有價證券數(shù)學(xué)建模競賽C題答

1、西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院第一屆數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從C/D中選擇一項填寫）： C 我們的參賽報名號為（如果

2、賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院（龍首校區(qū)） 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 張玉輦 （組長） 2. 張斌 3. 崔超 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2011 年 6 月 17 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院第一屆數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注學(xué)院統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：學(xué)院評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：有價證券投資決策優(yōu)化模型摘要針對有價證券投資的決策問題，我們在充分理

3、解題意的基礎(chǔ)上，提出合理的假設(shè)并采用了連續(xù)線性規(guī)劃模型對本題進行了討論和求解，解決了以下問題。 對于問題一，該問題的目標(biāo)是有價證券回收的利息為最高，要做的決策是投資計劃，即應(yīng)購買的各種證券的數(shù)量的分配。綜合考慮：特定證券購買、資金限制、平均信用等級、平均年限等條件，按照題目所求，依據(jù)決策變量、決策目標(biāo)和約束條件指定0-1變量建立0-1規(guī)劃模型，并用LINGO軟件求得應(yīng)向市政1(X1=218.18萬元）、政府1（X3=736.36萬元）、市政2(X5=45.45萬元)投資,才能獲得最大收益(Z=29.84萬元)。對于問題二，在引入借貸資金的情形下我們進一步假設(shè)約束條件，建立了連續(xù)性優(yōu)化模型，并與

4、問題一進行比較得出借貸資金利息比收益金額還要高，所以對于問題二用借貸資金投資是不劃算的。對于問題三的稅前收益發(fā)生的變動，我們又建立了線性規(guī)劃模型，解得在第一種情形下投資對象不變；在第二種情形下應(yīng)向市政1(X1=336萬元)、政府2（X4=648萬元）、市政2(X5=16萬元)投資，所得的收益為（Z=29.42萬元）。關(guān)鍵字： 證券投資 0-1規(guī)劃 決策目標(biāo) 連續(xù)線性規(guī)劃 加權(quán)算術(shù)平均值一 、問題重述某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進行有價證券的投資，可供購進的證券以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：一.政府及

5、代辦機構(gòu)的證券總共至少需購進400萬元;二.所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；三.所購證券的平均到期年限不超過5年；表1 證券信息證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益（%）A市政（1）294.3B代辦機構(gòu)2155.4C政府（1）145.0D政府（2）134.4E市政（2）524.51. 若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？2. 如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？3. 在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5%，投資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？二、模型假設(shè)1、假設(shè)證劵

6、稅收政策、信用等級、到期年限、到期稅前收益在投資年限內(nèi)穩(wěn)定不變；2、假設(shè)該經(jīng)理投資不會受到年限過長而導(dǎo)致資金周轉(zhuǎn)困難的影響；3、假設(shè)各證劵的風(fēng)險損失率為零，無相互影響，且投資不需要任何交易費；4、假設(shè)所借貸資金的利率不變（利息等于所給的利率乘上借貸資金再乘上借貸時間）。三、符號說明符號說明單位Xi投資證劵的金額（i=1,2,3,4,5）（萬元）YJ是否投資證券（j=1,2,3,4,5）（萬元）Z投資之后所獲得的總收益（萬元）F借貸金額（萬元）T借貸時間（年）S貸款利息（萬元）R利潤變化量（萬元）表2四、問題分析根據(jù)現(xiàn)有的投資方式，為解決投資方案問題，運用0-1規(guī)劃和連續(xù)性規(guī)劃模型，根據(jù)客觀條件

7、，來確定各種投資方案。利用線性規(guī)劃模型，得到最優(yōu)投資方案來解決已提出的問題，使該經(jīng)理的投資獲得最大的收益。問題1：在前面假設(shè)成立的條件下，由題目給出的限制條件（市政證券的收益可以免稅；其他證券的收益按50%的稅率納稅，即政府及代辦機構(gòu)的證券總共至少需購進400萬元，所購證券的平均信用等級不超過1.4,所購證券的平均到期年限不超過5年）假設(shè)Xi (i=1,2,3,4,5)分別為證券A、證券B、證券C、證券D、證券E的投入資金,所獲得的純利潤為Z，假設(shè)稅前收益為年收益。對于平均信用等級和平均到期年限則需用加權(quán)算術(shù)平均值的算法求得，即用各個信用等級乘以相應(yīng)的權(quán)值，然后相加，所得之和再除以所有的權(quán)之和

8、。然后建立0-1規(guī)劃模型，利用LINGO軟件求解。問題2：該題又引入了借貸資金，我們假設(shè)借貸資金為F萬元,借貸時間為T=1。由問題2知借貸利率為2.75%，則借貸利息為0.0275F，因此需要用總利潤減去借貸利息所得到的值才為該經(jīng)理的純利潤。再與借貸利息相比，可以得出投入100萬元所得的收益。問題3：需要分兩種情形，第一種情形，在假設(shè)成立的條件下，同問題1一樣，只是把A證券的稅前收益增加為4.5%，同樣可以得到線性優(yōu)化模型。第二種情形，在假設(shè)成立的條件下，同問題1一樣，只是把C證券的稅前收益減少為4.8%，同樣可以得到線性優(yōu)化模型。五、模型的建立與求解模型建立：對于問題1：在前面假設(shè)成立的條件

9、下，由題目給出的限制條件（市政證券的收益可以免稅；其他證券的收益按50%的稅率納稅，即政府及代辦機構(gòu)的證券總共至少需購進400萬元，所購證券的平均信用等級不超過1.4,所購證券的平均到期年限不超過5年）假設(shè)Xi (i=1,2,3,4,5)分別為證券A、證券B、證券C、證券D、證券E的投入資金,所獲得的總利潤為Z，假設(shè)稅前收益為年收益。對于平均信用等級和平均到期年限則需用加權(quán)算術(shù)平均值的算法求得，即用各個信用等級乘以相應(yīng)的權(quán)值，然后相加，所得之和再除以所有的權(quán)之和。我們建立了如下0-1規(guī)劃模型：即 MaxZ=0.043X1*Y1+(0.0540.5)X2*Y2+(0.050.5)X3*Y3+(0

10、.0440.5)X4*Y4+0.045X5*Y5 X1+X2+X3+X4+X5<=1000S.tX2+X3+X4>=400(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5Xi >=0,i=1,2,3,4,5Yj=0或1，j=1,2,3,4,5 (指定0-1變量)模型整理得：Max Z=0.043X1*Y1+0.027X2*Y2+0.025X3*Y3+0.022X4*Y4+0.045X5*Y5X1+X2+X3+X4+X5<=1000S.t X

11、2+X3+X4>=4006X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0Xi >=0,i=1,2,3,4,5Yj=0或1，j=1,2,3,4,5 (指定0-1變量)模型求解：（LINGO程序見附錄）應(yīng)用LINGO求解可得銀行經(jīng)理的最大收益為Z=29.84萬元，五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法如下表：表3五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法證券類型ABCDEZ投資金額 （萬元）218.180736.34045.4529.84數(shù)值Y1Y2Y3Y4Y5投資對象10101由運算結(jié)果可以看出對于B證券和D證券不需要投資。對于B證券它的到期年限相對較

12、長而且還需納50%的稅率，相對于其他證券類型這顯然是不理想的；對于D證券它的稅前收益相對較低也是不理想的；而A證券和C證券信用等級、到期年限都是較低的稅前收益也可以（A證券還可以免稅）；E證券信用等級較低，但到期年限較短可以適量投資。所以我們認為這一優(yōu)化模型是合理的。模型建立：對于問題2：該題又引入了借貸資金，我們假設(shè)借貸資金為F萬元,借貸時間為T=1。由問題2知借貸利率為2.75%，則借貸利息為0.0275F，這樣需要用總利潤減去借貸利息所得值才為該經(jīng)理的純利潤。我們建立了以下線性優(yōu)化模型：即：Max Z=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.050.5)X3+(0.0440.5)

13、X4+0.045X5-0.0275F*T X1+X2+X3+X4+X5<=1000+FX2+X3+X4>=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0F<=100T=0 模型整理得： MaxZ=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.050.5)X3+(0.044*T X1+X2+X3+X4+X5<=1000+FX2+X3+X4

14、>=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0F<=100T=1模型求解：（LINGO程序見附錄）應(yīng)用LINGO求解可得銀行經(jīng)理的最大收益為Z=30.07萬元，五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法和借貸資金如下表： 證券類型ABCDEF投資金額 （萬元）240.000810.00050.00100.00表4五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法和借貸資金有結(jié)果可以看出，同問題一的運算結(jié)果一樣對于B證券和D證券不需要投資。對于B證券它的到期

15、年限相對較長而且還需納50%的稅率，相對于其他證券類型這顯然是不理想的；對于D證券它的稅前收益相對較低也是不理想的；在增加資金投入的情況下A證券和C證券、E證券相對問題一的結(jié)果幾乎是成比例增加的。因此，該模型也是合理的。比較問題1和問題2，當(dāng)投資1000萬元所得純利潤Z=29.84，當(dāng)投資1100萬元資金所得純利潤Z=30.07。即當(dāng)多投資100萬元時，利潤多增加R=0.23萬元。而借貸100萬元所需要利息S=100*0.0275*1,即S>R，說明投入100萬元所得的收益為負值該經(jīng)理不應(yīng)貸款投資。模型建立：對于問題3：第一種情形：在假設(shè)成立的條件下，同問題2一樣，只是把A證券的稅前收益

16、增加為4.5%，同樣可以得到如下線性優(yōu)化模型：即：Max Z=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型整理得： Max Z=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5

17、 X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型求解：（LINGO程序見附錄）應(yīng)用LINGO求解可得銀行經(jīng)理的最大收益為Z=30.27萬元，五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法如下表： 表5五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法證券類型ABCDE投資金額 （萬元）218.180736.36045.45第二種情形：在假設(shè)成立的條件下，同問題2一樣，只是把C證券的稅前收益減少為4.8

18、%，同樣可以得到如下線性優(yōu)化模型：即： Max Z=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.0480.5)X3+(0.0440.5)X4+0.045X5 X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型整理得：Max Z=0.043X1+0.027X2+0.024X3+0.022X

19、4+0.045X5X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型求解：（LINGO程序見附錄）應(yīng)用LINGO求解可得銀行經(jīng)理的最大收益為Z=29.42萬元，五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法如下表： 表6 五種證券類型最優(yōu)投入的資金證券類型ABCDE投資金額 （萬元）336.0000648.0016.00對于第一種情形由運算結(jié)果分析，在證券A的稅前收益增加為4.5%的情

20、況下，對于X1，X3,X5的投入金額沒有發(fā)生變化，只是總收益有所增加，所以該投資方案不需要改變。對于第二種運算結(jié)果分析，在證券C的稅前收益減少為4.8%的情況下，對于證券投資的種類發(fā)生了變化，投資對象變?yōu)榱薠1(市政)、X4(政府2)、X5(市政2)，所以投資方案應(yīng)改變。 六、模型的優(yōu)缺點優(yōu)點：1.本文采用的方法，針對投資選擇可能出現(xiàn)的情況建立了3個數(shù)學(xué)模型，所采用的方案能夠?qū)τ趯嶋H的投資選擇給出相應(yīng)優(yōu)化，本方案具有較強的通用性。 2.本方案也具有一般性，針對生活中的連續(xù)優(yōu)化問題也得到了推廣，如解決農(nóng)業(yè)種植、漁業(yè)養(yǎng)殖的優(yōu)化問題。3.所建線性規(guī)劃模型簡單易懂，方便使用。缺點：1.本文并未考慮到在

21、金融危機發(fā)生的條件下能解決問題的方案。2.本文沒有對月稅前收益予以考慮。七、模型擴展仿照文中思路，該模型可容易擴展到更多的選擇對象，可以應(yīng)用于資本市場、風(fēng)險管理，也可以解決如奶制品的生產(chǎn)與銷售、農(nóng)業(yè)種植、漁業(yè)養(yǎng)殖的優(yōu)化問題。對于借貸資金也可以擴展到分期借貸和小額借貸的情況。對于在信用等級、到期年限、到期稅前收益等因素發(fā)生變化時，解決思路相類似，但模型和求解都更復(fù)雜，可作進一步研究。 八、參考文獻1、肖華勇，實用數(shù)學(xué)建模與軟件應(yīng)用，西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.112、姜啟源等編，數(shù)學(xué)模型，第3版，北京：高等教育出版社,2003.83、Zhdkjz/16696.html源程序附錄對于模型1

22、： LINGO程序如下：Max=0.043*x1*y1+0.027*x2*y2+0.025*x3*y3+0.022*x4*y4+0.045*x5*y5;x2+x3+x4>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;BIN(y1);BIN(y2);BIN(y3);BIN(y4);BIN(y5);運算結(jié)果：Rows= 10 Vars= 10 No. integer v

23、ars= 5 Nonlinear rows= 1 Nonlinear vars= 10 Nonlinear constraints= 0 Nonzeros= 35 Constraint nonz= 23 Density=0.318 No. < : 3 No. =: 0 No. > : 6, Obj=MAX Single cols= 5 Local optimal solution found at step: 6 Objective value: 29.83636 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost X1 218.1818 0.0

24、000000 Y1 1.000000 2.045455 X2 0.0000000 0.0000000 Y2 1.000000 0.0000000 X3 736.3636 0.0000000 Y3 1.000000 0.0000000 X4 0.0000000 0.0000000 Y4 1.000000 0.0000000 X5 45.45455 0.0000000 Y5 1.000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 29.83636 0.6181818E-03 2 336.3636 0.0000000 3 0.0000000 0.00

25、00000 4 -0.4547474E-12 0.0000000 5 -0.2273737E-12 0.0000000 6 218.1818 0.0000000 7 0.0000000 0.0000000 8 736.3636 0.0000000 9 0.0000000 0.0000000 10 45.45455 0.0000000對于模型2：LINGO程序如下：Max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5-t*f*0.0275;x2+x3+x4>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000+f;6*x1+6*x2-4*x3

26、-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;f<=100;t=1;運算結(jié)果：Rows= 6 Vars= 6 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 29 Constraint nonz= 20( 11 are +- 1) DensitZ=0.690 Smallest and largest elements in abs value= 0.220000E-01 1000.00 No. <

27、 : 4 No. =: 0 No. > : 1, Obj=MAX, GUBs <= 2 Single cols= 0 Global optimal solution found at step: 10 Objective value: 30.07000 Variable Value Reduced Cost X1 240.0000 0.0000000 X2 0.0000000 0.3018182E-01 X3 810.0000 0.0000000 X4 0.0000000 0.6363640E-03 X5 50.00000 0.0000000 T 1.000000 0.000000

28、0 F 100.0000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 30.07000 1.000000 2 410.0000 0.0000000 3 0.0000000 0.2983636E-01 4 0.0000000 0.6181818E-03 5 0.0000000 0.2363636E-02 6 0.0000000 0.2336364E-02 7 0.0000000 -2.750000對于模型3：第一種情形：LINGO程序如下：Max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4

29、>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;運算結(jié)果：Rows= 5 Vars= 5 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 25 Constraint nonz= 18( 9 are +- 1) DensitZ=0.833 Smallest and largest elements in abs value= 0.220000E-01 1000.00 No. < : 3 No. =: 0 No. > : 1, Obj=MAX, GUBs <= 1 Single cols= 0 Global optimal solution found at step: 6 Objective value: 30.27273 Variable Value Reduced Cost X1 218.1818 0.0000000 X2 0.0000000 0.3436364E-01 X3 736.3636 0.0000000 X4 0.0000000 0.2727279E-03 X5 45.45