 得2一X 10= 12,所以 a + a10 = 12",所以 as+aen12.故選 A.命題角度二與等差（比）數(shù)列的和有關(guān)的性質(zhì)【解析】（1）在等比數(shù)列an中，S2, S4-S2, S6S4也成等比數(shù)列，故（S4S2）2=S2（S6S4）,則（153）2= 3（015）.解得 & = 63.故選 C.(2)3(a3+as) + 2(a7+ ao +a®= 24 ,6a4+6a10 = 24 , , a4 + a10 = 4 ,S13 =13 (a1 + a13)13 ( a4 + a10)2=13X42= 26.故選B.針對(duì)

29、訓(xùn)練1 .【解析】由 a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 25 得 5a5 = 25 ,所以 a5 = 5,故 a2 + a8= 2a5= 10.2 .【解析】a4a5a7a8= a4a8 , a5a7= (a4a8)2= 256.【答案】 2563 .【解析】: a1oa11 + a9a12=2e5,a1oa1= e5,Ina+Ina2+lna20=10ln(a1o,an)= 10 in e5= 50.【鞏固訓(xùn)練】一、選擇題1【解析】數(shù)列an為等差數(shù)列，. a +出 + a5 = 3a3= 3,，a3= 1, .德=5 （_L = 5 2a3= 5.答案A3X2一 一一一一2【

30、解析】 由題知 3a1+ -2 d = 12, ,a1 = 2,斛佝 d = 2,又 血=a+5d, . . a6= 12.故選 C.3 .【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3 - a9=a6w0,因此a3, a6, a9一定成等比數(shù)列.故選 D. 一 , 一、.2 _2X124X3. 1 .4 .【解析】由題息知S2=& S4, （2a1+一廠d） = a（4a1 + 2-d）,把d = 1代入整理得a1 = 一鼻.故選D.5 .【解析】將an aa + 1 = anan + 1兩邊同時(shí)除以anan+1可得=1,即bn+1 bn=1,所以bn是公差為an+1 and=1的等差數(shù)列，其前

31、9項(xiàng)和為9(bl；b9)=90,所以bi+b9=20,將b9=bi+8d = “ + 8,代入得 “=6,所以 b4=9, b6=11,所以 b4b6= 99.故選 B.二、填空題6【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 ai,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，ai+2 015=2X1 010,解得a1=5.【答案】a1+a4=9,a + a4 = 9,7.【解析】1則a2a3= 8,&a4=8,a1，a4可以看作一元二次方程a1 = 1a4= 8a1= 8,，或“:數(shù)歹U an是遞增的等比數(shù)歹U,a4= 1.a1 = 1,g4= 8.可得公比q = 2,x29x+8= 0的兩根，故前 n 項(xiàng)和 Sn=2n

32、-1.8 .【解析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=na1 + n(丁)d = $2+一$n = 2n2+(7 dd)n,對(duì)稱軸為d _d .一一7-7-1,2-,對(duì)稱軸介于 7.5與8.5之間，即7.5<2-< 8.5,解得一1<d< 7.【答案】dd8三、解答題9.1. 解】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q, 一an為等比數(shù)列，.a4-= q3=8,，q=2, .an=2X2n1=2na1(2)設(shè)數(shù)列bn的公差為 d, b3=a3=23=8, b5=a5 = 25= 32,且bn為等差數(shù)列, b5-b3=24=2d, .1. d= 12, . “ = b32d= 16,

33、 . Sn= 16n +n( n2 " = 12 = 6n222n.10、【解】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意，2, 2+ d, 2 + 4d成等比數(shù)列，故有(2+d)2= 2(2+ 4d),化簡(jiǎn)得d24d = 0,解得d= 0或d = 4.當(dāng)d=0時(shí)，an=2;當(dāng)d = 4時(shí)，an=2+(n-1) 4 = 4n- 2,從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=2或an=4n 2.當(dāng) an=2 時(shí)，Sn=2n顯然 2n<60n+800,此時(shí)不存在正整數(shù) n,使得Sn>60n+800成立.n n2 4n 2) 2當(dāng) an=4n- 2 時(shí)，3 = -1-=2n .令2n2>

34、60n+ 800,即n230n 400>0,解得n>40或nv10(舍去)，此時(shí)存在正整數(shù) n,使得Sn> 60n+800成立，n的最小值為 41.綜上，當(dāng)an=2時(shí)，不存在滿足題意的n；當(dāng)an=4n 2時(shí)，存在滿足題意的 n,其最小值為41.2a1，2a2 , 2a3, 2a4 依次a+d, a+ 2d(a>d, a> 11 .【解】(1)證明：因?yàn)?繁1 =2an+1-an = 2d(n=1, 2, 3)是同一個(gè)常數(shù)，所以2an構(gòu)成等比數(shù)列.(2)不存在，理由如下：令a1 + d = a，則 a1，a2, a3, a4分別為 a-d, a,2d, dw0).假

35、設(shè)存在a1，d,使得a1，a2, a3, a4依次構(gòu)成等比數(shù)列，則 a4= (a- d)(a+ d)3,且(a+d)6= a2(a + 2d)4.令 t=a，則 1 = (1 t)(1+t)3,且(1 +1)6= (1 + 2t)41<tv1, tw0化簡(jiǎn)得 t3+2t22=0(*),且 t2=t+1. 將t2=t+1代入(*)式，21t（t+ 1） + 2（t+ 1）-2 = t +3t=t+ 1 + 3t=4t+1=0,則 t= -4.a1，d,使得 a1, a2, a3, a4依次顯然t=-；不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立.因此不存在 構(gòu)成等比數(shù)列.第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)

36、用【真題體驗(yàn)】1. （2015北京高考）設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A .若 ai+a2>0,則 a2+a3> 0B.若 ai+a3<0,則 ai+a2<。C.若 0vaia2,則 22>近103D.若 ai0,則（a2ai）（a2a3）>0【解析】 若an是遞減的等差數(shù)列，則選項(xiàng) A、B都不一定正確.若an為公差為0的等差數(shù)列，則 選項(xiàng)D不正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由條件可知an為公差不為0的正項(xiàng)數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得 22=咒色， 由基本不等式得 嗎色版;，所以C正確.【答案】Ci2. （20i5武漢模擬）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,a5 =

37、5, Ss=i5,則數(shù)列的前i00項(xiàng)和為（）anan+iAB.強(qiáng).i0ii0i99 i0iC.i00 D.i00【解析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為d.a5= 5, S5 = i5,ai+ 4d = 5,5X (5i)5ai+2d = i5,.ai=i，. . . an= ai+ (n i)d= n.© = i,= i=1.數(shù)列 anan+i n ( n+ i)n n+ ii00i0i., i的前i00項(xiàng)和為anan+ ii i i 12+萬一3+而1011013. (20i5福建高考)等差數(shù)列an中,a2=4, a4+a7=i5.(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn=

38、2an2 + n,求 bi+bz+b3+ bi° 的值.【解】(i)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d.ai + d= 4, 由已知得 一(a1 + 3d) + ( a + 6d) = i5,a1= 3,解得d = 1.所以 an = a1 + (n 1)d=n+2.(2)由(1)可得 bn=2n+n,所以 b1 + b2+b3+ + b10=(2 + 1) + (22+ 2)+(23+ 3) + + (210+ 10) =(2+ 22+ 23+- + 210) +(1 +2+ 3+ +10)10、2X (1 2 )1-2 = 211+53 =2 101.(1+10) X 10+21,2.數(shù)

39、列的通項(xiàng)公式(自主探究型)當(dāng) n= 1 時(shí)，SI=a1 = 一 1,所以三= 1.因?yàn)?an+ i = & + 1 & = &Sn+1 ,所以 £=1，即£ 工=S1Sn Sn+ 1Sn+1 Sn1 11所以三是以一1為首項(xiàng)，一1為公差的等差數(shù)列，所以 -=(-1)+(n-1) (- 1) = n,所以&=一二. SnSnn當(dāng) n= 1 時(shí)，；a= 3X1+1,所以 a=12, 3_11當(dāng) n > 2 時(shí)，：§a1 + 32a2 + 3一 .111.= 3n+1,：耍什相a2+'3?1_1 an 1 = 3(n 1)

40、+ 1.3.=1.1得： 通n=(3n+1)3(n1)+1, 3即%an=3,所以an=3n+1,綜上可得：an= 312, n=1, b1, n*.僑案12, n= 1,13n+1, n> 2本題主要考查利用遞推數(shù)列求數(shù)列的某一項(xiàng)，通過研究數(shù)列的函數(shù)特性來解決.由于a1 = 3,求a2=1, a3= 2, a4= 3,所以數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，所以 a2 015= a671 ><3+2= a2熱點(diǎn)考向二數(shù)列白前n項(xiàng)和(多維探究型)命題角度一基本數(shù)列求和、分組求和b2 + S2 = 10,【典例1】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,數(shù)列bn的公比為q,則由6»匕5

41、 2b2= a3,/曰 q +6+d=10, 珈得i解|3+4d-2q=3 + 2d,d = 2，q = 2，所以 an=3+2(n-1) = 2n+1, bn=2n1,cc , x/曰c n(a + an)(2)由 a1 =3,an= 2n+ 1倚Sn=2= n(n + 2),則 cn=5n (n+2)n為奇數(shù),0nt, n為偶數(shù),2n+ 1+ (2+23+ 22nT)2n+ 1命題角度二1-4-2+|(4n-1).2n+ 1 3''裂項(xiàng)相消法求和1士，n為奇數(shù)，即 Cn=F n+22nT, n為偶數(shù)，1- T2n= (C1 + C3 + + C2n-1) + (C2+ C4

42、+ + C2n)【典例2(1)由題設(shè)知a1a4=a2a3=8,又a1+ a4= 9,可解得a1= 1，或d4= 8a1= 8最1(舍去1設(shè)等比數(shù)列an的公比為q ,由34=aiq"lq = 2,故an= aiqn 1 = 2n 1(2)Sn = a1 Jqn)=2n-1,又 bn=。=2 =，1一 qSnSi+1SnSn+1SnSn+1所以 Tn=b1 + b2+-+bn= g- S 卜 &-#,十&-丑尸 STS1； =1 2 命題角度三錯(cuò)位相減法求和典例3】（1）設(shè)數(shù)列an的公比為q,數(shù)列bn的公差為d,由題意q>0.由已知，有(1 + d) + ( 1+

43、2q) = 2q, q43 (1 + d) =7,又因?yàn)閝>0,解得q=2,所以d = 2.2q2 3d = 2,q4 - 3d= 10,消去d,整理得q4 2q2 8 = 0.所以數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an=2n1, nC(2)由(1)有cn=(2n1) 2n，設(shè)g的前n項(xiàng)和為Sn,則 Sn= 1 x 20+ 3X 21+ 5X 22+ + (2n 3)X2n 2+(2n1)X2n1N *;數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為bn=2n1,nCN *.2Sn= 1 X 21 + 3X 22+ 5 X 23+ (2n 3) X 2n 1 + (2n 1) X 2n,上述兩式相減，得-Sn= 1 +22

44、 + 23+ + 2n-(2n-1)X 2n=2n+1-3-(2n- 1)X 2n= (2n 3)X2n-3, 所以，Sn = (2n3) 2n+ 3, nCN*.針對(duì)訓(xùn)練1 .【解】(1)當(dāng) n=1 時(shí)，a1=S1=1;n2+n (n 1)2+(n 1)當(dāng) n>2 時(shí)，an= Sn Sn 1= -2-一2= n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= n.(2)由(1)知，bn=2n+(1)nn.記數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和為 T2n,則 T2n= (21+22+ 22n)+(1 + 23+4 -+ 2n).記 A=21+22+22n, B=1+23+4+ 2n,則A=2(>* = 22n-

45、2A-1-2'B= (-1 + 2)+(-3+4)+ + (2n 1)+2n = n.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 T2n=A+ B=22n+1+n-2.2 .aa2 3'【解】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d.令n=1,得112a2a3= 15.所以aa2=3.令n=2,得'+'=2,所以 aa2 a2a3 5解得 a1=1, d=2,所以 an= 2n 1.(2)由(1)知 bn= 2n 22n 1= n 4n,加以 Tn = 1 41 + 2 42+ n 4n,所以 4Tn= 1 42+2 43+ n 4n+1,兩式相減，得一 3Tn= 41 + 42+ 4n n

46、 4n+1lL_n 4n+1=33.41-433.4 4 3n 1 4+ 9=n+ 1.，數(shù)列的綜合應(yīng)用(師生共研型)【典例 4】【解】(1)由 Sn-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得Sn(n2+n)(Sn+1) = 0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以 Sn>0, Sn=n2+n.于是 a1 = S = 2, n>2 時(shí)，an= SnSn-1=n?+n(n1廠一(n1) = 2n.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2n. n 1 _(2)證明：由于 an=2n, bn= (n+2) 2a2，1116J2 (n+2) 2.則bn =n+ 14n2 (n+2) 2 =d T 1

47、1111111, 111、/所以 Tn=x 1 - 32 + 22 - 42 + 32 - 52 +- + (n- 1) 2 (n+1) 2 +不-(n+2) 2 = W X一 11111f 1、 5J + 2 (n+1) 2 (n+2) 2 < wXV + 2 廠 64.變式：【解】(1)證明：.-an+1 = an2a士，化簡(jiǎn)得，=2+工，2an+ 1an+1anan+1an即上一工=2,故數(shù)列1是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.an+1 anan(2)由(1)知工=2n-1, . & = n + 華- .【解析】 因?yàn)閍1=2,又an+ 1 = 1+'an a2 ,

48、所以a2 = 1 ,從而a3 =a4= 1，即得an = 1, n=2k1 (kC N*),，2故數(shù)列的前2 015項(xiàng)的和等于1, n=2k (kC N ), A an 1-1 = an)=n2.an21,1,11111,1,111111 、，S+ S2+ Sn=產(chǎn) 22+2S + + n (n+1) = (1 -3 + (2引+ + 5 由)=1-1_n.= -n+1 n+1【鞏固訓(xùn)練】一、選擇題51.【解析】 由 a3, a4, a8成等比數(shù)列可得：(a1+3d)2= (a + 2d) (a1 +7d),即 3a1+5d = 0,所以 a1 = -d,3 ,(a1 + a4) X 42 一

49、 所以 adv 0.又 dS4=d= 2(2a1+ 3d)d= - -d < 0.故選 B.232 .【解析】由題意知 an+1 = 2(an+1),，an+1=(a1+1) 2nT = 2n,，an=2n 1.【答案】 AS2 015= 1 007 x (1 +2)+ 1 =零+ 1 =3023.【答案】4【解析】設(shè) bn=nSn+(n+2)an,有 b1=4, b2 = 8,則 bn=4n,即 bn= nSn+(n+2)an= 4n, Sn+(1+$an =4.當(dāng) n2 時(shí),SnSn 1+(1 + 2)an(1+N)an 1=0, n' n-12-2 (n+1) n+1 a an an 1 所以nan = H防一1,即27二亡,所以af是以:為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以谷、n 1= ；, an = /i.故選A.【答案】5.【解析】由題