高數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分教程

1、 一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式2()0(sin)cos(tan)sec(sec)secanCxxxxxxtx 12()(cos )sin(cot )csc(csc )cscxxxxxxxxcotx 第一節(jié) 求導(dǎo)法則( ),( ),( )dyf xf xfxydx已知函數(shù)y=求的導(dǎo)數(shù) 記為或 、2211111x)x(arctanx)x(arcsinalnx)x(logalna)a(axx2211111x)xcotarc(x)x(arccosx)x(lne)e(xx二、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理1.1.的和的和、 差、差、 積積、

2、商 (除分母為為 0 0的點(diǎn)外的點(diǎn)外) ) 都在點(diǎn)都在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo), , 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv )x( v )x(u)(2)x(v )x(u)x( v )x(u( )( ) uu xvv xx函數(shù)及都在 點(diǎn) 具有導(dǎo)數(shù)x)x( v)x(u及及例：例：cos4lnsin,7yxxxy設(shè)求() cos(cos )4(ln )0 xxxxxcos4sin2xxxxx: (cos )(4ln )(sin)7yxxx解三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合

3、函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),x(x)fy,(x)uf(u)y,x(x)u 定理定理即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變量等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)求導(dǎo), , 乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )x()u(f)x(f(dxdududydxdy 或或 yx2y，求，求函數(shù)函數(shù)sin復(fù)復(fù)合合而而成成與與函函數(shù)數(shù)可可看看作作由由函函數(shù)數(shù)xuusiny2ududycos2dxdux22u2dxdududydxdycoscos例例的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)22xay復(fù)復(fù)合合而而成成與與數(shù)數(shù)解解：此此

4、函函數(shù)數(shù)可可看看作作由由函函22xayuyu21dudyx2dxdu22xaxu21x2dxdy例例2 2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形例如例如, ,)x(v, )v(u, )u( fyxydd)()()(xvufyuvxuyddvdudxvdd關(guān)鍵關(guān)鍵: : 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo). .理論推廣例3設(shè),)cos(lnxey 求求.ddxy解解: :復(fù)復(fù)合合而而成成與與、函函數(shù)數(shù)可可以以看看作作由由函函數(shù)數(shù)xevvu uy coslnu1dudyvdvdusinxedxdvxxxxeee1evu1dxdy)(sincos)sin(練

5、習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3122 sin3lntan24xxxyeyxxyyxe、24221sin63731853xxxyxyeyxxyxxx5、第二節(jié)第二節(jié) 定積分定積分一、定積分的定義baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān) , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(性質(zhì)性質(zhì)1 常數(shù)因子可提到積分號(hào)外常數(shù)因子可提到積分號(hào)外性質(zhì)性質(zhì)2 函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。( )( )bba

6、akfx dxkfx dx ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx二、定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)二、定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)3 若在區(qū)間若在區(qū)間 a , b 上上 f (x)k，則，則性質(zhì)性質(zhì)4 定積分的區(qū)間可加性定積分的區(qū)間可加性 若若 c 是是 a , b 內(nèi)的任一點(diǎn)，則內(nèi)的任一點(diǎn)，則( )()bbbaaaf x dxkdxkdxk ba( )( )( )bcbaacfx dxfx dxfx dx( )1bbbaaaf x dxdxdxbaabcabc當(dāng)當(dāng) a , b , c 的相對(duì)位置任意時(shí)的相對(duì)位置任意時(shí), 例如例如,cba則有caxxfd)(baxxfd

7、)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(, ,)(baCxf則積分上限函數(shù)xattfxd)()(定理定理1. 若.,)(上的一個(gè)原函數(shù)在是baxf三、 牛頓 萊布尼茲公式定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的. 同時(shí)為通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路 .( )( )xf x上的一個(gè)原在是連續(xù)函數(shù)設(shè),)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛頓牛頓 - 萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )()(d)(d)(aFbFxxfttfbaba記作記作)(xFab)(xFab定理定理2.函數(shù) , 則例1、 計(jì)算計(jì)算.1d312 xx解解

8、:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127)4( 例例 2、設(shè) 求,1,211, 1)(2xxxxxf20( ).f x dx解解211020)()()(dxxfdxxfdxxf2121021) 1(dxxdxx386) 1(21213102xx20( )f x dx計(jì)算例例3其中2,01( )1, 12xxf xxx20( )f x dx解解:12201(1)xdxxdx2 1320111|()|23xxx236四、 定積分的換元法和 分部積分法定理定理 （定積分的換元公式）（定積分的換元公式） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上連續(xù)；函數(shù)

9、上連續(xù)；函數(shù) 在在 上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ，且，且 則則)(tx, t,)(bat ba)(,)( ) ( )( )baf x dxftt dt例1. 計(jì)算計(jì)算).0(d022axxaa解解: 令,sintax 則,dcosdttax ;0,0tx時(shí)當(dāng).,2tax時(shí) 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且例2. 計(jì)算計(jì)算.d12240 xxx解解: 令, 12 xt則,dd,212ttxtx,0時(shí)當(dāng)x,4時(shí)x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331

10、(213tt 13322; 1t且 例3., ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時(shí))()(xfxf時(shí))()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令定理定理 （定積分的分部積分公式）（定積分的分部積分公式） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u (x) , v (x) 在在 a , b 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則( ) ( )( ) ( )( ) ( )bbbaaau x v x

11、 dxu x v xv x u x dx例4. 計(jì)算計(jì)算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231第三節(jié) 廣義積分（反常積分）引例引例. 曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積21xy A1可記作12dxxA其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1定義1. 設(shè)設(shè), ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 則稱此極限為 f (x) 在區(qū)間 的廣義積分, 記作xxfxxfbabad)(limd)(類

12、似地 , 若, ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(),a第三節(jié) 廣義積分（反常積分）, ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) ),)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號(hào); )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF例1. 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xxxxarctanlimarctanlim例2. 計(jì)算廣義積

13、分計(jì)算廣義積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p第五節(jié)第五節(jié) 二重積分二重積分( , )dDf x y( , )dDf x yxdy其中其中D是積分區(qū)域是積分區(qū)域定理定理 設(shè)設(shè)),(yxf在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域,dcbaD 上可積，且對(duì)每個(gè)上可積，且對(duì)每個(gè),dcy 積分積分 baxyxfd),(存在，則累次積分存在，則累次積分 badcxyxfyd),(d也存在，且也存在，且 badcDxyxfyyxfd),(dd),( 特別當(dāng)特別當(dāng)),(yxf在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域,dcbaD 連續(xù)時(shí)，有連續(xù)時(shí)，有 badcdcbaDxyxfyyyxfxyxfd

14、),(dd),(dd),( 例例 1 計(jì)算計(jì)算 Dyx d)(2其中其中0 , 1 1 , 0 D解解 012102d)(dd)(yyxxyxD 1033100-13d)3)1(3(d3)(xxxxyx61 ),()(| ),(21bxaxyyxyyxD 區(qū)域區(qū)域 定理定理 設(shè)設(shè)),(yxf在在 X- 區(qū)域區(qū)域 D 上連續(xù)，上連續(xù)，y1( x ) ,y2( x ) 在在 a, b 連續(xù)，則連續(xù)，則 Dyxyxfdd),(yyxfxyxyd),()()(21 baxd稱為稱為 X 型區(qū)域型區(qū)域 )(1xyy )(2xyy xboyDa區(qū)域區(qū)域 ),()(| ),(21dycyxxyxyxD xy

15、xfyxyxd),()()(21 dcyd Dyxyxfdd),(則則稱為稱為Y 型區(qū)域型區(qū)域. 若若 D 為為Y 型區(qū)域型區(qū)域. )(1yxx )(2yxx xdoyDc 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干可將它分成若干oxy1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD則則 xy211xy o221d y例2、計(jì)算 ,dDyxI其中其中D 是直線是直線 y1, x2, 及及yx 所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域.解法解法1. 將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域, 則則I21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域

16、, 則則Ixyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2例3、 計(jì)算,d Dyx 其中其中D 是拋物線是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解xyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy 22 xy214oyx2y2y2 xy及直線及直線這是這是 Y- 區(qū)域，區(qū)域，畫出積分區(qū)域的圖形畫出積分區(qū)域的圖形先對(duì)先對(duì) x 后對(duì)后對(duì) y 積分積分,解法解法2 yyx d 21dddDDDyxyxyx 10dxxy 22 xy214oyxD 也是也是 X- 型區(qū)域，型區(qū)域，1D2D1x x

17、yyx d 41dx2 xx 10d0 x 4122d2xxyxx845 顯然解法顯然解法1比解法比解法2好好 ！例4、計(jì)算 ,ddsinDyxxx其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.OxyD xxy 解解: 畫積分區(qū)域圖形，畫積分區(qū)域圖形，因?yàn)橐驗(yàn)?Dyxxxddsin 0dsinxx 0cos x 2 xyxxx00dsind x則則若先對(duì)若先對(duì) x 積分，積分， yDxxxyyxxxdsindddsin0 xxsin的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此改用另一種順序的累次積分，于是有改用另一種順序的累次積分，于是有 xyxxx00ddsin )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf內(nèi)容小結(jié)