球的體積和表面積(附答案)

1、球的體積和表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計算問題.知識點一球的體積公式與表面積公式1.球的體積公式VR3(其中R為球的半徑).2.球的表面積公式S4R2.思考球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？答球沒有底面，球的表面不能展開成平面.知識點二球體的截面的特點1.球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都是圓.2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.題型一球的表面積和體積例1(1)已知球的表面積為64，求它的體積；(2)已知球的體積為，求它的

2、表面積.解(1)設(shè)球的半徑為R，則4R264，解得R4，所以球的體積VR3·43.(2)設(shè)球的半徑為R，則R3，解得R5，所以球的表面積S4R24×52100.跟蹤訓(xùn)練1一個球的表面積是16，則它的體積是()A.64 B. C.32 D.答案D解析設(shè)球的半徑為R，則由題意可知4R216，故R2.所以球的半徑為2，體積VR3.題型二球的截面問題例2平面截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A. B.4 C.4 D.6答案B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O，M為截面圓上任一點，則OO，OM1.OM.即球的半徑為.V()34.跟蹤訓(xùn)練2已知長方體共頂點

3、的三個側(cè)面面積分別為，則它的外接球表面積為_.答案9解析如圖，是過長方體的一條體對角線AB的截面，設(shè)長方體有公共頂點的三條棱的長分別為x，y，z，則由已知，得解得所以球的半徑RAB，所以S球4R29.題型三球的組合體與三視圖例3某個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積.解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長為2的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體的表面積為S×4×126×22×1224.該幾何體的體積為V23××138.跟蹤訓(xùn)練3有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點

4、，求這三個球的表面積之比.解設(shè)正方體的棱長為a.正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是正方體六個面的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面，如圖(1)所示，則有2r1a，即r1，所以S14ra2.球與正方體的的各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(2)所示，則2r2a，即r2a，所以S24r2a2.正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(3)所示，則有2r3a，即r3a，所以S34r3a2.綜上可得S1S2S3123.軸截面的應(yīng)用例4有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)部放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面沒過鐵球和球正好相切，然后將

5、球取出，求這時容器中水的深度.分析分別表示出取出鐵球前后水的體積由水的體積不變建立等式求出所求量.解如圖，O是球的最大截面，它內(nèi)切于ABC，球的半徑為r.設(shè)將球取出后，水平面在MN處，MN與CD交于點E.則DOr，ADr，ABACBC2r，CD3r.由圖形知V圓錐CEV圓錐CDCE3CD3.又V圓錐CD(r)2·3r3r3，V圓錐CEV圓錐CDV球O3r3r3r3，3r3CE3(3r)3，CEr.球從容器中取出后，水的深度為r.1.直徑為6的球的表面積和體積分別是()A.36，144 B.36，36C.144，36 D.144，1442.若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于(

6、)A. B.1 C.2 D.33.兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是_.4.若球的半徑由R增加為2R，則這個球的體積變?yōu)樵瓉淼腳倍，表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍.5.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_.一、選擇題1.設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A. B. C.4 D.322.一個正方體的八個頂點都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為()A.8 B.8 C.8 D.43.兩個球的半徑之比為13，那么兩個球的表面積之比為()A.19 B.127 C.13 D.114.設(shè)正方體的表面積為24 cm2，一個球內(nèi)切于該正方體，那么這個球的體積是()A. cm3 B

7、. cm3 C. cm3 D. cm35.若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A.4(rR)2 B.4r2R2C.4Rr D.(Rr)26.已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為()A. B.4 C.2 D.7.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3二、填空題8.一個幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則該幾何體的體積為_ m3.9.已知一個正方體的

8、所有頂點在一個球面上.若球的體積為，則正方體的棱長為_.10.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積是_.11.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是_cm.三、解答題12.如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.(其中BAC30°)13.一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972的球，在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球，求：(1)圓錐的側(cè)面積；(2)圓錐的內(nèi)切球的體積.當(dāng)堂檢測答案1.答案B解析球的半

9、徑為3，表面積S4·3236，體積V·3336.2.答案D解析設(shè)球的半徑為R，則4R2R3，所以R3.3.答案解析設(shè)大球的半徑為R，則有R32××13，R32，R.4.答案84解析球的半徑為R時，球的體積為V1R3，表面積為S14R2，半徑增加為2R后，球的體積為V2(2R)3R3，表面積為S24(2R)216R2.所以8，4，即體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍.5.答案3解析由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的和，即×43.課時精練一、選擇題1.答案C解析由題意可知，6a224，a2.設(shè)正方體

10、外接球的半徑為R，則a2R，R，V球R34.2.答案A解析球的半徑為1，且正方體內(nèi)接于球，球的直徑即為正方體的對角線，即正方體的對角線長為2.不妨設(shè)正方體的棱長為a，則有3a24，即a2.正方體的表面積為6a26×8.3.答案A解析由表面積公式知，兩球的表面積之比為RR19.4.答案D解析由正方體的表面積為24 cm2，得正方體的棱長為2 cm，故這個球的直徑為2cm，故這個球的體積為 cm3.5.答案C解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面積為S球4r4Rr.方法二如圖，設(shè)球心為

11、O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在RtAOB中，OF是斜邊AB上的高.由相似三角形的性質(zhì)得OF2BF·AFRr，即rRr，故r1，故球的表面積為S球4Rr.6.答案D解析正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，正四棱柱的體對角線的長為2.又正四棱柱的頂點在同一球面上，正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，球的半徑R1.故球的體積為VR3.7.答案A解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.如圖，作出球的一個截面，則MC862(cm)，BMAB×84(cm).設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球×53(cm3).二、填空題8.答案918解析

12、將三視圖還原為實物圖后求解.由三視圖知，幾何體下面是兩個球，球半徑為；上面是長方體，其長、寬、高分別為6、3、1，所以V××21×3×6918.9.答案解析先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對角線等于球的直徑求棱長.設(shè)正方體棱長為a，球半徑為R，則R3，R，a3，a.10.答案解析由已知條件可知，球心在正四棱錐的高所在的直線上.設(shè)球的半徑為R，球心為O，正四棱錐底面中心為E，則OE|4R|，所以(4R)2()2R2，解得R.所以球的表面積S4R2.11.答案4解析設(shè)球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為r2×6r6r3，高度為8 cm的水的體積為8r2,3個球的體積和為3×r34r3，由題意得6r38r24r3，解得r4(cm).三、解答題12.解如圖所示，過C作CO1AB于O1.在半圓中可得BCA90°，BAC30°，AB2R，ACR，BCR，CO1R，S球4R2，×R×RR2，×R×RR2，S幾何體表S球 R2R2R2.故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為R2.13.解(1)如圖作軸截面，則等腰三角形CAB內(nèi)接于O，O1內(nèi)切于ABC.設(shè)O的半徑為R，由題意，得R3972，所以R3729，R9，所以CE18.已知CD16，所以ED2.連接AE，因