人教版初中數(shù)學第二十二章二次函數(shù)知識點

1、二次函數(shù)第二十二章22.1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)22.1.1 二次函數(shù)1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y ax2 bx c ( a, b, c是常數(shù)，a 0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù) .這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a 0,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).2 .二次函數(shù)y ax2 bx c的結(jié)構(gòu)特征：等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a,b,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.3 2.1.2二次函數(shù)y ax2的圖象和性質(zhì)1 .二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小 .a的符號開口方向頂點坐

2、標對稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0搟由x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨x的增大而減?。粁 0時，y有最小值0.a 0問卜0, 0搟由x 0時，y隨x的增大而減小；x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，yw最大值0.例1 .若拋物線y=ax2 經(jīng)過 P (1,-2),則它也經(jīng)過 ()A. (2, 1) B. (-1, 2) C. (1, 2) D. (-1, - 2)【答案】【解析】試題解析：,拋物線 y=ax2經(jīng)過點P (1, -2),，x=-1時的函數(shù)值也是-2,即它也經(jīng)過點(-1,-2).故選D.考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.例2.若點(2,-1)在拋物線y ax2上，那么，

3、當x=2時，y=【答案】-1試題分析：先把(2-1)直接彳弋入y2ax即可得到解析式，再把 x=2代入即可.由題意得4a2時，y-41.4考點:本題考查的是二次函數(shù)點評:解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上的點適合這個二次函數(shù)的關(guān)系式2. yax2 c的性質(zhì):a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上0, c搟由x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨x的增大而減?。粁 0時，y有最小值c .a 0問卜0, cy軸x 0時，y隨x的增大而減小；x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y有最大值c .上加下減.)例1.若拋物線y=ax2+c經(jīng)過點p (I, 2),則它也經(jīng)過(A. P1 (

4、1, - 2 )B. P2 ( I, 2 )C. P3 ( 1,2)D. P4 (2,1)試題分析：因為拋物線y=ax2+c經(jīng)過點P(1, 2),且對稱軸是y軸，所以點P(12)的對稱點是(1 , 2),所以P1 ( 1, 2)在拋物線上，故選:A.考點：拋物線的性質(zhì).例2.已知函數(shù) y=ax+b經(jīng)過(1, 3), (02) , 貝a b=()A. 一 1B. - 3C. 3D. 7試題分析：:函數(shù) y=ax+b經(jīng)過(1, 3)(0, 2), .a b=5+2=7.故選D.考點：1.直線上點的坐標與方程的關(guān)系;2.求代數(shù)式的值.例3.兩條直線y1=ax+ b22=bx丁a在同心坐標系中的鬻可吁

5、下坐的Z-'i【答案】D.【答案】無正確答案a, b的值，看看是否矛盾即可.【解析】分析：首先根據(jù)兩個一次函數(shù)的圖象，分別考慮解：A、由yi的圖象可知，a<0, b<0；由y2的圖象可知，a>0, b<0,兩結(jié)論矛盾，故錯誤；B、由yi的圖象可知，a>0, b>0;由y2的圖象可知，a> 0, b<0,兩結(jié)論相矛盾，故錯誤；C、由yi的圖象可知，a>0, b<0;由y2的圖象可知，av 0, b<0,兩結(jié)論相矛盾，故錯誤；D、由yi的圖象可知，a>0, b>0;由y2的圖象可知，a<0, b<0,

6、兩結(jié)論相矛盾，故錯誤.故無正確答案.點評：此題主要考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它的性質(zhì)才能靈活解題.一次函數(shù)y=kx+b的圖象有四種情況:當k> 0, b>0,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當k> 0, b<0,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當kv 0, b>0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當k< 0, b<0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限.22.1.3二次函數(shù)y a x h 2 k的圖象和性質(zhì)左加右減.a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上h, 0X=hx h時，y隨x的增大而增

7、大；x h時，y隨 x的增大而減??；x h時，y有最小值0.a 0問卜h, 0X=hx h時，y隨x的增大而減?。粁 h時，y隨x的增大而增大；x h時，y有最大值0.2，一y a x hk的性質(zhì):a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時，y隨x的增大而增大；x h時，y隨 x的增大而減??；x h時，y有最小值k .a 0問卜h, kX=hx h時，y隨x的增大而減?。粁 h時，y隨 x的增大而增大；x h時，y有最大值k .例1.將二次函數(shù)y=x2- 2x- 3化成y= (x-h) 2+k形式，則h+k結(jié)果為()A. - 5 B. 5C. 3 D, - 3試題分析：

8、y=x2-2x-3= (x2-2x+1) -1-3= (x-1) 2-4.貝 U h=1, k=-4, h+k=-3.故選D.考點：二次函數(shù)的三種形式.例2.把二次函數(shù) y=x2+6x+4配方成y=a （x-h） 2+k的形式，得y=,它的頂點坐標是【答案】(x+3) 2-5, (-3,-5)試題分析：y=x2+6x+4=（x+3）2-5,則頂點坐標為（3，5） 考點：二次函數(shù)的頂點式.1 O例3.把二次函數(shù)y-x22頂點坐標（3 ）,對稱軸方程2x= 3試題分析：y=x2 - 3x+44(x - 3) 2則頂點坐標（3,對稱軸方程x=3,3x 4配方成y=a （x k） 2+h的形式，并寫出

9、它的圖象的頂點坐標、對稱軸k ,確定其頂點坐標h , k ；k處，具體平移方法如下:考點：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì) 1、二次函數(shù)圖象的平移（1）平移步驟:方法一：（1）將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y a x h 2（2）保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h-2 y=ax2y= y=ax 2+ k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個單位""丐y=a（x-h）2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位向上（

10、k>0）【或下（k<0）】 平移四個單位向右（h>0）或左（h<0）】 平移|k|個單位y=a(x-h)2（2）平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上 'h值正右移，負左移；k值正上移，負下移概括成八個字左加右減，上加下減【解析】方法二：(1) yax2bxc沿y軸平移：向上(下)平移 m個單位，y ax2 bxc變成y ax2 bx c m (或 y ax2 bx c m)(2) yax2bxc沿軸平移：向左(右)平移m個單位，y ax2 bx c變成ya(x m)2 b(x m) c(或 y a(x m)2 b(x m) c)例1.將二次函數(shù)V= x2的圖象向下平移一個

11、單位，則平移以后的二次函數(shù)的解析式為A. y = x2 1C. y=(x1)2【答案】AB. y=x2+1D. y=(x+ 1)2【解析】直接根據(jù)上加下減的原則進行解答即可，將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個單位，則平移以后的二次函數(shù)的解析式為：y=x21.故選A.例2.將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移 2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達式是A. y=(x-1)2+2B, y=(x+1)2+2C. y=(x -1)2t2D, y=(x+1)2N【答案】A.【解析】試題分析：原拋物線的頂點為(0,0),向右平移1個單位，再向上平移2個單位，那么新拋物線的頂點為 (1,2) .可

12、 設新拋物線的解析式為 y= (x-h) 2+k,代入得y= (x-1) 2+2.故選A.考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換.例3.將二次函數(shù) y x2的圖象如何平移可得到 y x2 4x 3的圖象()A.向右平移2個單位，向上平移一個單位B.向右平移2個單位，向下平移一個單位C.向左平移2個單位，向下平移一個單位D.向左平移2個單位，向上平移一個單位【答案】C【解析】y x2 4x 3 (x 2)2二根據(jù)二次函數(shù)的平移性質(zhì)得：向左平移2個單位，向下平移一個單位.故選C.例4.已知點P ( - 1, m)在二次函數(shù)y=x2- 1的圖象上，則 m的值為；平移此二次函數(shù)的圖象，使點P與坐標原點重合，則平

13、移后的函數(shù)圖象所對應的解析式為【答案】0, y=x2- 2x.丁點P ( - 1, m)在二次函數(shù)y=x2 - 1的圖象上,( 1) 2 1=m,解得m=0, 平移方法為向右平移 1個單位,平移后的拋物線的二次函數(shù)的頂點坐標為(1, - 1),平移后的函數(shù)圖象所對應的解析式為y= (x-1) 2- 1=x2-2x,即 y=x2 - 2x.故答案為：0, y=x2 - 2x.2、二次函數(shù)y a x h 2 k與y ax2 bx c的比較從解析式上看,2ax bx c是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即2by a x 2a24ac b,其中h4ab , 4ac b2一 ，k 2a 4

14、a3、二次函數(shù)y ax2 bx c圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y ax2 bx c化為頂點式y(tǒng) a(x h)2 k,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點0, c、以及0, c關(guān)于對稱軸對稱的點 2h, c、與x軸的交點 4 , 0 , x2, 0 (若與x軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對 稱軸對稱的點).畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.4、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì)1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為2bb 4ac b一,頂點坐標為 一，2a2a 4a2.當

15、ab-時，y隨x的增大而減?。划?a-b時，y隨x的增大而增大；當x 2a2-、4ac by有取小值4a0時,拋物線開口向下，對稱軸為2bb 4ac b,頂點坐標為，2a2a 4a-b時，y隨x的增2a大而增大；當xb-時，y隨x的增大而減小;2a當x葛時，y有最大值組詈例1.當a < 0時,方程a*+bx+c=0無實數(shù)根，則二次函數(shù)y=aW+bx+c的圖像一定在(A、x軸上方B、x軸下方C y軸右側(cè)D、y軸左側(cè)試題分析：方程ax2+bx+c=0無實數(shù)根，b2+4ac<0,即函數(shù)圖形與x軸沒有交點又a < 0, ,.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像一定在x軸下方故選B.考點

16、：二次函數(shù)的性質(zhì)例2.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖，則 a、b、c滿足 (C、a<0, b>0, c>0【答案】AB、a<0, b<0, cv 0D、a>0, b<0, c> 0試題分析：由于開口向下可以判斷a< 0,由與y軸交于正半軸得到 c>0,又由于對稱軸 x=- < 0,可以得到b<2a0,所以可以找到結(jié)果.試題解析：根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì), .開口向下,a<0,;與y軸交于正半軸,c> 0,又對稱軸x=-<0,2ab<0,所以A正確.考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.例3.已

17、知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖，其對稱軸 x=- 1,給出下列結(jié)果:b2>4ac; abc> 0; 2a+b=0; a+b+c> 0; a- b+cv 0,A.B.CD.【答案】D【解析】 試題分析：根據(jù)拋物線與 x軸有兩個交點，可得 =b2- 4ac>0,即b2>4ac,故正確；根據(jù)拋物線稱軸為 x=- b- <0,與y軸交于負半軸，因此可知 ab>0, cv 0, abcv 0,故錯誤;2a根據(jù)拋物線稱軸為x=- -b-=- i? . 2a- b=0,故錯誤；2a當x=1時，y>0,即a+b+c>0,故正確；當x=1時，y&

18、lt;0,即a - b+c< 0,故正確；正確的是.故選D.考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系A. a<0, b>0,例4.如果二次函數(shù) y=ax2+bx+c （awQ的圖象如圖所示，那么（）c> 0B. a>0, b<0, c>0C. a>0, b>0, cv 0D. a>0, b<0, cv 0【答案】D試題分析：因為拋物線開口向上，所以 a>0,又對稱軸在y軸右側(cè)，所以 >0,所以b<0,又因為拋物線與y 2a軸的交點在x軸下方，所以cv 0,所以a>0, b<0, c<0,故選：D.考點：

19、拋物線的性質(zhì).例5.已知拋物線y=ax，bx+c與x軸的公共點是（-4, 0）, （2, 0）,則這條拋物線的對稱軸是直線 .【答案】x=-1.【解析】試題分析：因為點（-4,0）和（2,0）的縱坐標都為0,所以可判定是一對對稱點，把兩點的橫坐標代入公式 x=H22求解即可.(2, 0),試題解析：. 拋物線與 x軸的交點為（-4, 0）, ，兩交點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則此拋物線的對稱軸是直線 x= 4 21,即x=-1.2考點：拋物線與x軸的交點.5、二次函數(shù)解析式的表示方法21 . 一般式：y ax bx c （ a, b, c 為吊數(shù)，a 0）;22 .頂點式：y a（x h） k

20、（a, h, k為吊數(shù)，a 0）;3 .兩根式：y a（x xj（x x?） （a 0, x , x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2 4ac 0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以 互化.6、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1 .二次項系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項系數(shù)，顯然 a 0.當a 0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大；當a 0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值

21、越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，|a的大小決定開口的大小.2 . 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.在a 0的前提下，當b 0時，-L 0,即拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè);當b 0時， 0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當b 0時， 0,即拋物線對稱軸在 y軸的右側(cè). 2a 在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當b0時，旦0,即拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè);2a當b0時，旦0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當b0時，0,即拋物線對稱軸在 y軸的左側(cè).總結(jié)起來，在a確定的前提下,b決定了拋物線對稱軸的位置.ab的符

22、號的判定：對稱軸x2a在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)則ab 0,概括的說就是 左同右異”總結(jié):3 .常數(shù)項c 當c 0時，拋物線與y軸的交點在X軸上方，即拋物線與 y軸交點的縱坐標為正； 當c 0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為 0; 當c 0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與 y軸交點的縱坐標為負.總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的 特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇?/p>

23、題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3 .已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4 .已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式7、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1 .關(guān)于X軸對稱2 2y ax bx c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y ax bx c;2.一 一 .2y a x hk關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是 y a x h k;2.關(guān)于y軸對稱22-y ax bx c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y ax bx c；2 .一

24、 一 .2y a x hk關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y a x h k；3 .關(guān)于原點對稱y ax2 bx c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y ax2 bx c ;2 一 .2y a x hk關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y a x h k ；b24.關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180。）2 axbx2y ax bx c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y2y a x hk關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y5.關(guān)于點m, n對稱_2_h 2m 2n k2.一 一 .y a x h k關(guān)于點 m, n對稱后，得到的解析式是根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，

25、因此a永遠不變.求拋物線的 對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線(或表達式 已知的拋物線)的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的 表達式.22.2二次函數(shù)與一元二次方程1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與 x軸交點情況)：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函數(shù)y ax2 bx c當函數(shù)值y 0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù)：當 b2 4ac 0時，圖象與x軸交于兩點A xi, 0 , B旭，0 (% ”),其中的不，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的兩根.這兩點間

26、的距離 AB 區(qū) 為 "-4ac . a當 0時，圖象與x軸只有一個交點；當 0時，圖象與x軸沒有交點.1'當a 0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有 y 0;2'當a 0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有 y 0 .2 .拋物線y ax2 bx c的圖象與y軸一定相交，交點坐標為 (0 , c);3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2 bx c中a, b, c的符號，或由二次函數(shù)中

27、a, b, c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函數(shù)；下面以a 0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與x軸有兩個交點二次二項式的值可止、可零、可負一兀二次方程有兩個/、相等實根0拋物線與x軸只有一個交點二次三項式的值為非負一兀二次方程有兩個相等的實數(shù)根0拋物線與x軸無交占 八、二次三項式的值恒為正一兀二次方程無實數(shù)根.A (0. 8，

28、 %) , B (1. 1, y2),例1.已知函數(shù)y 3x2 6x k （k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點C ( V2 , y3),則有()A.yi< y2 V y3B-yi > y2 > y3C. y3 > yi > y2D. yi > y3 > y2試題分析：因為函數(shù)3x2 6x k的對稱軸是2a661 ,且拋物線開口向上，所以可以畫出函數(shù)圖象的草圖,觀察圖象可得：W、2,故選：C.考點：二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特點.例2.已知二次函數(shù) y=x2 + 2mx + 2,當x>2時，y的值隨x的增大而增大，則實數(shù) m的取值范圍是 【答案】-

29、2.【解析】試題分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對稱軸不大于2列式計算即可得解.試題解析：拋物線白對稱軸為直線x=-2m =-m ,2 1當x>2時，y的值隨x值的增大而增大，1- -m<2解得mf> -2.考點：二次函數(shù)的性質(zhì).例3.函數(shù)y x2 bx c的圖象經(jīng)過點（1, 2）,則b-c的值為.【答案】1【解析】試題分析：把點（1, 2）代入y x2 bx c,得：1 b c 2,所以b c 1.考點：函數(shù)圖象上的點.例4.已知拋物線 y=ax2+bx+3的對稱軸是直線 x=1.（1）求證：2a+b=0;（2）若關(guān)于x的方程ax2+bx- 8=0的一個根為4,求方程的另一個根.【答案】（1）見解析；（2） x=- 2【解析】試題分析：直接利用對稱軸