線性代數(shù) 清華版 1.1

1、有關(guān)要求：有關(guān)要求：1、作業(yè)每周交一次，每周五交，由各班學(xué)習(xí)委員、作業(yè)每周交一次，每周五交，由各班學(xué)習(xí)委員 收齊后放到收齊后放到3樓東邊的教師休息室。樓東邊的教師休息室。 作業(yè)情況及到課情況均計(jì)入期末總評(píng)成績(jī)。作業(yè)情況及到課情況均計(jì)入期末總評(píng)成績(jī)。2、學(xué)習(xí)過程中碰到的問題，可在課間提問，或者、學(xué)習(xí)過程中碰到的問題，可在課間提問，或者 通過紙條、通過紙條、Email將問題給我將問題給我, 我會(huì)盡快回答。我會(huì)盡快回答。課程簡(jiǎn)介課程簡(jiǎn)介線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問題問題. 線性關(guān)系是指數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式線性關(guān)系是指數(shù)學(xué)對(duì)象之間

2、的關(guān)系是以一次形式來表達(dá)的來表達(dá)的. 最簡(jiǎn)單的線性問題就是解線性方程組最簡(jiǎn)單的線性問題就是解線性方程組.行列式和矩陣為處理線性問題提供了有力的工具，行列式和矩陣為處理線性問題提供了有力的工具，也推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展也推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展. 向量概念的引入，形成了向向量概念的引入，形成了向量空間的概念，而線性問題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加量空間的概念，而線性問題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論以討論. 因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚摚瑯?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容的矩陣?yán)碚摚瑯?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容.它的特點(diǎn)是研究的變量數(shù)量較多，關(guān)系復(fù)雜，方法上

3、它的特點(diǎn)是研究的變量數(shù)量較多，關(guān)系復(fù)雜，方法上既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁瑣和技巧性很強(qiáng)的數(shù)字計(jì)算，在學(xué)習(xí)中，需要特別加瑣和技巧性很強(qiáng)的數(shù)字計(jì)算，在學(xué)習(xí)中，需要特別加強(qiáng)這些方面的訓(xùn)練。強(qiáng)這些方面的訓(xùn)練。 第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩陣矩陣第三章第三章 線性方程組線性方程組第四章第四章 向量空間與線性變換向量空間與線性變換基礎(chǔ)基礎(chǔ)基本內(nèi)容基本內(nèi)容用向量的觀點(diǎn)討論用向量的觀點(diǎn)討論基本問題并介紹向基本問題并介紹向量空間的有關(guān)內(nèi)容量空間的有關(guān)內(nèi)容第五章第五章 特征值與特征向特征值與特征向量量第六章第六章 二次型二次型矩陣?yán)碚?/p>

4、矩陣?yán)碚撝行膬?nèi)容中心內(nèi)容參考及輔導(dǎo)書目：參考及輔導(dǎo)書目：1、線性代數(shù)學(xué)習(xí)指南線性代數(shù)學(xué)習(xí)指南 居余馬居余馬 林翠琴林翠琴 編著編著清華大學(xué)出版社清華大學(xué)出版社2、線性代數(shù)線性代數(shù) 第四版第四版 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編高等教育出版社高等教育出版社一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入用消元法解二元用消元法解二元( (一次一次) )線性方程組線性方程組: :1.1 n階行列式的定義與性質(zhì)階行列式的定義與性質(zhì) 22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2) a12:a12a21x1 + a

5、12a22x2 = b2a12,兩式相減消去兩式相減消去x2, 得得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 當(dāng)當(dāng)(a11a22 a12a21) 0時(shí)時(shí), , 方程組的解為方程組的解為:由方程組的四個(gè)系數(shù)確定由方程組的四個(gè)系數(shù)確定(3)類似地類似地, , 消去消去x1, 得得(a11a22 a12a21) x2 = b2a11 b1a21;若記若記abDad -bccd= =(4)則方程組的解則方程組的解（3）可以表示為可以表示為122122111221221b a-a

6、bx =a a-a a11121211212121112112212212122ababa b -b ax =.aaa a-a aaa,11222211122122babaaaaaabcdabD =cd稱稱主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算= ad bc為二階行列式為二階行列式對(duì)于二元線性方程組對(duì)于二元線性方程組D稱為線性方程組稱為線性方程組(1)的的系數(shù)行列式系數(shù)行列式. 22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD 若記若記(1)22211211aaaaD 22221211212111bxaxabxaxa2221211ababD

7、22211211aaaaD 22221211212111bxaxabxaxa2121112babaD ,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意: : 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式. .2221121122111122aaaababaDDx 則該二元線性方程組的解則該二元線性方程組的解(3)式式211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax (3)可表示為可表示為: :.1212232121 xxxx1223 D112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx

8、22 . 3721 解解: := 3 (4) = 7 0, 對(duì)三元線性方程組對(duì)三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa將方程組的第一、第二、第三個(gè)方程分別乘：將方程組的第一、第二、第三個(gè)方程分別乘：二、三階行列式二、三階行列式;a aa aa aa aa aa a223323321332123312231322然后相加得方程：然后相加得方程：()a a aa a aa a aa a aa a aa a ax 1122331223311321321123321221331322311()b a aa a ba b

9、ab a aa b aa a b 122331223313232123321223313223若系數(shù)若系數(shù))a a aa a aa a aa a aa a aa a a 1122331223311321321123321221331322310則有：則有：b a aa a ba b ab a aa b aa a bxa a aa a aa a aa a aa a aa a a 1223312233132321233212233132231112233122331132132112332122133132231類似可得：類似可得：b a aa a ba b ab a aa b aa a bxa

10、a aa a aa a aa a aa a aa a a 2113331231133213231112133133122112233122331132132112332122133132231b a aa a ba b ab a aa b aa a bxa a aa a aa a aa a aa a aa a a 322111231221 1322113212321312213112233122331132132112332122133132231為方便記憶我們引入：為方便記憶我們引入：好復(fù)雜哦！好復(fù)雜哦！,312213332112322311322113312312332211aaaaaaa

11、aaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa并稱它為并稱它為. .（橫為行，豎為列）（橫為行，豎為列）三階行列式三階行列式定義定義333231232221131211aaaaaaaaaD 列標(biāo)列標(biāo) 行標(biāo)行標(biāo)對(duì)于由對(duì)于由9(3 3)個(gè)個(gè)元素元素 排成排成3行行3列的式子列的式子( ,1,2,3)ija i j ijai為行標(biāo)為行標(biāo)，j為為列標(biāo)列標(biāo)323122211211aaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 312213aaa .332112322311312213aaaaaaaaa (1)沙路法沙路法三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)

12、算322113312312332211aaaaaaaaa D322311aaa 332112aaa 332211aaa 312312aaa 322113aaa 即即332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa 注意注意: : 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)紅線上三元素的乘積冠以正號(hào), , 藍(lán)線上三元藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)素的乘積冠以負(fù)號(hào).243122421-D 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式按對(duì)角線法則按對(duì)角線法則, , 有有D = 1 2 (2) + 2 1 (3

13、) + (4) (2) 4 (4) 2 (3) 2 (2) (2) 1 1 4= 4 6 + 32 24 8 4 = 14對(duì)于三元線性方程組對(duì)于三元線性方程組111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 如果其系數(shù)行列式如果其系數(shù)行列式1112132122233132330aaaDaaaaaa 那么可求得方程組的解為那么可求得方程組的解為312123, , DDDxxxDDD其中其中 是用常數(shù)項(xiàng)是用常數(shù)項(xiàng) 替換替換 D 中的中的()jDj1,2,31,2,3,123b b b第第 j 列所得到的三階行列式列所得到的三階

14、行列式 , , 即即1121312222333233baaDbaabaa1111322122331333abaDabaaba1112131222213323aabDaabaab 說明說明2. 二階行列式包括二階行列式包括2!項(xiàng)項(xiàng), 每一項(xiàng)都是位于每一項(xiàng)都是位于不同不同行行, 不同列不同列的兩個(gè)元素的乘積的兩個(gè)元素的乘積, 其中一項(xiàng)為正其中一項(xiàng)為正, 一項(xiàng)為一項(xiàng)為負(fù)負(fù). 三階行列式包括三階行列式包括3!項(xiàng)項(xiàng), , 每一項(xiàng)都是位于每一項(xiàng)都是位于不同行不同行, , 不不同列同列的三個(gè)元素的乘積的三個(gè)元素的乘積, , 其中三項(xiàng)為正其中三項(xiàng)為正, , 三項(xiàng)為負(fù)三項(xiàng)為負(fù). .說明說明1. 對(duì)角線法則（沙路

15、法）只適用于二階與三階對(duì)角線法則（沙路法）只適用于二階與三階行列式行列式 說明說明3. 對(duì)于對(duì)于n（n3）階行列式，不能用沙路法定階行列式，不能用沙路法定義義. . 094321112 xx方程左端為一個(gè)三階行列式方程左端為一個(gè)三階行列式, , 其值為其值為: :D = 3x2 + 4x + 18 12 2x2 9x = x2 5x + 6 由由D = x2 5x + 6 = 0 解得解得:x = 2 或或 x = 3. 對(duì)于一階行列式，我們規(guī)定對(duì)于一階行列式，我們規(guī)定aa這里這里是行列式符號(hào)，不是絕對(duì)值符號(hào)是行列式符號(hào)，不是絕對(duì)值符號(hào)問題：?jiǎn)栴}：如何定義一般的如何定義一般的 n 階行列式階行

16、列式？n 階行列式一般有三種定義方式，第一種是抽象定階行列式一般有三種定義方式，第一種是抽象定義方法，可以查閱同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)教材，第二種是公義方法，可以查閱同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)教材，第二種是公理化定義方法，第三種就是本教材所采用歸納定義法理化定義方法，第三種就是本教材所采用歸納定義法方法方法.首先對(duì)于三階行列式首先對(duì)于三階行列式，我們可以用二階行列式來表示它我們可以用二階行列式來表示它：,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 111213212223313233aaaDaaaaaa()1122332332aa aa a()1

17、221332331aa aa a()1321322231+aa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa,222321232122111213323331333132aaaaaaMMMaaaaaa這里這里分別稱為元素分別稱為元素111213a ,a ,a的余子式的余子式，并分別稱并分別稱1 11 21 3( 1),( 1),( 1)111112121313A=MA=MA=M為元素為元素111213a ,a ,a的代數(shù)余子式，于是的代數(shù)余子式，于是AA111112121313Da+ a A + a余子式余子式：ija的余子式的余子式就是在

18、就是在 D 中去掉中去掉所在的行所在的行ija與列后與列后，由剩下的元素按原來的次序排列成的低一階的由剩下的元素按原來的次序排列成的低一階的行列式行列式.代數(shù)余子式代數(shù)余子式：ija的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式就是在就是在的余子式前的余子式前ija加上符號(hào)加上符號(hào)( 1)ij例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,333231232221131

19、21144aaaaaaaaaM .144444444MMA 對(duì)于二階行列式對(duì)于二階行列式11122122aaDaa,112222122121MaaMaa1 11 2( 1),( 1)111122121221A =MaA=M=a同樣也有同樣也有A11111212Da+ a A從上面的分析可以看到如果分別把從上面的分析可以看到如果分別把A11111212Da+ a AAA111112121313Da+ a A + a看作二階行列式和三階行列式的定義，那么這種定義看作二階行列式和三階行列式的定義，那么這種定義方式是統(tǒng)一的，即：方式是統(tǒng)一的，即：用低階行列式定義高一階的行列式用低階行列式定義高一階的行

20、列式.下面我們就用這種方法給出行列式的歸納定義下面我們就用這種方法給出行列式的歸納定義.和和三、三、n 階行列式的定義階行列式的定義定義定義：由由 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 組成的組成的 n 階行列式階行列式 2n( ,1,2, )i jnija111212122212nnnnnnaaaaaaD =aaa是一個(gè)算式是一個(gè)算式.當(dāng)當(dāng)n1 時(shí)，定義時(shí)，定義 1111；D =|a|= a當(dāng)當(dāng) 時(shí)，定義時(shí)，定義2nAAA1111121211111nnnjjj=Da+a A +aa其中其中111( 1)+ jjjA=M(1,2, )na212121231313131111jjnjjnjnnjnjnnaaaaaaaaMj

21、aaa稱稱 為元素為元素 的余子式，的余子式， 為元素為元素 的代數(shù)余子式。的代數(shù)余子式。1 jM1 ja1 jA1 ja說明：說明： 1122nn(1)a ,a ,a所在的對(duì)角線稱為行列式的主對(duì)角所在的對(duì)角線稱為行列式的主對(duì)角線線1122nna,a,a稱為主對(duì)角元稱為主對(duì)角元項(xiàng)項(xiàng)，且?guī)д?hào)的項(xiàng)和帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半且?guī)д?hào)的項(xiàng)和帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半，每一項(xiàng)都是每一項(xiàng)都是不同行不同列的不同行不同列的 n 個(gè)元素的積個(gè)元素的積 。（2 2）n 階行列式由階行列式由 個(gè)元素構(gòu)成，其展開式中共有個(gè)元素構(gòu)成，其展開式中共有2n!n例例1 1、證明、證明 n 階階下三角行列式下三角行列式的值為的值為 n 個(gè)

22、主對(duì)角元的個(gè)主對(duì)角元的乘積，即乘積，即000112122112212nnnnnnnaaaD =a aaaaa 主對(duì)角線以上的元素全為主對(duì)角線以上的元素全為0 0，即當(dāng)，即當(dāng)i j 時(shí)時(shí)，0.ija 證明：對(duì)證明：對(duì) n 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.下三角行列式下三角行列式：(1) 當(dāng)當(dāng) n = 2 時(shí)時(shí)，112112221220，aDa aaa結(jié)論成立結(jié)論成立.(2) 假設(shè)結(jié)論對(duì)假設(shè)結(jié)論對(duì) n1 階下三角行列式成立，那么階下三角行列式成立，那么對(duì)于對(duì)于 n 階下三角行列式，由定義有階下三角行列式，由定義有：00011212212nnnnnaaaD =aaa1 1( 1) 11a000223233

23、23nnnnaaaaaa()112233nnaa aa故所證結(jié)論成立故所證結(jié)論成立. n 階階對(duì)角線行列式對(duì)角線行列式00000011221122nnnnaaa aaa 主對(duì)角線以外的元素全為主對(duì)角線以外的元素全為0 0，即當(dāng)，即當(dāng)對(duì)角線行列式：對(duì)角線行列式：0000001122nnaaa是下三角行列式的特例，故也有是下三角行列式的特例，故也有i j 時(shí)時(shí)，0.ija 例例2 2、計(jì)算、計(jì)算 n 階行列式（副對(duì)角線以上的元素全為階行列式（副對(duì)角線以上的元素全為0）.000000nn-121naaDaa其中其中，0 (1,2, )iain，表示元素為任意數(shù)表示元素為任意數(shù).12na aa 解：由

24、定義有解：由定義有00( 1)0 -121nnnnaDaaa1 1+ +( 1) nnna D+ +1 1- -1 111( 1) nnna D遞推關(guān)系（遞推公式）遞推關(guān)系（遞推公式）1212( 1)( 1) nnnnnaaD 122132( 1)( 1)( 1) nnnnaaa D21221310( 1)( 1)( 1)nnnnaaaaa (1) (2)2 1121( 1)nnnna aa a (1)2121( 1)n nnna aa a 記清結(jié)記清結(jié)論哦！論哦！由以上結(jié)論容易得到由以上結(jié)論容易得到：212Da a 3123Da a a 41234Da a a a512345Da a a a

25、 a四、四、n 階階行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)行列式行列式 DT 稱為行列式稱為行列式 D 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 記記 行列式的行與列互換，其值不變行列式的行與列互換，其值不變, , 即即 DT = D.性質(zhì)性質(zhì)1 1說明行列式對(duì)行成立的性質(zhì)都適用于列說明行列式對(duì)行成立的性質(zhì)都適用于列. . 下面僅對(duì)行討論下面僅對(duì)行討論. .性質(zhì)都是性質(zhì)都是很重要的！很重要的！由性質(zhì)由性質(zhì) 1 1 和前面關(guān)于下三角行列式的結(jié)果馬上可以得到和前面關(guān)于下三角行列式的結(jié)果馬上可以得到上三角行列式

26、上三角行列式( (主對(duì)角線以下的元素全為主對(duì)角線以下的元素全為0 0) )的值等于的值等于主主對(duì)角元的積對(duì)角元的積，即即000111212221122nnnnnnnaaaaaD =a aaa行列式按任一行展開，其值相等，即行列式按任一行展開，其值相等，即11221niiiiininijijj=Da Aa Aa Aa A(1,2, )in其中其中( 1)ij ijijAMijM是是 D 中去掉第中去掉第 i 行第行第 j列的全部元素后剩下的元素列的全部元素后剩下的元素按原來的順序排成的按原來的順序排成的 n1 階行列式階行列式，稱為稱為ija的余子式的余子式，ijAija稱為稱為的的代數(shù)余子式代

27、數(shù)余子式.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 即即 （1）行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有的元素都乘以同一數(shù)中所有的元素都乘以同一數(shù)k, 等于用數(shù)等于用數(shù) k 乘此行列式乘此行列式. （2） 若行列式的某一行若行列式的某一行( (列列) )的元素都是兩數(shù)之和的元素都是兩數(shù)之和, 那么該行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和那么該行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和. .例如：例如：11121112212niiiiininnnnnaaaabababaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa1112

28、11212niiinnnnnaaabbbaaa（1） 若行列式的某一行若行列式的某一行( (列列) )的元素都是的元素都是 n個(gè)數(shù)之和個(gè)數(shù)之和, ,那么該行列式可以寫成那么該行列式可以寫成 n 個(gè)行列式的和個(gè)行列式的和. 1112111122212niiiiiiinininnnnnaaaabcabcabcaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaabbbaaa111211212niiinnnnnaaacccaaa例如例如：（2） 若行列式的某若行列式的某 m 行行( (列列) )的元素都是的元素都是 兩兩例如例如：說明說明：個(gè)數(shù)之和個(gè)數(shù)

29、之和, ,那么該行列式可以寫成那么該行列式可以寫成 個(gè)行列式的和個(gè)行列式的和. 2ma+ xb+ yc+ zd + wabc+ zd + wxyc+ zd + wabcdabzwxycdxyzw由性質(zhì)由性質(zhì)3馬上得到馬上得到：某行元素全為零的行列式其值為零某行元素全為零的行列式其值為零. .行列式中兩行對(duì)應(yīng)元素全相等，其值為零行列式中兩行對(duì)應(yīng)元素全相等，其值為零.證明證明： 當(dāng)當(dāng)D為二階行列式時(shí)，結(jié)論顯然成立為二階行列式時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) D 為為 n1 階行列式時(shí)，結(jié)論成立。階行列式時(shí)，結(jié)論成立。設(shè)行列式設(shè)行列式 D 的第的第 i 行和第行和第 j 行元素對(duì)應(yīng)相等行元素對(duì)應(yīng)相等.

30、則當(dāng)則當(dāng)D為為 n 階行列式時(shí)，將階行列式時(shí)，將D 按第按第k 行展開得：行展開得：,()ki j .1122kkkkknknD = a AaAa A其中，其中， 為為 k1 階行列式，階行列式， (1,2, )jnkjA且有兩行元素對(duì)應(yīng)相等，且有兩行元素對(duì)應(yīng)相等，= 0, (1,2, )jnkjA故故 0D由歸納假設(shè)知由歸納假設(shè)知行列式中兩行對(duì)應(yīng)元素成比例，其值為零行列式中兩行對(duì)應(yīng)元素成比例，其值為零.由性質(zhì)由性質(zhì) 3 和性質(zhì)和性質(zhì) 4 馬上得到馬上得到：在行列式中，把某行各元素分別乘以數(shù)在行列式中，把某行各元素分別乘以數(shù)k，再加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變?cè)偌拥搅硪恍械膶?duì)應(yīng)元素上，

31、行列式的值不變。（對(duì)行列式做倍加行變換，其值不變），即對(duì)行列式做倍加行變換，其值不變），即1112112112212niiinjijijninnnnnaaaaaaa+ kaa+ kaa+ kaaaa11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa在行列式的計(jì)算中，性質(zhì)在行列式的計(jì)算中，性質(zhì)3、5以及下面的性質(zhì)以及下面的性質(zhì)6經(jīng)常經(jīng)常用到，為書寫方便，我們先引入幾個(gè)記號(hào)用到，為書寫方便，我們先引入幾個(gè)記號(hào)。 用用 表示第表示第 i 行行, 表示第表示第 i 列列. iric交換行列式的第交換行列式的第 i, j 兩行兩行( (列列),),記作記作 ()ijijrrcc把行

32、列式的第把行列式的第 j 行行( (列列) )的各元素乘以同一數(shù)的各元素乘以同一數(shù) k 然后加然后加到第到第 i 行行( (列列) )對(duì)應(yīng)的元素上去對(duì)應(yīng)的元素上去, , 記作記作行列式的第行列式的第 i 行行( (列列) )乘以數(shù)乘以數(shù)k, 記作記作 ()iirkck ()ijijr + rkcck注意注意：ijr + r和和jir + r含義不同含義不同. （反對(duì)稱性質(zhì)反對(duì)稱性質(zhì)）行列式的兩行對(duì)換，行列式的值反號(hào)行列式的兩行對(duì)換，行列式的值反號(hào).證明證明：11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaaijrr1112111221212nijijinjnjjjnnnn

33、naaaaaaaaaaaaaaajirr1112111221212nijijinjniiinnnnnaaaaaaaaaaaaaaaijrr11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaaijrr11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa 11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa 11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa即即 行列式某一行行列式某一行( (列列) )的元素與另一行的元素與另一行( (列列) )

34、的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng),11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAaD 證明證明: : 把行列式把行列式D = det(aij) 按第按第 j 行展開行展開, , 得得元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, , 即即10 ()1122nikjkijijinjnka Aa A +a A +a Aij,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 第第 j 行行第第 i 行行所以所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j 把把 ajk 換成換成 aik (k=1, 2, , n ), 當(dāng)當(dāng) i

35、 j 時(shí)時(shí), 可得可得關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì);01 jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .01 jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .01 jijiij當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 其中其中將性質(zhì)將性質(zhì) 2 2 和性質(zhì)和性質(zhì) 7 7 結(jié)合起來可以得到結(jié)合起來可以得到對(duì)列展開也有對(duì)列展開也有.2101044614753124025973313211 D例例1: 計(jì)算計(jì)算5階行列式階行列式解解:2101044614753124022010013211 Dr2 + 3r1r3 2r12101044614753140202010013211 210104435120140202010013211 2220035120140202010013211 r4 3r1r5 4r12220035120201001402013211 r2 r32220021100201001402013211 2220001000201001402013211 r4 + r2r4 + r36200001000201001402013211 r5 + 2r36000001000201001402013211 12 r5 + 2r4解解: 將第將第2, 3, , n 列都加到第一列得列都加到第一列得:例例2: