構建軸對稱模型求線段和的最小值

1、構建軸對稱模型求線段和的最小值+近幾年來，最小值問題成為中考命題的熱點，其中有些問題的解決常用構建軸對稱模型的方法。學習目標：知識目標：掌握軸對稱圖形的做法和三角形三邊的關系，根據(jù)問題建構數(shù)學模型，解決實際問題。能力目標：通過觀察、分析、對比等方法，提高學生分析問題，解決問題的能力，進一步強化分類歸納綜合的思想，提高綜合能力。情感目標：通過自己的參與和教師的指導，享受學習數(shù)學的快樂，提高應用數(shù)學的能力。引例：例：如圖(1)，草原上兩居民點A，B在筆直河流l的同旁，一汽車從A處出發(fā)到B處，途中需要到河邊加水，問選在何處加水可使行駛的路程最短？并在途中畫出這一點。分析：將這一問題轉化為數(shù)學問題，即

2、已知直線l及l(fā)同側的點A和點B，在l上確定一點C,使AC+BC最小。首先我們思考若點A和B點分別在直線l的兩側，則點C的位置應如何確定，根據(jù)兩點之間線段最短，點C應是與AB直線l的交點，如圖（2），這就是說，設線段AB交l于點C，點C/是直線上異于點C的任意一點，總有AC+BCAC/+BC/。因此，解決上述問題的關鍵是將點A（或點B）移至l的另一側（設點A移動后的點為A/），且使A、A/到直線l上任意點的距離相等，利用軸對稱可達到這一目的。解：如圖（3），作點A關于直線l的對稱點A/，連接A/B交l于點C，則點C的位置就是汽車加水的位置，即汽車選在點C處可使行駛的路程最短。l（1）ABABCC

3、/（2）l（3）ABA/C總結：作點A關于直線l的對稱點A，連結AB交直線l于點C，那么點C就是所求作的點。軸對稱在本題中的主要作用是將線段在保證長度不變的情況下改變位置，要注意體會軸對稱在這方面的應用。以此作為模型我們可以解決下列求最小值的問題。例1. 如圖4，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是_。圖4分析：首先分解此圖形，構建如圖5模型，因為E、B在直線AC的同側，要在AC上找一點P，使PE+PB最小，關鍵是找出點B或E關于AC的對稱點。如圖6，由菱形的對稱性可知點B和D關于AC對稱，連結DE，此時DE即為

4、PE+PB的最小值， 圖5 圖6由BAD=60°，AB=AD，AE=BE知，故PE+PB的最小值為。跟蹤練習1： 如圖7，已知點A是半圓上一個三等分點，點B是弧AN的中點，點P是半徑ON上的動點，若O的半徑長為1，則AP+BP的最小值為_。圖7跟蹤練習2. 如圖8，正三角形ABC的邊長為2，M是BC邊上的中點，P是AC邊上的一個動點，求PB+PM的最小值. 圖8例2. 如圖9，拋物線與x軸交于、兩點。（1）求該拋物線的解析式。（2）設（1）中的拋物線交y軸于點C，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得的周長最??？如果存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。圖9重點分析第（2）問，

5、要使QAC的周長最小即AC+CQ+QA最小，由于AC長度一定，故只要CQ+QA最小時，周長最小。設拋物線的對稱軸為直線MN，則可分解出圖形，構建模型，要在直線MN上找點Q，使CQ+QA最小。由拋物線的對稱性可知，點A、點B關于直線MN對稱，連結BC交MN于點Q，只要找出點Q的位置，其坐標不難求得。跟蹤練習3:點A的坐標為（0，2）點，點B是半徑為的B的圓心，點B的坐標為（4，2），請你探索在x軸上是否存在一個點C以及在B上是否存在一個點D，使得AC+CD最小，若存在，請你在圖中作出點C和點D，并求出點C、D的坐標和AC+CD的最小值；若不存在請說明理由。跟蹤練習4：如圖10，拋物線交x軸于A、

6、B兩點，交y軸于點，頂點為D（1）求A、B、C的坐標（2）把ABC繞AB的中點M旋轉，得到四邊形AEBC：求E點坐標試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由（3）試探索：在直線BC上是否存在一點P，使得PAD的周長最小，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由學生總結：分層作業(yè)：A組：1、如圖11，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=AD=1，B=60°，直線MN為梯形ABCD的對稱軸，P為MN上一點，那么PC+PD的最小值為_。圖112、如圖12， 在銳角ABC中， AB=，BAC=45°,BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD，AB上的動點，則BM+MN的最小值是_. 圖12B組：1、如圖，在直角坐標系中，A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點的拋物線的對稱軸為直線l，D為直線l上的一個動點，(1)求拋物線的解析式；(2)求當AD+CD最小時點D的坐標；(3)以點A為圓心，以AD為半徑作圓A；證明：當AD+CD最小時，直線BD與圓A相切；寫出直線BD與圓A相切時，點D的另一個坐標。2、已知ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內，AB與y軸的正半軸相交于點E，點B（-1，0），P是AC上的一個動點（P與點A、C不重合） （1