2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（天津理）含詳解

1、2011天津理 第卷 本卷共8小題，每小題5分，共40分 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)( )ABCD【解】故選2設(shè)，則“且”是“”的( )A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解】因為且，則且，因而，所以“且”是“”的充分條件，取，則滿足， 但不滿足且，所以“且”不是“”的必要條件因此“且”是“”的充分而不必要條件故選3閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的值為( )ABCD 【解】運算過程依次為：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以輸出的故選 4已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項，為的前項和，則的值

2、為 ( )ABCD【解】因為等差數(shù)列的公差為，則，因為是與的等比中項，所以，即，所以，于是故選5在的二項展開式中，的系數(shù)為( )ABCD【解】，令，則所以，的系數(shù)，故選6如圖，在中，是邊上的點，且，則的值為( )ABCD【解】解法取的中點，因為，所以，因為，所以，于是在中，由正弦定理得，即，所以故選解法2設(shè)，由題設(shè)，在中，由余弦定理得，所以在中，由正弦定理得，即，所以故選7，則( )ABCD【解】解法1，下面比較，和的大小因為，則最小，因為，所以，因此所以，因而由于函數(shù)是上的增函數(shù)，所以故選解法2，下面比較，和的大小因為，則最小因為，所以，因而由于函數(shù)是上的增函數(shù)，所以故選解法3由解法2，,畫

3、出函數(shù)和的圖象,比較的縱坐標(biāo)，可得，于是因而由于函數(shù)是上的增函數(shù)，所以故選8對實數(shù)和，定義運算“”：設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是( )ABCD【解】由題設(shè)畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象的四個端點（如圖）為，從圖象中可以看出，直線穿過點，點之間時，直線與圖象有且只有兩個公共點，同時，直線穿過點及其下方時，直線與圖象有且只有兩個公共點，所以實數(shù)的取值范圍是故選第卷二、填空題：本答題共6小題，每小題5分,共30分9一支田徑隊有男運動員人，女運動員人若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為【解】抽取男運動員的人數(shù)為（人）10一個幾何體的

4、三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為【解】幾何體是由一個長方體與一個圓錐組合的體積為11已知拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù)）若斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與圓相切，則【解】拋物線的普通方程為，其焦點為直線方程為因為直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即12如圖，已知圓中兩條弦與相交于點，是延長線上一點，且，若與圓相切，則線段的長為【解】因為，所以設(shè)，由相交弦定理，所以，因為與圓相切，由切割線定理，所以13已知集合，則集合【解】解集合當(dāng)時，不等式化為，解得所以解為；當(dāng)時，不等式化為，即所以解為；當(dāng)時，不等式化為，解得，所以解為綜合以上，解集合因為，所以，所以，因而14已知直角梯形

5、中，是腰上的動點，則的最小值為【解】解法1 以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系由題設(shè)，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，于是，當(dāng)時，有最小值解法2 以相互垂直的向量，為基底表示，得 又是腰上的動點，即與共線，于是可設(shè)，有所以即 由于是腰上的動點，顯然當(dāng)，即時，所以有最小值解法3 如圖，設(shè)為的中點，為的中點，則，因為，則（實際上，就是定理：“平行四邊形的對角線的平方和等于各邊的平方和”）設(shè)為的中點，則為梯形的中位線，設(shè)為的中點，且設(shè)，則，代入式得，于是，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立由式，所以有最小值三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

6、15(本小題滿分13分) 已知函數(shù)，() 求函數(shù)的定義域與最小正周期；() 設(shè)，若，求的大小【解】()函數(shù)的定義域滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為最小正周期為() 解法因為，所以，所以，于是，因為，所以，所以，因而，因為，所以，所以，解法2因為，所以，所以，因為，所以，于是，整理得，所以，因為，所以，因此解法3，因為，所以得故于是所以16(本小題滿分13分)學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有個白球，個黑球，乙箱子里裝有個白球，個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出個球，若摸出的白球不少于個則獲獎（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）()求在次游戲中，() 摸出個白球的

7、概率；() 獲獎的概率；()求在次游戲中，獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望【解】() ()設(shè)“在次游戲中摸出個白球”為事件，則()設(shè)“在次游戲中獲獎”為事件，則，因為和互斥，所以() 的所有可能值為，所以的分布列是數(shù)學(xué)期望17(本小題滿分13分)如圖，在三棱柱中中，是正方形的中心，且() 求異面直線與所成角的余弦值；() 求二面角的正弦值；() 設(shè)為棱的中點，點在平面內(nèi)，且，求線段的長【解】解法如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，其中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸由題意，() ,.所以.() ,，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，于是，所以所以二面角的正弦值為() 由為

8、棱的中點，得，設(shè)點，則因為，則即解得故向量，所以線段的長解法2()由于,故是異面直線與所成的角因為，是正方形的中心，所以，因此() 連接，因為及是的中點則，又，所以過點作于，連，于是，所以為二面角的平面角在中，連，在中，從而所以二面角的正弦值為()因為，所以，取的中點，連接由于為棱的中點，所以，且又，故，因為，所以，連接并延長交于點，則故由，得延長交于，可得，連接在中，由直角三角形的射影定理，所以，連接，在中，18(本小題滿分13分) 在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點，已知為等腰三角形() 求橢圓的離心率；() 設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程【解】

9、()設(shè)，因為為等腰三角形，若，則點在軸上，與矛盾，若，則，由，有，即，或，不合題意，所以，則，由，有，即，（舍去）或所以橢圓的離心率為() 解法1因為，所以，所以橢圓方程為直線的斜率，則直線的方程為兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理得則，于是不妨設(shè)，設(shè)點的坐標(biāo)為則，由得則，由，得，化簡得將代入得，所以因此點的軌跡方程為，解法2因為，所以，橢圓方程為直線的斜率，則直線的方程為兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理得則，于是不妨設(shè)，因而點為橢圓短軸的下頂點如圖，因為，所以點在線段的內(nèi)部，設(shè)點的坐標(biāo)為則過和作軸的垂線垂足分別為因為，則，于是，因為，是直線上的點，則，所以即，由得則，于是，因此點的軌跡方程為，解法

10、3因為，所以，所以橢圓方程為直線的斜率，則直線的方程為兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理得設(shè)，則，則因為，所以，將，代入式得，將代入并整理得將代入得，所以因此點的軌跡方程為，19(本小題滿分14分) 已知，函數(shù)，（的圖象連續(xù)不斷）() 求的單調(diào)區(qū)間；() 當(dāng)時，證明：存在，使() 若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明：【解】() ，令，則當(dāng)變化時，的變化情況如下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是() 當(dāng)時，由()知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減令由于在單調(diào)遞增，則，因而取，則，所以存在，使，即存在，使() 由及的單調(diào)性知從而在區(qū)間上的最小值為又由，則所以即所以20(本小題滿分14分) 已知數(shù)列與滿足，且，() 求，的值；() 設(shè)，證明是等比數(shù)列() 設(shè)，證明【解】()因為，所以