四川專用理步步高高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義Word版導(dǎo)學(xué)案學(xué)案21

1、學(xué)案21兩角和與差的正弦、余弦和正切公式導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會(huì)用向量數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應(yīng)用自主梳理1(1)兩角和與差的余弦cos()_，cos()_.(2)兩角和與差的正弦sin()_，sin()_.(3)兩角和與差的正切tan()_，tan()_.(，均不等于k，kZ)其變形為：tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )2輔助角公式asin bcos sin()，其中角稱為輔助角自我檢測(cè)

2、1(2019·福建)計(jì)算sin 43°cos 13°cos 43°sin 13°的結(jié)果等于 ()A.B.C.D.2已知cossin ，則sin的值是 ()AB.CD.3函數(shù)f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期是 ()A.BC2D44(2019·臺(tái)州月考)設(shè)0<2，若sin >cos ，則的取值范圍是 ()A.B.C.D.5(2019·廣州模擬)已知向量a(sin x，cos x)，向量b(1，)，則|ab|的最大值為()A1B.C3D9探究點(diǎn)一給角求值問(wèn)題(三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值)例1求值：(1)2sin

3、 50°sin 10°(1tan 10°)；(2)sin(75°)cos(45°)·cos(15°)變式遷移1求值：(1)；(2)tan()tan()tan()tan()探究點(diǎn)二給值求值問(wèn)題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值)例2已知0<<<<，cos，sin，求sin()的值變式遷移2(2019·廣州模擬)已知tan2，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值探究點(diǎn)三給值求角問(wèn)題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的值)例3已知0<<<<，tan ，cos

4、().(1)求sin 的值；(2)求的值變式遷移3(2019·岳陽(yáng)模擬)若sin A，sin B，且A、B均為鈍角，求AB的值轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若<<0<<，且sin ，求sin 的值【答題模板】解(1)|ab|，a22a·bb2.2分又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a2b21，a·bcos cos sin sin cos()，4分故cos().6分(2)<<0<<，0<<

5、;.cos()，sin().8分又sin ，<<0，cos .9分故sin sin()sin()cos cos()sin ××.12分【突破思維障礙】本題是三角函數(shù)問(wèn)題與向量的綜合題，唯一一個(gè)等式條件|ab|，必須從這個(gè)等式出發(fā)，利用向量知識(shí)化簡(jiǎn)再結(jié)合兩角差的余弦公式可求第(1)問(wèn)，在第(2)問(wèn)中需要把未知角向已知角轉(zhuǎn)化再利用角的范圍來(lái)求，即將變?yōu)?).【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】|ab|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯(cuò)點(diǎn)，把未知角轉(zhuǎn)化成已知角并利用角的范圍確定三角函數(shù)符號(hào)也是易錯(cuò)點(diǎn)1轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換，

6、冪的升降變換等等2變換則必須熟悉公式分清和掌握哪些公式會(huì)實(shí)現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個(gè)公式的相互聯(lián)系和適用條件3恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化4基本技巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)，化為同次冪，化為比例式，化為常數(shù) (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2019·佛山模擬)已知sinsin ，則cos等于 ()ABC.D.2已知cossin ，則sin的值是 ()AB.CD.3(2019·寧波月考)已知向量a，b(4,4cos )，若ab，則sin等于 ()ABC.D.4函數(shù)ysin xco

7、s x圖象的一條對(duì)稱軸方程是 ()AxBxCxDx5在ABC中，3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，則C的大小為 ()A.B.C.或D.或題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6(2019·重慶)如圖，圖中的實(shí)線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)P(點(diǎn)P不在C上)且半徑相等設(shè)第i段弧所對(duì)的圓心角為i (i1,2,3)，則cos cos sin ·sin _.7設(shè)sin ，tan()，則tan()_.8(2019·惠州月考)已知tan 、tan 是方程x23x40的兩根，且、，則tan()_，的值為_(kāi)三、

8、解答題(共38分)9(12分)(1)已知，且sin()，cos .求sin ；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值10(12分)(2019·四川)(1)證明兩角和的余弦公式C()：cos()cos cos sin sin ；由C()推導(dǎo)兩角和的正弦公式S()：sin()sin cos cos sin .（2）已知ABC的面積S=，·3，且cos B，求cos C.11(14分)(2019·濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)a·b，其中向量a(2cos x,1)，b(cos x，sin 2x)，xR.(1)若函數(shù)f(x)1，且x，求x；(2)求函數(shù)

9、yf(x)的單調(diào)增區(qū)間，并在給出的坐標(biāo)系中畫出yf(x)在區(qū)間0，上的圖象答案 自主梳理1(1)cos cos sin sin cos cos sin sin (2)sin cos cos sin sin cos cos sin (3)2.自我檢測(cè)1A2.C3.B4.C5.C課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引在三角函數(shù)求值的問(wèn)題中，要注意“三看”口訣，即(1)看角，把角盡量向特殊角或可計(jì)算的角轉(zhuǎn)化，合理拆角，化異為同；(2)看名稱，把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為弦，或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為切；(3)看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式如果滿足則直接使用，如果不滿足需轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換

10、一下名稱，就可以使用解(1)原式·sin 80°· sin 80°·cos 10°·cos 10°·cos 10°2sin 60°2×.(2)原式sin(45°)30°cos(45°)·cos(45°)30°sin(45°)cos(45°)cos(45°)cos(45°)sin(45°)0.變式遷移1解(1)原式.(2)原式tan()()1tan()·tan

11、()tan()tan().例2解題導(dǎo)引對(duì)于給值求值問(wèn)題，即由給出的某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?，若角所在象限沒(méi)有確定，則應(yīng)分類討論應(yīng)注意公式的靈活運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要學(xué)會(huì)拆角、拼角等技巧解cossin，0<<<<，<<，<<.cos，cos.sin()sinsincoscossin××.sin().變式遷移2解(1)由tan2，得2，即1tan 22tan ，tan .(2)tan().例3解題導(dǎo)引(1)通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下

12、原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好(2)解這類問(wèn)題的一般步驟：求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；確定角的范圍；根據(jù)角的范圍寫出所求的角解(1)tan ，sin sin2sin cos .(2)0<<，sin ，cos .又0<<<<，0<<.由cos()，得sin().sin sin()sin()cos cos()sin ××.由<<得.(或求cos ，得)變式遷移3解A、B均為鈍角且sin A，si

13、n B，cos A，cos B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B××.又<A<，<B<，<AB<2.由，知AB.課后練習(xí)區(qū)1D2.D3.B4.A5.A67.8.9解(1)，cos ，sin .(2分)又0<<，<<，<<，又sin()，cos() ，(4分)sin sin()sin()cos cos()sin ··.(6分)(2)tan tan()，(8分)tan(2)tan()1.(10分)，(0，)，tan <1，tan <0，0<<

14、，<<，<2<0，2.(12分)10(1)證明如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角、與，使角的始邊為Ox，交O于點(diǎn)P1，終邊交O于點(diǎn)P2；角的始邊為OP2，終邊交O于點(diǎn)P3；角的始邊為OP1，終邊交O于點(diǎn)P4.則P1(1,0)，P2(cos ，sin )，P3(cos()，sin()，P4(cos()，sin()，(2分)由|P1P3|P2P4|及兩點(diǎn)間的距離公式，得cos()12sin2()cos()cos 2sin()sin 2，展開(kāi)并整理得：22cos()22(cos cos sin sin )，cos()cos cos sin sin .(4分)解由易得，cossin ，sincos .sin()coscoscoscos()sinsin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .(7分)(2)解由題意，設(shè)ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c.則Sbcsin A，·bccos A3>0，A，cos A3sin A，(9分)又sin2Acos2A1，sin A，cos