不定積分畢業(yè)論文

1、 本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)不定積分的計(jì)算方法與拓展指導(dǎo)教師：所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)（系）：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)（屆）：201X屆數(shù)學(xué)X班二一五年 四月二十四日18 / 21目 錄中文摘要、關(guān)鍵字11 不定積分的計(jì)算方法21.1 分部積分法21.1.1 分部積分法得基本認(rèn)識(shí)21.1.2 函數(shù)、的優(yōu)選判別31.2 第一換元積分法41.2.1 第一換元積分法概念41.2.2 常用湊微分公式41.3 第二換元積分法51.3.1 第二換元積分法概念51.3.2 第二換元法的常用代換52 幾種特殊類型函數(shù)的積分82.1 計(jì)算有理函數(shù)的不定積分82.1.1 有理函數(shù)的基本認(rèn)識(shí)92.1.2 有理真分式分解與

2、部分分式法92.2 計(jì)算三角函數(shù)有理式的不定積分112.3 計(jì)算某些無理根式的不定積分142.4 計(jì)算分段函數(shù)的不定積分16參考文獻(xiàn)17英文摘要、關(guān)鍵字18不定積分的計(jì)算方法與拓展數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師 作者 摘要:不定積分在數(shù)學(xué)分析學(xué)科中的占據(jù)著重要地位.不定積分是計(jì)算微分的逆運(yùn)算,是計(jì)算函數(shù)定積分運(yùn)算的基本前提,是一種處理具體應(yīng)用如,物理學(xué)運(yùn)動(dòng)、液體流速等,經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)數(shù)量統(tǒng)計(jì),以與幾何學(xué)上曲線、曲面等問題的重要途徑.本文主要闡述了三種常用的計(jì)算方法和四類特殊函數(shù)的不定積分計(jì)算方法.關(guān)鍵字:原函數(shù) 不定積分 變量代換 有理式 有理化 三角函數(shù)有理式 無理根式引 言不定積分

3、的計(jì)算方法的研究不僅僅是某些經(jīng)驗(yàn)方法的積累它存在著更多哲學(xué)的思辨.它依靠一定的邏輯規(guī)則為微積分學(xué)科的應(yīng)用與思辯開拓了新途徑,是定積分計(jì)算的基礎(chǔ).針對(duì)有理式、三角函數(shù)有理式與無理根式三種特殊函數(shù)的不定積分在思想與具體方法進(jìn)行的探究聯(lián)系與總結(jié).最終,歸納分類形成合理的統(tǒng)一的公式解法.1 不定積分的計(jì)算方法應(yīng)用基本積分公式表、積分性質(zhì)以與某些復(fù)合運(yùn)算的技巧可解得一些函數(shù)的原函數(shù).而一些不符合基本積分公式的函數(shù)計(jì)算不定積分經(jīng)轉(zhuǎn)化最終也可歸為基本不定積分.對(duì)于如,等這類無法直接應(yīng)用基本積分公式的初等函數(shù)求其原函數(shù),我們需要從一些求導(dǎo)法則去導(dǎo)出相應(yīng)的不定積分法則,擴(kuò)充不定積分公式.1.1 分部積分法1.1

4、.1 分部積分法得基本認(rèn)識(shí)定理1 假設(shè)有、可導(dǎo),且存在,于是有不定積分也存在,并有.常簡(jiǎn)寫作1.一般地,被積函數(shù)中若含有某些冪函數(shù),無理根式,對(duì)數(shù)函數(shù),反三角函數(shù)等因式時(shí)可應(yīng)用分部積分法計(jì)算不定積分,可將這類因式作為;對(duì)于容易看出,且的原函數(shù)易解得的情況下也可以應(yīng)用分部積分法3.例1 計(jì)算.解:令,則有,.由分部積分公式得.例2 計(jì)算.解:令,則,由分部積分公式得.有些情況下,可能需多次應(yīng)用分部積分法,若循環(huán)出現(xiàn)某個(gè)積分,可應(yīng)用解方程的思想求解.例3 計(jì)算.分析:應(yīng)用分部積分法;同時(shí),需作適當(dāng)?shù)拇鷵Q求解.解:,由于,可設(shè),;整理得.1.1.2 函數(shù)、的優(yōu)選判別分部積分的難點(diǎn)不僅在于積分方法的正

5、確應(yīng)用還在于函數(shù)、的正確選擇8.函數(shù)、的選擇原則:(1) 由計(jì)算要容易求得(應(yīng)用分部積分公式的前提);(2) 需比更容易導(dǎo)出(應(yīng)用分部積分公式的目的)4.,類型積分.是關(guān)于的次多項(xiàng)式,;其中,所表示的是指其代表的一類函數(shù),是常數(shù).取.例4 計(jì)算.分析:令,需重復(fù)應(yīng)用分部積分公式;解:.,類型積分.其中,等表示的是其所屬的一類函數(shù).取.例5 計(jì)算.分析:依據(jù)上述說明,應(yīng)用適當(dāng)?shù)母酱鷵Q求解即可;解:,.,類型不定積分.需重復(fù)應(yīng)用分部積分公式或應(yīng)用公式.特別的,;.例6 計(jì)算.解:設(shè),則,;,;整理,得.1.2 第一換元積分法1.2.1 第一換元積分法的概念定理2 若被積函數(shù),且,則有2.第一積分

6、換元積分法也稱“湊”微分積分法,它常常由基礎(chǔ)積分公式轉(zhuǎn)化而來通過湊微分的方法引出新的積分變量.1.2.2 常用湊微分公式.湊常數(shù):.湊冪函數(shù):.湊三角函數(shù):;.湊倒數(shù):,(其中).例7 計(jì)算;2）.解:1）令,則有,因,故,.2）令,由于,因此.1.3 第二換元積分法(代換法)1.3.1 第二換元積分法概念定理3 若被積函數(shù),且存在,則有2.第二換元積分法并不是單純的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆過程,也涉與到反函數(shù)求導(dǎo)定理.第二積分換元法,主要應(yīng)用于計(jì)算無理根式的不定積分.針對(duì)此類含根式的不定積分,該方法可設(shè)法消去根號(hào),將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.1.3.2 第二換元法的常用代換代換變形去將被積函數(shù)化成

7、容易計(jì)算的形式.常見的積分的代換有根式代換、三角函數(shù)代換、倒置代換5.根式代換當(dāng)被積函數(shù)中為根式如,、,可設(shè).例8 計(jì)算1）;2).解:1）設(shè),則,于是,.2) 令,則,;于是.三角函數(shù)變換 被積函數(shù)含因式,可設(shè)或進(jìn)行轉(zhuǎn)化; 被積函數(shù)含因式,可設(shè)或進(jìn)行轉(zhuǎn)化; 被積函數(shù)含因式,可設(shè)或進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例9 計(jì)算1);2);.解:1) 設(shè),則有.于是,;則有整理得 .2) 設(shè),;當(dāng)時(shí),存在反函數(shù),由此;（方法引入）根據(jù)構(gòu)造參考直角三角形,則有,.例10 (區(qū)分變形)計(jì)算.分析:利用分部積分法,其中,整理得.倒置代換若被積函數(shù)的分母中含因子或分母次數(shù)較高時(shí),可令.例11 計(jì)算.分析:被積函數(shù)分母中含根式,可

8、應(yīng)用倒置代換;另外,分母中存在形式根式可令進(jìn)行二次代換.解:令,則有,于是;令,于是.例12 計(jì)算.解:若,則,于是.指數(shù)代換當(dāng)被積函數(shù)含有因子時(shí),可令以簡(jiǎn)化被積函數(shù).例13 計(jì)算.解:令,則,;于是,.反三角函數(shù)代換被積函數(shù)中存在反三角函數(shù)時(shí)某些情況下利用分部積分法即可,而對(duì)于較復(fù)雜的被積函數(shù)如復(fù)合函數(shù)中存在反三角函數(shù)則可考慮代換法.例14 計(jì)算.解:若令,則,.于是.2 幾種特殊類型函數(shù)的積分在掌握了一些最基本的積分運(yùn)算方法之后,我們將面臨一些特殊類型函數(shù)的不定積分,本節(jié)容將針對(duì)有理函數(shù),三角函數(shù)有理式以與某些無理根式的不定積分進(jìn)行研究與討論.然而,無論這些不定積分多么復(fù)雜,在原則上我們都

9、可以通過求不定積分的方法與技巧按一定步驟求解得出.2.1 計(jì)算有理函數(shù)的不定積分2.1.1 有理函數(shù)的基本認(rèn)識(shí)有理函數(shù),指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).其具體形式為:,其中,都是非負(fù)整數(shù);與都是實(shí)數(shù),同時(shí),、為互素的多項(xiàng)式1.有理函數(shù)分有真分式和假分式兩種類型:若n<m,稱此有理函數(shù)為真分式;若,稱此有理函數(shù)是假分式.利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和(稱為部分分式分解),因此討論有理函數(shù)的積分只需考慮真分式的積分方法即可1.如果在實(shí)數(shù)圍可分解成一次因式與二次質(zhì)因式()的乘積形式,即,其中,則真分式可以分解為如下部分分式之和形式:.其中,都是常數(shù)6.最簡(jiǎn)真分式只有如下

10、四種:,;,.2.1.2 有理真分式分解與部分分式法依據(jù)以上理論,求有理函數(shù)的不定積分只需要由分解部分分式分別求其不定積分,應(yīng)用待定系數(shù)法分解部分分式步驟簡(jiǎn)述如下:對(duì)在實(shí)系數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的因式分解:;根據(jù)所含各個(gè)因子,列出與之對(duì)應(yīng)的部分分式:如,分母含因式,與之對(duì)應(yīng)的部分分式是;對(duì)于所有與因式對(duì)應(yīng)的部分分式為.所有部分分式之和為.確定待定系數(shù):一般,所有部分分式經(jīng)過通分相加,所得分式分母即為,同時(shí),分子必然與原分子恒等.因此,各同冪項(xiàng)系數(shù)分別相等,于是我們可得出一個(gè)待定系數(shù)的線性方程組,方程組的解即為各項(xiàng)所需確定的系數(shù).注:分母中如果含有因子(為關(guān)于的一次因式或二次質(zhì)因式),則分解后為個(gè)部分分式之

11、和.計(jì)算有理函數(shù)積分的步驟:先用待定系數(shù)法或賦值法將有理分式轉(zhuǎn)化為部分分式之和的形式,再對(duì)各部分分式分別求不定積分.例15 計(jì)算.分析:被積函數(shù)是有理真分式,若逐步確定比較困難,因此,可令分子應(yīng)用賦值法轉(zhuǎn)換成與分母的組成因子相關(guān)聯(lián)的形式.方法一 令分子,解得,于是.方法二 令,那么,則,于是.當(dāng)有理真分式的分母次數(shù)較大(大于等于4)時(shí),常規(guī)的待定系數(shù)法顯然比較麻煩,此時(shí)可以選擇采用湊微分法或變量代換的方法;特別地,當(dāng)被積函數(shù)的分母中含有因子()時(shí),一般采用倒置代換可將被積函數(shù)的分母中所含變量因子消去.例16 計(jì)算.分析:此題中被積函數(shù)的分母次數(shù)較大,根據(jù)其特點(diǎn)使,采用湊微分法可將,消去.解:令

12、,則有,于是整理得,.經(jīng)過以上探索,我們會(huì)發(fā)現(xiàn):有理函數(shù)的不定積分一定可以通過初等函數(shù),如對(duì)數(shù)函數(shù)、有理函數(shù)與反正切函數(shù)等表達(dá)出來.那么,求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)就可以予以適當(dāng)?shù)膿Q元,使被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù),于是這個(gè)函數(shù)的不定積分總能被”積”出這樣的方法稱為”有理化法”6.2.2 計(jì)算三角函數(shù)有理式的不定積分三角函數(shù)有理式是指三角函數(shù)、常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù),記為;所謂計(jì)算三角函數(shù)有理式的不定積分,即計(jì)算;求三角函數(shù)有理式的不定積分,其基本思想為:通過適當(dāng)?shù)淖儞Q,從而將三角函數(shù)的積分化成有理函數(shù)的積分,轉(zhuǎn)化的過程通常利用到三角函數(shù)的”萬能公式”3.求,通常通過變換使,則有,;.所以,.

13、三角有理式的積分分類:.若是關(guān)于的奇函數(shù),即,令即可;例17 計(jì)算.分析:是關(guān)于的奇函數(shù),可利用代換求解.解:令,則,于是,整理得.若是關(guān)于的奇函數(shù),即,令即可;例18 計(jì)算.分析:是關(guān)于的奇函數(shù),使用代換求解.解:令,則,于是,整理得.若,令即可;例19 計(jì)算.分析:可令進(jìn)行代換.解:令,于是,整理得.被積函數(shù)形如,其原函數(shù)的計(jì)算具體情形分為兩種:若、至少存在一個(gè)為奇數(shù),假如有(),則可設(shè).如,.若、均為偶數(shù),可借用三角函數(shù)的二倍角公式:,將被積函數(shù)化簡(jiǎn),所得結(jié)果為含或奇數(shù)次冪時(shí)可借情形求解;另外,若同時(shí)含、的偶數(shù)次冪則需繼續(xù)應(yīng)用公式化簡(jiǎn),化為含或的冪函數(shù)形式,以下情形類推.例20 計(jì)算.分

14、析:被積函數(shù)三角函數(shù)次數(shù)均為偶數(shù),可利用公式”降次升倍”代換化簡(jiǎn).解:,整理得.形如,可應(yīng)用積化和差公式進(jìn)行代換:;.例21 求.解:.2.3 計(jì)算某些無理根式的不定積分.型根式不定積分().令可化為有理函數(shù)的積分.其中均為常數(shù),正整數(shù);由得,于是(其中,).有理函數(shù)所求導(dǎo)數(shù)仍是有理函數(shù),即為關(guān)于的有理函數(shù).例22 計(jì)算.分析:將有理化,于是有,可應(yīng)用上述代換.解:令,于是,;.拓展1 對(duì)于(其中,為常數(shù)且,為元有理函數(shù).)型根式不定積分的.對(duì)此,設(shè),為的公分母,即可將此無理根式的不定積分轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分.例23 計(jì)算.分析:這里,于是,解:令,則,整理得.型根式的不定積分(時(shí);時(shí)).由于

15、,若取,于是,函數(shù)有三種表示;.于是可轉(zhuǎn)化為;類型的積分計(jì)算1.例24 計(jì)算解:.拓展2 對(duì);型無理根式的不定積分.采用三角換元法代換求解,具體代換如下:,可使或;,可使;,可使.二項(xiàng)微分式的積分,形如,(,且均不為0),此類積分在三種情況下可轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分:為整數(shù);是整數(shù);是整數(shù)3.可使,為的公分母;情況、可使或,為的分母.例25 計(jì)算.分析:,其中,于是符合上述.解:設(shè),則,于是,整理得.2.4 計(jì)算分段函數(shù)的不定積分若分段函數(shù)連續(xù),則原函數(shù)連續(xù).在分別計(jì)算得到各區(qū)間的函數(shù)的原函數(shù)后,需由原函數(shù)在分界點(diǎn)的連續(xù)性確定得出各積分常數(shù)的關(guān)系7.例26 已知且,求.分析:由于與在處連續(xù),則該

16、函數(shù)的原函數(shù)也連續(xù).解:令,則,又有,得;因在處連續(xù),于是,因此,參考文獻(xiàn)1華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))M.-3版.:高等教育,20012畢志偉.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分題解M.:華中科技大學(xué),2003.103偉,汪賽,朱金艷.微積分（經(jīng)濟(jì)管理）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)M.:機(jī)械工程4朱孝春.不定積分分部積分中滲透邏輯推理與辯證法則的教學(xué)研究J.同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院.高師理科學(xué)刊,2013,9.第33卷,第5期.975玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(上冊(cè))M.第五版,高等教育.6正榮.數(shù)學(xué)分析:全2冊(cè)M.:科學(xué),2012.7明巖,明軍.微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)M.:東北大學(xué),2011.98振綺,(烏克蘭)O.包依丘克.工科數(shù)學(xué)分析教程M.

17、-2版.:機(jī)械工業(yè),2007.5The calculation methods of indefinite integral and expandAbstract:The indefinite integral in mathematical analysis course occupies an important position. The indefinite integral is the inverse operation of calculating differential, the basic premise is the calculation of definite integral function operation, Is an important way to deal with the specific application problems, such as, the problem of motion , the velocity of the liquid in Physics, the curve, and the surface geometry. This paper mainly expounds the indefinite integral of