2013年4月全國自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案詳解

1、2013年4月高等教育自學(xué)考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類）答案解析課程代碼：04183一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.甲，乙兩人向同一目標(biāo)射擊，A表示“甲命中目標(biāo)”，B表示“乙命中目標(biāo)”，C表示“命中目標(biāo)”，則C=（）A.AB.BC.ABD.AB【答案】D【解析】“命中目標(biāo)”=“甲命中目標(biāo)”或“乙命中目標(biāo)”或“甲、乙同時(shí)命中目標(biāo)”，所以可表示為“AB”，故選擇D.【提示】注意事件運(yùn)算的實(shí)際意義及性質(zhì)：（1）事件的和：稱事件“A，B至少有一個(gè)發(fā)生”為事件A與B的和事件，也稱為A 與B的并AB或A+B.性質(zhì)：,；若，則AB=B.（2）事件的積：稱事件“A，B同時(shí)發(fā)生”為事

2、件A與B的積事件，也稱為A與B的交，記做F=AB或F=AB.性質(zhì)：，； 若，則AB=A.（3）事件的差：稱事件“A發(fā)生而事件B不發(fā)生”為事件A與B的差事件，記做AB.性質(zhì)：；若，則；.（4）事件運(yùn)算的性質(zhì)（i）交換律：AB=BA, AB=BA；（ii）結(jié)合律：（AB）C=A（BC）, （AB）C=A（BC）；（iii）分配律： （AB）C=（AC）（BC）（AB）C=（AC）（BC）.（iv）摩根律（對(duì)偶律）,2.設(shè)A，B是隨機(jī)事件，P（AB）=0.2，則P（AB）=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】A【解析】，故選擇A.【提示】見1題【提示】（3）.3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函

3、數(shù)為F（X）則（）A.F（b0）F（a0） B.F（b0）F（a） C.F（b）F（a0） D.F（b）F（a） 【答案】D【解析】根據(jù)分布函數(shù)的定義及分布函數(shù)的性質(zhì)，選擇D.詳見【提示】.【提示】1.分布函數(shù)定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，稱函數(shù)，為的分布函數(shù).2.分布函數(shù)的性質(zhì)：0F（x）1；對(duì)任意x1，x2（x1< x2），都有；F（x）是單調(diào)非減函數(shù)；，；F（x）右連續(xù)；設(shè)x為f（x）的連續(xù)點(diǎn)，則f（x）存在，且F（x）=f（x）.3.已知X的分布函數(shù)F（x），可以求出下列三個(gè)常用事件的概率：；，其中a<b；.4.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為0 120100.10.20.40.

4、3 0則（）A.0B.0.1C.0.2D.0.3【答案】D【解析】因?yàn)槭录?，所以?= 0 + 0.1 + 0.2 = 0.3故選擇D【提示】1.本題考察二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律的求法；2.要清楚本題的三個(gè)事件的概率為什么相加：因?yàn)槿录腔ゲ幌嗳菔录?，而互不相容事件的概率為各事件概率之?5.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為，則（）A.0.25B.0.5C.0.75D.1【答案】A【解析】積分區(qū)域D：0X0.5，0Y1，所以故選擇A.【提示】1.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度f（x，y）性質(zhì)：f（x，y）0；若f（x，y）在 （x，y）處連續(xù)，則有，因而在f（x，y）的連續(xù)點(diǎn)（x，y

5、）處，可由分布函數(shù)F（x，y）求出概率密度f（x，y）；（X，Y）在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為.2.二重積分的計(jì)算：本題的二重積分的被積函數(shù)為常數(shù)，根據(jù)二重積分的幾何意義可用簡單方法計(jì)算：積分值=被積函數(shù)0.5×積分區(qū)域面積0.5.6.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X202P0.40.3 0.3則E（X）=（）A.0.8B.0.2C.0D.0.4【答案】B【解析】E（X）=（2）×0.4+0×0.3+2×0.30.2故選擇B.【提示】1.離散型一維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，1，2，.若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：E（c

6、）=c，c為常數(shù)；E（aX）=aE（x），a為常數(shù)；E（X+b）=E（X+b）=E（X）+b，b為常數(shù)；E（aX+b）=aE（X）+b，a，b為常數(shù).7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，則E（X）=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根據(jù)連續(xù)型一維隨機(jī)變量分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系得，所以，=，故選擇C.【提示】1.連續(xù)型一維隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì);；設(shè)x為的連續(xù)點(diǎn)，則存在，且.2.一維連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，如果廣義積分絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.8.設(shè)總體X服從區(qū)間,上的均勻分布（），x1，x2，xn為來自X的樣本，為樣本均值，則A.B.C.D.【答案

7、】C【解析】，而均勻分布的期望為，故選擇C.【提示】1.常用的六種分布（1）常用離散型隨機(jī)變量的分布（三種）：X01概率qpA.兩點(diǎn)分布分布列數(shù)學(xué)期望：E（X）=P方差：D（X）=pq.B.二項(xiàng)分布：XB（n，p）分布列：，k=0，1，2，n；數(shù)學(xué)期望： E（X）=nP方差： D（X）=npq.C.泊松分布：X分布列：，0，1，2，數(shù)學(xué)期望：方差：（2） 常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 （三種）：A.均勻分布：X密度函數(shù)：,分布函數(shù)：，數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）.指數(shù)分布：X密度函數(shù)：,分布函數(shù)：，數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）.正態(tài)分布（A）正態(tài)分布：X密度函數(shù)：，分布函數(shù)：數(shù)學(xué)期

8、望：, 方差：，標(biāo)準(zhǔn)化代換： 若X，則.（B） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：X密度函數(shù)：，分布函數(shù)：，數(shù)學(xué)期望：E（X）0, 方差：D（X）1.2.注意：“樣本”指“簡單隨機(jī)樣本”，具有性質(zhì)：“獨(dú)立”、“同分布”.9.設(shè)x1，x2，x3，x4為來自總體X的樣本，且，記，則的無偏估計(jì)是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】易知，故選擇A.【提示】點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：（1）相合性（一致性）：設(shè)為未知參數(shù)，是的一個(gè)估計(jì)量，是樣本容量，若對(duì)于任意，有，則稱為的相合（一致性）估計(jì).（2）無偏性：設(shè)是的一個(gè)估計(jì)，若對(duì)任意，有則稱為的無偏估計(jì)量；否則稱為有偏估計(jì).（3）有效性設(shè)，是未知參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量，若對(duì)任意有樣本方

9、差，則稱為比有效的估計(jì)量.若的一切無偏估計(jì)量中，的方差最小，則稱為的有效估計(jì)量.10.設(shè)總體，參數(shù)未知，已知.來自總體的一個(gè)樣本的容量為，其樣本均值為，樣本方差為，則的置信度為的置信區(qū)間是（）A.，B.，C.，D.【答案】A【解析】查表得答案.【提示】關(guān)于“課本p162，表7-1：正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)表”記憶的建議：表格共5行，前3行是“單正態(tài)總體”，后2行是“雙正態(tài)總體”；對(duì)均值的估計(jì)，分“方差已知”和“方差未知”兩種情況，對(duì)方差的估計(jì)“均值未知”；統(tǒng)計(jì)量順序：, t, x2, t, F.二、填空題 （本大題共15小題，每小題2分，共30分）11.設(shè)A，B是隨機(jī)事件，P （A）=0.4，P

10、 （B）=0.2，P （AB）=0.5，則P （AB）= _.【答案】0.1【解析】由加法公式P （AB）= P （A）+ P （B）P （AB），則P （AB）= P （A）+ P （B）P （AB）=0.1故填寫0.1.12.從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中不放回地取3次數(shù)，每次任取一個(gè)，則第三次取到0的概率為_.【答案】【解析】設(shè)第三次取到0的概率為，則故填寫.【提示】古典概型： （1） 特點(diǎn)：樣本空間是有限的；基本事件發(fā)生是等可能的；（2）計(jì)算公式.13.設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且，則_.【答案】0.8【解析】因?yàn)殡S機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，所以P （AB）=P （A）P （B） 再由條件

11、概率公式有=所以，故填寫0.8.【提示】二隨機(jī)事件的關(guān)系（1）包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記做；對(duì)任何事件C，都有，且；（2）相等關(guān)系：若且，則事件A與B相等，記做A=B，且P （A）=P （B）；（3）互不相容關(guān)系：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為，且P （AB）=0；（4）對(duì)立事件：稱事件“A不發(fā)生”為事件A的對(duì)立事件或逆事件，記做；滿足且.顯然：；，.（5）二事件的相互獨(dú)立性：若, 則稱事件A, B相互獨(dú)立；性質(zhì)1：四對(duì)事件A與B，與B，A與，與其一相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也相互獨(dú)立；性質(zhì)2：若A, B相互獨(dú)立，且P （A）0

12、, 則.14.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則_.【答案】【解析】參數(shù)為泊松分布的分布律為，0，1，2，3，因?yàn)?，所以?，1，2，3，所以=，故填寫.15.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，用Y表示對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則_.【答案】【解析】因?yàn)?，則，所以，故填寫.【提示】注意審題，準(zhǔn)確判定概率分布的類型.16.設(shè)二維隨機(jī)變量 （X，Y）服從圓域D： x2+ y21上的均勻分布，為其概率密度，則=_.【答案】【解析】因?yàn)槎S隨機(jī)變量 （X，Y）服從圓域D：上的均勻分布，則，所以故填寫.【提示】課本介紹了兩種重要的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：（1）均勻分布：設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，

13、其面積為S且S>0，如果二維隨機(jī)變量 （X，Y）的概率密度為，則稱 （X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，記為（X，Y）.（2）正態(tài)分布：若二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（，），其中，都是常數(shù)，且，則稱 （X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為 （X，Y）.17.設(shè)C為常數(shù)，則C的方差D （C）=_.【答案】0【解析】根據(jù)方差的性質(zhì)，常數(shù)的方差為0.【提示】1.方差的性質(zhì)D （c）=0，c為常數(shù)；D （aX）=a2D （X），a為常數(shù)；D （X+b）=D （X），b為常數(shù)；D （aX+b）= a2D （X），a，b為常數(shù).2.方差的計(jì)算公式：D （X）=E （X2）E2 （X）.18.設(shè)隨機(jī)變量

14、X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則E （e-2x）= _.【答案】【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從參數(shù)1的指數(shù)分布，則，則故填寫.【提示】連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：設(shè)X為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為，又隨機(jī)變量，則當(dāng)收斂時(shí)，有19.設(shè)隨機(jī)變量XB （100，0.5），則由切比雪夫不等式估計(jì)概率_.【答案】【解析】由已知得，所以.【提示】切比雪夫不等式：隨機(jī)變量具有有限期望和，則對(duì)任意給定的，總有或.故填寫.20.設(shè)總體XN （0，4），且x1，x2，x3為來自總體X的樣本，若，則常數(shù)C=_.【答案】1【解析】根據(jù)x2定義得C=1，故填寫1.【提示】1.應(yīng)用于“小樣本”的三種分布：x2分布：設(shè)隨機(jī)變量X

15、1，X2，Xn相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則服從自由度為n的x2分布，記為x2x2 （n）.F分布：設(shè)X，Y相互獨(dú)立，分別服從自由度為m和n的x2分布，則服從自由度為m與n的F分布，記為FF （m，n），其中稱m為分子自由度，n為分母自由度.t分布：設(shè)XN （0，1），Yx2 （n），且X，Y相互獨(dú)立，則服從自由度為n的t分布，記為tt （n）.2.對(duì)于“大樣本”，課本p134,定理6-1：設(shè)x1，x2，xn為來自總體X的樣本，為樣本均值，（1）若總體分布為，則的精確分布為；（2）若總體X的分布未知或非正態(tài)分布，但，則的漸近分布為.21.設(shè)x1，x2，xn為來自總體X的樣本，且，為樣本均值

16、，則_.【答案】【解析】課本P153，例7-14給出結(jié)論：，而，所以，故填寫.【說明】本題是根據(jù)例7-14改編.因?yàn)榈淖C明過程比較復(fù)雜，在2006年課本改版時(shí)將證明過程刪掉，即本次串講所用課本（也是學(xué)員朋友們使用的課本）中沒有這個(gè)結(jié)論的證明過程，只給出了結(jié)果.感興趣的學(xué)員可查閱舊版課本高等數(shù)學(xué) （二）第二分冊(cè)概率統(tǒng)計(jì)P164,例5.8.22.設(shè)總體x服從參數(shù)為的泊松分布，為未知參數(shù)，為樣本均值，則的矩估計(jì)_.【答案】【解析】由矩估計(jì)方法，根據(jù)：在參數(shù)為的泊松分布中，且的無偏估計(jì)為樣本均值，所以填寫.【提示】點(diǎn)估計(jì)的兩種方法（1）矩法 （數(shù)字特征法）估計(jì)：A.基本思想：用樣本矩作為總體矩的估計(jì)值

17、；用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計(jì)值.B.估計(jì)方法：同A.（2）極大似然估計(jì)法A.基本思想：把一次試驗(yàn)所出現(xiàn)的結(jié)果視為所有可能結(jié)果中概率最大的結(jié)果，用它來求出參數(shù)的最大值作為估計(jì)值.B.定義：設(shè)總體的概率函數(shù)為，其中為未知參數(shù)或未知參數(shù)向量，為可能取值的空間，x1，x2，xn是來自該總體的一個(gè)樣本，函數(shù)稱為樣本的似然函數(shù)；若某統(tǒng)計(jì)量滿足，則稱為的極大似然估計(jì).C.估計(jì)方法利用偏導(dǎo)數(shù)求極大值i）對(duì)似然函數(shù)求對(duì)數(shù)ii）對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得似然方程或方程組iii）解方程或方程組得即為的極大似然估計(jì).對(duì)于似然方程 （組）無解時(shí)，利用定義：見教材p150例710；（3）間接估計(jì)：理論根據(jù)：若是

18、的極大似然估計(jì)，則即為的極大似然估計(jì)；方法：用矩法或極大似然估計(jì)方法得到的估計(jì)，從而求出的估計(jì)值.23.設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，x1，x2，xn為來自該總體的樣本.在對(duì)進(jìn)行極大似然估計(jì)時(shí)，記，xn）為似然函數(shù)，則當(dāng)x1，x2，xn都大于0時(shí)，xn=_.【答案】【解析】已知總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以，從而，=，故填寫.24.設(shè)x1，x2，xn為來自總體的樣本，為樣本方差.檢驗(yàn)假設(shè)：，：，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則H0成立時(shí)，x2_.【答案】【解析】課本p176，8.3.1.25.在一元線性回歸模型中，其中，1，2，n，且，相互獨(dú)立.令，則_.【答案】【解析】由一元線性回歸模型中，其中，1，2，

19、且，相互獨(dú)立，得一元線性回歸方程，所以，則由20題【提示】（3）得，故填寫.【說明】課本p186，關(guān)于本題內(nèi)容的部分講述的不夠清楚，請(qǐng)朋友們注意.三、計(jì)算題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）26.甲、乙兩人從裝有6個(gè)白球4個(gè)黑球的盒子中取球，甲先從中任取一個(gè)球，不放回，而后乙再從盒中任取兩個(gè)球，求（1）甲取到黑球的概率；（2）乙取到的都是黑球的概率.【分析】本題考察“古典概型”的概率.【解析】（1）設(shè)甲取到黑球的概率為p，則.（2）設(shè)乙取到的都是黑球的概率為p，則.27.某種零件直徑X（單位：mm），未知.現(xiàn)用一種新工藝生產(chǎn)此種零件，隨機(jī)取出16個(gè)零件、測(cè)其直徑，算得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差

20、s=0.8，問用新工藝生產(chǎn)的零件平均直徑與以往有無顯著差異？（）（附：）【分析】本題考察假設(shè)檢驗(yàn)的操作過程，屬于“單正態(tài)總體，方差未知，對(duì)均值的檢驗(yàn)”類型.【解析】設(shè)欲檢驗(yàn)假設(shè)H0：，H1：，選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)顯著水平=0.05及n=16，查t分布表，得臨界值t0.025（15）=2.1315，從而得到拒絕域，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得統(tǒng)計(jì)量的觀察值因?yàn)?，拒絕，可以認(rèn)為用新工藝生產(chǎn)的零件平均直徑與以往有顯著差異.【提示】1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：（1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：根據(jù)理論或經(jīng)驗(yàn)對(duì)所要檢驗(yàn)的量作出原假設(shè)（零假設(shè)）H0和備擇假設(shè)H1，要求只有其一為真.如對(duì)總體均值檢驗(yàn)，原假設(shè)為H0：，備擇假設(shè)為下列三種情況之一：，其中i）為雙側(cè)檢驗(yàn)，ii），iii）為單側(cè)檢驗(yàn).（2）選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，滿足： 必須與假設(shè)檢驗(yàn)中待檢驗(yàn)的“量”有關(guān)； 在原假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量的分布或漸近分布已知.（3）求拒絕域：按問題的要求，根據(jù)給定顯著水平查表確定對(duì)應(yīng)于的臨界值，從而得到對(duì)原假設(shè)H0的拒絕域W.（4）求統(tǒng)計(jì)量的樣本值觀察值并決策：根據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，若該值落入拒絕域W內(nèi)，則拒絕H0，接受H1，否則，接受H0.2.關(guān)于課本p181，表8-4的記憶的建議：與區(qū)間估計(jì)對(duì)照分類記憶.四、綜合題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）28