四川專用理步步高高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義配套Word版文檔45

1、§4.5兩角和與差的正弦、余弦、正切2019高考會(huì)這樣考1.利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行三角變換；2.利用三角變換討論三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)復(fù)習(xí)備考要這樣做1.牢記和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.靈活使用(正用、逆用、變形用)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行三角變換，三角變換中角的變換技巧是解題的關(guān)鍵1 兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C)cos()cos_cos_sin_sin_(C)sin()sin_cos_cos_sin_(S)sin()sin_cos_cos_sin_(S)tan()(T)tan()(T)2 二倍

2、角公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3 在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等如T±可變形為tan ±tan tan(±)(1tan_tan_)，tan tan 11.4 函數(shù)f()acos bsin (a，b為常數(shù))，可以化為f() sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一確定難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源三角變換中的“三變”(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”(2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有

3、“切化弦”、“升冪與降冪”等(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等1 已知sin()，sin()，則的值為_答案解析由sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，得sin cos ，cos sin ，所以.2 函數(shù)f(x)2sin x(sin xcos x)的單調(diào)增區(qū)間為_答案 (kZ)解析f(x)2sin2x2sin xcos x2×sin 2xsin 2xcos 2x1sin1，由2k2x2k，kZ，得kxk，

4、kZ.所以所求區(qū)間為 (kZ)3 (2019·江蘇)設(shè)為銳角，若cos，則sin的值為_答案解析為銳角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos××.4 (2019·江西)若，則tan 2等于()A B. C D.答案B解析由，等式左邊分子、分母同除cos 得，解得tan 3，則tan 2.5 (2019·遼寧)設(shè)sin()，則sin 2等于()A B C. D.答案A解析sin()(sin cos )，將上式兩邊平方，得(1sin 2)，sin 2.題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題例1(1)化簡(jiǎn)：·

5、;；(2)求值：2sin 50°sin 10°(1tan 10°)·.思維啟迪：切化弦；注意角之間的聯(lián)系及轉(zhuǎn)化解(1)····.(2)原式·sin 80°×cos 10°2sin 50°·cos 10°sin 10°·cos(60°10°)2sin(50°10°)2×.探究提高(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征(2)對(duì)于給角求值問(wèn)題，往

6、往所給角都是非特殊角，解決這類問(wèn)題的基本思路有化為特殊角的三角函數(shù)值；化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值 在ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tan tan tan tan 的值為_答案解析因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .題型二三角函數(shù)的給角求值與給值求角問(wèn)題例2(1)已知0<<<<，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值思維啟迪：(1)拆分角：，利用平方關(guān)系分別求各角的

7、正弦、余弦(2)2()；().解(1)0<<<<，<<，<<，cos，sin，cos coscoscossinsin××，cos()2cos212×1.(2)tan tan()>0，0<<，又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.探究提高(1)注意變角，可先求cos 或sin 的值(2)先由tan tan()，求tan 的值，再求tan 2的值，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可確定2的取值范圍(3)通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角

8、，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好(4)解這類問(wèn)題的一般步驟：求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；確定角的范圍；根據(jù)角的范圍寫出所求的角 已知cos ，cos()，且0<<<，求.解0<<<，0<<.又cos()，cos ，0<<<，sin ，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()××.0<<，.題型三三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3已知f(x

9、)sin2x2sin·sin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范圍思維啟迪：(1)化簡(jiǎn)f(x)，由tan 2代入求f()；(2)化成f(x)Asin(x)b的形式，求f(x)的取值范圍解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sin·cossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范圍是.探究提高(1

10、)將f(x)化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運(yùn)用“1”的代換技巧，將sin 2，cos 2化為正切tan ，為第(1)問(wèn)鋪平道路(2)把形如yasin xbcos x化為ysin(x)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性 已知函數(shù)f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)x的集合解(1)因?yàn)閒(x)sin1cos 22sincos12sin12sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，sin1，此時(shí)2x2k(kZ)，即xk (kZ)，所以所求x的集合為x|xk，kZ利用三角變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)典例：(

11、12分)(2019·北京)已知函數(shù)f(x)4cos x·sin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值審題視角(1)問(wèn)首先化為形如yAsin(x)的形式，由T求得；(2)問(wèn)由x求得x的范圍，從而求得最值規(guī)范解答解(1)因?yàn)閒(x)4cos xsin14cos x1sin 2x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin，4分所以f(x)的最小正周期為.6分(2)因?yàn)閤，所以2x.8分于是，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最大值2；10分當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最小值1.12分答題模板第一步：將f(x)化為asin xbcos x的形式第二

12、步：構(gòu)造f(x)(sin x· cos x·)第三步：和角公式逆用f(x)sin(x) (其中 為輔助角)第四步：利用f(x)sin(x)研究三角函數(shù)的性質(zhì)第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范溫馨提醒(1)在本題的解法中，運(yùn)用了二倍角的正、余弦公式，還引入了輔助角，技巧性較強(qiáng)值得強(qiáng)調(diào)的是輔助角公式asin bcos sin()(其中tan )，或asin bcos cos() (其中tan )，在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，幾乎年年使用到、考查到，應(yīng)特別加以關(guān)注(2)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是想不到引入輔助角或引入錯(cuò)誤方法與技巧1 巧用公式變形：和差角公式變形：tan x&

13、#177;tan ytan(x±y)·(1tan xtan y)；倍角公式變形：降冪公式cos2，sin2；配方變形：1±sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.2 利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期由yasin bcos sin()(其中tan )有|y|.3 重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適

14、當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃? 已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或二倍角后再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角，就可以從此入手，給這個(gè)等式兩邊求某一函數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化5 熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換本節(jié)要重視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會(huì)公式間的聯(lián)系，掌握常見的公式變形，倍角公式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形失誤與防范1運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通2在(0，)范圍內(nèi)，sin()所對(duì)應(yīng)的

15、角不是唯一的3在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值A(chǔ)組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2019·江西)若tan 4，則sin 2等于()A. B. C. D.答案D解析由tan 4，得sin cos ，則sin 22sin cos 2×.2 (2019·大綱全國(guó))已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2等于()A B C. D.答案A解析方法一sin cos ，(sin cos )2，2sin cos ，即sin 2.又為第二象限角且sin cos >0，2k<<2k(kZ)，4k&

16、lt;2<4k(kZ)，2為第三象限角，cos 2.方法二由sin cos ，兩邊平方得12sin cos ，2sin cos .為第二象限角，sin >0，cos <0，sin cos .由得cos 22cos21.3 已知，都是銳角，若sin ，sin ， 則等于 ()A. B.C.和 D和答案A解析由于，都為銳角，所以cos ，cos .所以cos()cos ·cos sin ·sin ，所以.4 (2019·福建)若，且sin2cos 2，則tan 的值等于()A. B. C. D.答案D解析，且sin2cos 2，sin2cos2sin

17、2，cos2，cos 或(舍去)，tan .二、填空題(每小題5分，共15分)5 cos275°cos215°cos 75°cos 15°的值為_答案解析由誘導(dǎo)公式及倍角公式，得cos275°cos215°cos 75°cos 15°sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°.6. _.答案4解析原式4.7 sin ，cos ，其中，則_.答案解析、，(0，)，cos ，sin ，cos()××0，.三、解答題(共2

18、2分)8 (10分)已知2tan ，試確定使等式成立的的取值集合解因?yàn)?，所?tan .所以sin 0或|cos |cos >0.故的取值集合為|k或2k<<2k或2k<<2k，kZ9 (12分)已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因?yàn)閟in cos ，兩邊同時(shí)平方，得sin .又<<，所以cos .(2)因?yàn)?lt;<，<<，所以<<，故<<.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin()××.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2019·山東)若，sin 2，則sin 等于 ()A. B. C. D.答案D解析，2.cos 2，sin .2 已知tan()，t