最短路徑問題教學設計VIP

1、最短路徑問題教學設計一、課標分析2011版數學課程標準指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！彪S著現(xiàn)代信息技術的飛速發(fā)展，極大地推進了應用數學與數學應用的發(fā)展，使得數學幾乎滲透到每一個科學領域及人們生活的方方面面。為了適應科學技術發(fā)展的需要和培養(yǎng)高質量、高層次科技人才，數學建模已經在大學教育中逐步開展，國內外越來越多的大學正在進行數學建模課程的教學和參加開放性的數學建模競賽，將數學建模教學和競賽作為高等院校的教學改革和培養(yǎng)高層次的科技人才的個重要方面，數學建模難度大、涉及面廣，數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。新課標強調從生產、生活

2、等實際問題出發(fā)，引導學生運用數學知識，去解決實際問題，培養(yǎng)應用意識與能力。因此，數學建模是初中數學的重要任務之一，它是培養(yǎng)學生應用數學的意識和能力的有效途徑和強有力的教學手段。但從教學的反饋信息看，初中學生的數學建模能力普遍很弱，這與課堂教學中忽視對學生數學建模能力的培養(yǎng)不無關系。要想提高學生的建模能力，我們就要在課堂教學中引導學生從生活經驗和已有的知識出發(fā)，從社會熱點問題出發(fā)，讓學生直接接觸數學建模，培養(yǎng)學生抽象能力以及運用數學知識能力?，F(xiàn)實生活中問題是很復雜的，有些問題表面看來毫無相同之處，但抽象為數學模型，本質都是相同的，這些問題都可以用類似的方法解決。本節(jié)課的教學中注重模型歸類，多題一

3、模，訓練學生歸納能力，培養(yǎng)學生數學建模能力。二、教材分析本節(jié)課是在學習了基本事實：“兩點之間線段最短”和軸對稱的性質、勾股定理的基礎上，引導學生探究如何綜合運用知識解決最短路徑問題。它既是軸對稱、勾股定理知識運用的延續(xù)，又能培養(yǎng)學生自主探究，學會思考，在知識與能力轉化上起到橋梁作用對于本節(jié)課的內容，青島版教材沒有獨立編排，只是隨著學生數學學習的不斷推進，逐步添加了部分題目來逐步滲透，這也使大部分學生忽視了這一知識點。設計整合了一些以三角形、四邊形、圓、函數、立體圖形為背景的最短路徑問題，讓學生直面數學模型，體會數學的本質，有利于學生系統(tǒng)的學習知識。學習目標：1.能夠利用基本事實“兩點之間線段最

4、短”和“軸對稱的性質”，從復雜的圖形中抽象出“最短路徑”問題的基本數學模型，體會軸對稱的“橋梁”作用。2.能將立體圖形中的“最短路徑問題”轉化為平面圖形來解決，感悟轉化思想.3、通過訓練，提高綜合運用知識的能力。教學重點：通過利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“連點之間，線段最短”問題，學會從知識內容中提煉出數學模型和數學數學方法。教學難點：從復雜的圖形中抽象出“最短路徑”問題的基本數學模型。突破難點的方法：對應模型,找出本質問題。突出重點的方法：通過設置問題、引導思考、探究討論、例題講解方式突出重點。 突破難點的方法：勾股定理、線段公理和軸對稱性質的靈活運用和提升是個難點，加上指導學生學會思考還

5、在培養(yǎng)之中，僅靠學生是不能完成的，所以在教學中要充分運用多媒體教學手段，通過啟發(fā)引導，小組討論，例題講解，變式提升、歸納總結來幫助學生理解知識的應用和方法的提升，層層深入，逐一突破難點。三、學情分析對于九年級的學生來說，已學過一些關于空間與圖形的簡單推理知識，具備了一定的合情推理能力，能應用勾股定理、線段公理、軸對稱的性質等知識解決簡單的問題，但演繹推理的意識和能力還有待加強，思維缺乏靈活性最短路徑問題，學生在八年級已經有所接觸。對于直線異側的兩點，怎樣在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，學生很容易想到連接這兩點，所連線段與直線的交點就是所求的點.但對于直線同側的兩點，如何在直線

6、上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，受已有經驗和知識基礎的影響，部分學生在八年級學習時很茫然，找不到解決問題的思路。進入中考復習階段，隨著一些以三角形、四邊形、圓、函數、立體圖形為背景的最短路徑問題的出現(xiàn)，更是讓學生感到陌生，無從下手。從平時教學反映出學生不重視學習方法，不注意歸納總結，不會思考，更不善于思考，學生學得累。所以想通過本節(jié)課引導學生學會學習，學會思考，從而使其感受到學習的快樂，提高學習的興趣，避免死做題，以達到提高學習能力的目的四、教學設計（一）創(chuàng)設情景 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從

7、圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能用所學的知識解決這個問題嗎？BAl【學生活動】學生思考教師展示問題，并觀察圖片，獲得感性認識.【設計意圖】從生活中問題出發(fā)，喚起學生的學習興趣及探索欲望.（二）知識回顧 1.如圖所示：從A地到B地有三條路可供選擇，選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？2.你能說出軸對稱的性質嗎？3.勾股定理?！緦W生活動】在教師的引導下回顧舊知識。【設計意圖】為本節(jié)課的學習掃清知識障礙。（三）模型建構1.如圖，要在燃氣管道

8、L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？【設計意圖】通過一個很簡單的實際問題，讓學生認識到數學來源于生活，服務與生活，曾慶學生的應用意識。2.你能解決“將軍飲馬問題”嗎？活動1：觀察思考，抽象為數學問題將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直 線 B。Al活動2：你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數學問題嗎？ 【學生活動】學生嘗試回答， 并互相補充，最后達成共識：（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地點，再

9、回到B 地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點設P 為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：如圖，點A，B 在直線l 的同側，點P是直線上的一個動點，當點P在l 的什么位置時，PA+PB最??？ B。Al強調：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”【設計意圖】讓學生經歷觀察、敘述、畫圖等過程，培養(yǎng)學生把生活問題抽象為數學問題的能力?；顒?：嘗試解決數學問題你能利用軸對稱的知識解決這個問題嗎？【學生活動】學生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相補充。教師適當提示。作法：（1）作點B 關于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點P。則點P 即為所

10、求 如圖所示：lCAB【學生活動】在教師的引導下，積極思考，同伴交流，嘗試解決實際問題?！驹O計意圖】學以致用，利用軸對稱知識解決問題，及時進行學法指導，引導學生進行方法規(guī)律的提煉總結。3.模型分析已知直線l 和A、B兩點，點P是直線上的一個動點，當點P 在l 的什么位置時，PA+PB最??？ （1）A、B兩點在直線異側時：l·AB·（2）A、B兩點在直線同側時：B·lA·【設計意圖】引導學生梳理總結從實際問題中抽象出來的數學模型，形成認知結構，增強從復雜問題中找出基本圖形的能力。（四）模型應用典型例題（一）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=-2x+4的

11、圖象與x、y軸分別交于點A、B兩點，OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，當PCD的周長最小時，求P點坐標 【設計意圖】（1）幫助學生靈活的從復雜的圖形中抽出基本模型（2）引導學生找出模型中已知直線L和A、B兩點，提高學生分析題目的能力，提升思維的層次。題組（一）1.如圖1,在邊長為1的等邊三角形ABC中,點D是AC的中點,AEBC，點P是AE上任一點,則PC+PD的最小值為 。2.如圖2，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動點，DNMN的最小值為 。ABC· DE 圖1 圖2典型例題（二）如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在

12、杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為_cm 【學生活動】（1）將立體圖形轉化為平面圖形。（2）在教師的引導下從問題的情境中逐步得出問題的本質：點A，C 在直線L 的同側，點P是直線上的一個動點，當點P在l 的什么位置時，PA+PB最小？ （3）綜合運用數學模型和勾股定理解決問題。【設計意圖】引導學生將立體圖形轉化為平面圖形，利用“最短路徑”數學模型來解決問題。訓練學生的思維，提高分析問題的能力，培養(yǎng)模型思想。題組（二）1.如圖，在棱長為1的立方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從立方體的側面爬行去吃右上角B處的食物

13、，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？2.如圖,圓錐的底面半徑為1,母線長為4,一只螞蟻要從底面圓周上一點B出發(fā),沿圓錐側面爬行一周再回到點B,問它爬行的最短路線是多少? BAABC（五）反思小結本節(jié)課我學會了【設計意圖】引導學生從知識、方法、數學思想方面進行歸納總結： 1、解決上述問題運用了什么知識？（知識）2、在解決問題的過程中運用了什么方法？（方法）3、運用上述方法的目的是什么？體現(xiàn)了什么樣的數學思想？（數學思想）（六）拓展提升如圖，在長為5、寬為3、高為4的長方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從長方體的外表面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？543AB【設計意圖

14、】思維變式訓練，提升學生的思維層次，讓學生學會思考，學會提問。五、效果分析本節(jié)課的活動設計與評測練習有利于教學目標的實現(xiàn)，很好的突出了重點，突破了難點。具體標志如下：1.學生能夠把“將軍飲馬”的問題轉化為數學中的“點、線”問題，并利用軸對稱的性質將其轉化為“兩點之間線段最短”的問題。2.能夠抽象出“最短路徑問題”數學模型，在探索最算路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想.3、能從一些以三角形、四邊形、圓、函數、立體圖形為背景的復雜題目中抽象出“最短路徑”問題的基本數學模型。六、觀評記錄（一）生活情境創(chuàng)設本節(jié)可通過創(chuàng)設“將軍飲馬”這樣一個具有思考性的故事情境，激發(fā)了學生的學習興趣，

15、迅速把學生引入本節(jié)課的教學問題之中，為接下來的進一步學習奠定基礎，真正體現(xiàn)課標理念中數學活動的深入有效開展。（二）任務層次結構本設計將教學任務設計成若干個教學活動。除了考慮活動本身的設計之外，還充分考慮子活動之間坡度、連貫、銜接等特點，過渡自然、思路清晰，能夠提供思考和發(fā)現(xiàn)的時間和空間。這種層次結構幫助學生保持思維的高度集中，避免學生因活動脫節(jié)造成思路混亂；有利于呈現(xiàn)出高認知水平的教學任務，避免低水平的模仿和重復訓練；能夠根據教師構建的“腳手架”一步步完成整個“教學工程”的任務，避免形成局部效果之和遠小于整體教學要求。教師上課思路清晰，目的明確；教學活動各部分時間安排合理；教學活動各部分聯(lián)系比

16、較緊密；學生能從整體上分析問題、解決問題。（三）數學思想方法滲透新課標中明確提到數學思想方法的顯性要求。我們在平時的教學過程中經常側重于解題訓練，而忽略新內容學習中數學思想方法的訓練，這靠多做題是無法實現(xiàn)的，學生往往學得又累又不得法。本節(jié)課數學思想方法的挖掘與呈現(xiàn)主要體現(xiàn)為：能夠將新舊知識進行有效聯(lián)系；學生能將一個復雜的問題轉化為若干個簡單的問題；教師在教學過程中經常滲透思想方法；在教師的引導下，自己基本能夠獨立完成新內容的學習；能夠運用學過的方法找到解決新問題的思路。（四）數學交流的機會本節(jié)課的交流方式主要體現(xiàn)為：在課堂學習過程中有表達自己想法的機會；老師在課堂教學過程中注意照顧到不同層次的

17、學生；在與同學交流的過程中能夠獲得啟發(fā)；針對老師和同學提供的多種解題方法，能夠選擇適合自己的方法；教師能夠進行詳細深入的點評；學生主動參與學習活動，相互合作、共同探究學習問題，樂于交流分享成績；注意力集中，學習積極主動，與老師配合默契；有數學表達的愿望；給學生交流提供充足的時間。（五）數學應用的深度課堂中的數學應用主要表現(xiàn)為：能夠從生活中提煉出數學問題并加以解決；了解數學知識的來龍去脈，尋找其中與數學有關的因素；能從數學現(xiàn)實中主動獲取知識；學生在教師的引導下發(fā)揮了學習數學的潛力；在教學中能夠照顧到各個層次的學生；學生有思考問題和表現(xiàn)想法的機會。七、課后反思本節(jié)課我用數學故事“將軍飲馬”引入課題，引導學生 “兩點之間線段最短”和軸對稱的性質逐步從生活問題中抽象概括出“最短路徑問題”數學模型。讓學生經歷將實際問題抽象為數學問題的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小的問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。在建構模型的過程中，我注重學生學習學習方法的而培養(yǎng)和數學思想方法的滲透；在抽象出數學模型的基礎上，進一步引導學生分析模型，增強了學生的模型思想；接下來通過兩個典型