第25章_解直角三角形

1、25.1 測 量教學(xué)目標(biāo)1、 在探索基礎(chǔ)上掌握測量。2、 掌握利用相似三角形的知識教學(xué)重難點重點：利用相似三角形的知識在直角三角形中，知道兩邊可以求第三邊。難點：應(yīng)用勾股定理時斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。教學(xué)過程當(dāng)你走進(jìn)學(xué)校，仰頭望著操場旗桿上高高飄揚的五星紅旗時，你也許很想知道，操場旗桿有多高？你可能會想到利用相似三角形的知識來解決這個問題如圖2511，站在操場上，請你的同學(xué)量出你在太陽光下的影子長度、旗桿的影子長度，再根據(jù)你的身高，便可以利用相似三角形的知識計算出旗桿的高度如果就你一個人，又遇上陰天，那怎么辦呢？人們想到了一種可行的方法，還是利用相似三角形的知識試一試如圖2512所示，

2、站在離旗桿BE底部10米處的D點，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角BAC為34°，并已知目高AD為1.5米現(xiàn)在若按1500的比例將ABC畫在紙上，并記為ABC，用刻度直尺量出紙上BC的長度，便可以算出旗桿的實際高度你知道計算的方法嗎？實際上，我們利用圖2512（1）中已知的數(shù)據(jù)就可以直接計算旗桿的高度，而這一問題的解決將涉及直角三角形中的邊角關(guān)系我們已經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關(guān)系（即勾股定理），那么它的邊與角又有什么關(guān)系？這就是本章要探究的內(nèi)容練習(xí)1小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的

3、高度2請你與你的同學(xué)一起設(shè)計切實可行的方案，測量你們學(xué)校樓房的高度習(xí)題2511如圖，為測量某建筑的高度，在離該建筑底部300米處，目測其頂，視線與水平線的夾角為40°，目高15米試?yán)孟嗨迫切蔚闹R，求出該建筑的高度（精確到01米）2在平靜的湖面上，有一枝紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被風(fēng)吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深多少？3如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘A處另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，求這棵樹的高度小結(jié)與作業(yè):小結(jié)本節(jié)內(nèi)容:利用相似三角形的知識在直

4、角三角形中，知道兩邊可以求第三邊作業(yè):一課一練25.2 銳角三角函數(shù)教學(xué)目標(biāo)3、 正弦、余弦、正切、余切的定義。4、 正弦、余弦、正切、余切的應(yīng)用教學(xué)重難點重點：正弦、余弦、正切、余切。難點：正弦、余弦、正切、余切的應(yīng)用。教學(xué)過程第一節(jié).銳角三角函數(shù)在§251中，我們曾經(jīng)使用兩種方法求出操場旗桿的高度，其中都出現(xiàn)了兩個相似的直角三角形，即ABCABC按的比例，就一定有，就是它們的相似比當(dāng)然也有我們已經(jīng)知道，直角三角形ABC可以簡記為RtABC，直角C所對的邊AB稱為斜邊，用c表示，另兩條直角邊分別為A的對邊與鄰邊，用a、b表示（如圖2521）前面的結(jié)論告訴我們，在RtABC中，只要一

5、個銳角的大小不變（如A34°），那么不管這個直角三角形大小如何，該銳角的對邊與鄰邊的比值是一個固定的值思考一般情況下，在RtABC中，當(dāng)銳角A取其他固定值時，A的對邊與鄰邊的比值還會是一個固定值嗎？觀察圖2522中的Rt、Rt和Rt，易知RtRt_Rt_，所以_可見，在RtABC中，對于銳角A的每一個確定的值，其對邊與鄰邊的比值是唯一確定的我們同樣可以發(fā)現(xiàn)，對于銳角A的每一個確定的值，其對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、鄰邊與對邊的比值也是唯一確定的因此這幾個比值都是銳角A的函數(shù)，記作sinA、cosA、tanA、cotA，即sinA，cosA，tanA，cotA分別叫做銳角A的正弦、余弦、正

6、切、余切，統(tǒng)稱為銳角A的三角函數(shù)顯然，銳角三角函數(shù)值都是正實數(shù)，并且0sinA1，0cosA1根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們還可得出1，tanA·cotA1例1求出圖2523所示的RtABC中A的四個三角函數(shù)值解，sinA，cosA，tanA，cotA練習(xí):P76.1.2.小結(jié)本節(jié)內(nèi)容: 正弦、余弦、正切、余切，統(tǒng)稱為銳角A的三角函數(shù)作業(yè):一課一練第二課時教學(xué)目標(biāo)1、 探索直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系。2、 掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函數(shù)值。3、掌握三角函數(shù)定義式：sin A=, cos A=,tan A=, cot A= 教學(xué)重難

7、點重點：三角函數(shù)定義的理解。難點：掌握三角函數(shù)定義式。教學(xué)過程探索根據(jù)三角函數(shù)的定義，sin30°是一個常數(shù)用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所對的直角邊與斜邊的長，與同伴交流，看看常數(shù)sin30°是多少通過計算，我們可以得出sin30°，即斜邊等于對邊的2倍因此我們可以得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半思考上述結(jié)論還可通過邏輯推理得到如圖2524，RtABC中，C90°，A30°，作BCD60°，點D位于斜邊AB上，容易證明BCD是正三角形，D

8、AC是等腰三角形，從而得出上述結(jié)論做一做在RtABC中，C90°，借助于你常用的兩塊三角尺，或直接通過計算，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，分別求出下列A的四個三角函數(shù)值：（1）A30°；（2）A60°；（3）A45°為了便于記憶，我們把30°、45°、60°角的三角函數(shù)值列表如下： sincostancot30°45°1160°練習(xí)求值：2cos60°2sin30°4tan45°四、學(xué)習(xí)小結(jié):記憶特殊角的函數(shù)值五、布置作業(yè) 習(xí)題：1第三課時教學(xué)目標(biāo)1、 進(jìn)一步復(fù)習(xí)直角三角形

9、中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系。2、 進(jìn)一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函數(shù)值。3、掌握三角函數(shù)定義式：sin A=, cos A=,tan A=, cot A= 教學(xué)重難點重點：三角函數(shù)定義的理解。難點：掌握三角函數(shù)定義式。教學(xué)過程例1 求出如圖所示的RtDEC（E90°）中D的四個三角函數(shù)值 sin30是一個常數(shù).用刻度尺量出你所用的含30的三角尺中，30所對的直角邊與斜邊的長，sin30=即斜邊等于對邊的2倍.因此我們還可以得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.做一做在RtABC中，C90，借助

10、于你常用的兩塊三角尺，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出A的四個三角函數(shù)值：（1）A30（2）A60（3）A45.為了便于記憶，我們把30、45、60的三角函數(shù)值列表如下.（請?zhí)畛隹瞻滋幍闹担┱n堂練習(xí)1. 如圖，在RtMNP中，N90.P的對邊是_,P的鄰邊是_;M的對邊是_,M的鄰邊是_;2. 求出如圖所示的RtDEC（E90）中D的四個三角函數(shù)值.3. 設(shè)RtABC中，C90，A、B、C的對邊分別為a、b、c，根據(jù)下列所給條件求B的四個三角函數(shù)值.（1）a=3,b=4; （2）a=6,c=10.4. 求值：2cos60+2sin30+4tan45.學(xué)習(xí)小結(jié): 記憶特殊角的函數(shù)值布置作業(yè)習(xí)題：練習(xí)冊習(xí)

11、題：22.用計算器求銳角三角函數(shù)值教學(xué)目標(biāo)學(xué)會計算器求任意角的三角函數(shù)值。教學(xué)重難點重點：用計算器求任意角的三角函數(shù)值。難點：實際運用。教學(xué)過程 拿出計算器，熟悉計算器的用法。下面我們介紹如何利用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求對應(yīng)的銳角.（1） 求已知銳角的三角函數(shù)值.3、 求sin635241的值.（精確到0.0001）解先用如下方法將角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”：顯示再按下列順序依次按鍵：顯示結(jié)果為0.897 859 012.所以sin6352410.8979例3求cot7045的值.（精確到0.0001）解在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出），按下列順序依次按鍵：顯示結(jié)

12、果為0.349 215 633.所以cot70450.3492.（2） 由銳角三角函數(shù)值求銳角例4已知tan x=0.7410,求銳角x.（精確到1）解在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出），按下列順序依次按鍵：顯示結(jié)果為36.538 445 77.再按鍵：顯示結(jié)果為363218.4.所以，x3632.例5 已知cot x=0.1950,求銳角x.（精確到1）分析根據(jù)tan x，可以求出tan x的值，然后根據(jù)例4的方法就可以求出銳角x的值.四、課堂練習(xí)1. 使用計算器求下列三角函數(shù)值.（精確到0.0001）sin24,cos514220,tan7021,cot70.2. 已知銳角a的三

13、角函數(shù)值，使用計算器求銳角a.（精確到1）（1）sin a=0.2476; （2）cos a=0.4174;（3）tan a=0.1890; （4）cot a=1.3773.五、學(xué)習(xí)小結(jié)內(nèi)容總結(jié)不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣。同一銳角的正切值與余切值互為倒數(shù)。在生活中運用計算器一定要注意計算器說明書的保管與使用。方法歸納在解決直角三角形的相關(guān)問題時，常常使用計算器幫助我們處理比較復(fù)雜的計算。一、 布置作業(yè)習(xí)題：3，4，5；練習(xí)冊25.3 解直角三角形教學(xué)目標(biāo)1、 鞏固勾股定理，熟悉運用勾股定理。2、 學(xué)會運用三角函數(shù)解直角三角形。3、 掌握解直角三角形的幾種情況。教學(xué)重難點重點：使學(xué)生養(yǎng)

14、成“先畫圖，再求解”的習(xí)慣。難點：運用三角函數(shù)解直角三角形。教學(xué)過程我們已經(jīng)掌握了直角三角形邊角之間的各種關(guān)系，這些都是解決與直角三角形有關(guān)的實際問題的有效工具.例1如圖19.4.1所示，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？解利用勾股定理可以求出折斷倒下部分的長度為261036（米）.所以，大樹在折斷之前高為36米.在例1中，我們還可以利用直角三角形的邊角之間的關(guān)系求出另外兩個銳角.像這樣，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.例2如圖，東西兩炮臺A、B相距2000米，同時發(fā)現(xiàn)入侵?jǐn)撑濩，炮臺A測得敵艦C在

15、它的南偏東40的方向，炮臺B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺的距離.（精確到1米）解在RtABC中，因為CAB90DAC50，tanCAB,所以BCABtanCAB=2000×tan502384(米).又因為，所以AC答：敵艦與A、B兩炮臺的距離分別約為3111米和2384米.在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，本書除特別說明外，邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到1.解直角三角形，只有下面兩種情況：（1）已知兩條邊；（2）已知一條邊和一個銳角課堂練習(xí)1. 在電線桿離地面8米高的地方向地面拉一條長10米的纜繩，問這條纜繩應(yīng)固定在距離電線桿底部多遠(yuǎn)的地方？2. 海船以32.6

16、海里/時的速度向正北方向航行，在A處看燈塔Q在海船的北偏東30處，半小時后航行到B處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔Q與海船的距離最短，求燈塔Q到B處的距離.（畫出圖形后計算，精確到0.1海里）學(xué)習(xí)小結(jié)布置作業(yè)習(xí)題：1；練習(xí)冊25.3 解直角三角形第二課時教學(xué)目標(biāo)1、 鞏固勾股定理，熟練運用勾股定理。2、 學(xué)會運用三角函數(shù)解直角三角形。3、 掌握解直角三角形的幾種情況。4、 學(xué)習(xí)仰角與俯角。教學(xué)重難點：重點：使學(xué)生養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習(xí)慣。難點：運用三角函數(shù)解直角三角形。教學(xué)過程一、 情境導(dǎo)入讀一讀如圖，在進(jìn)行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.二、合作探

17、究例3如圖4，為了測量電線桿的高度AB，在離電線桿22.7米的C處，用高1.20米的測角儀CD測得電線桿頂端B的仰角a22°，求電線桿AB的高（精確到0.1米）解 在RtBDE中，BEDE×tan aAC×tan a22.7×tan 22°9.17， 所以ABBEAE BECD 9.171.2010.4（米）答： 電線桿的高度約為10.4米三、課堂練習(xí)1. 如圖，某飛機于空中A處探測到目標(biāo)C，此時飛行高度AC1200米，從飛機上看地面控制點B的俯角a1631，求飛機A到控制點B的距離.（精確到1米）2. 兩座建筑AB及CD，其地面距離AC為50

18、.4米，從AB的頂點B測得CD的頂部D的仰角25，測得其底部C的俯角a50，求兩座建筑物AB及CD的高.（精確到0.1米）四、學(xué)習(xí)小結(jié)內(nèi)容總結(jié)仰角是視線方向在水平線上方，這時視線與水平線的夾角。俯角是視線方向在水平線下方，這時視線與水平線的夾角。梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四邊形與直角三角形）來處理。方法歸納認(rèn)真閱讀題目，把實際問題去掉情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的幾何問題。把四邊形問題轉(zhuǎn)化為特殊四邊形（矩形或平行四邊形）與三角形來解決。五、布置作業(yè)習(xí)題：2，3；練習(xí)冊25.3 解直角三角形第三課時教學(xué)目標(biāo)1、 鞏固勾股定理，熟練運用勾股定理。2、 學(xué)會運用三角函數(shù)解直角三角形。3、 掌握

19、解直角三角形的幾種情況。4、 學(xué)習(xí)仰角與俯角。教學(xué)重難點重點：使學(xué)生養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習(xí)慣。難點：靈活的運用有關(guān)知識在實際問題情境下解直角三角形。教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入讀一讀在修路、挖河、開渠和筑壩時，設(shè)計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度.如圖5，坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.記作i,即i=.坡度通常寫成1m的形式，如i=16.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有i=tan a顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.二、課前熱身分組練習(xí)，互問互答，鞏固勾股定理和銳角三角函數(shù)定義等內(nèi)容，掌握仰角與俯角等概念。三、合作探究例4如圖6，一段路基的橫斷面是梯形，高

20、為4.2米，上底的寬是12.51米，路基的坡面與地面的傾角分別是32°和28°求路基下底的寬（精確到0.1米）解作DEAB，CFAB，垂足分別為E、F由題意可知DECF4.2（米），CDEF12.51（米）在RtADE中，因為所以在RtBCF中，同理可得因此ABAEEFBF 6.7212.517.9027.13（米）答： 路基下底的寬約為27.13米三、課堂練習(xí)一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬6.2米，壩高23.5米，斜坡AB的坡度i113，斜坡CD的坡度i2=12.5.求：（1）斜坡AB與壩底AD的長度；（精確到0.1米）（2）斜坡CD的坡角.（精確到1°

21、;）四、學(xué)習(xí)小結(jié)內(nèi)容總結(jié)坡角是斜坡與水平線的夾角；坡度是指斜坡上任意一點的高度與水平距離的比值。坡角與坡度之間的關(guān)系是：i=tan a。坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。方法歸納在涉及梯形問題時，常常首先把梯形分割成我們熟悉的三角形、平行四邊形，再借助這些熟悉圖形的性質(zhì)與特征來加以研究。五、布置作業(yè)習(xí)題：4；練習(xí)冊小結(jié)與復(fù)習(xí)1教學(xué)目標(biāo)1、 了解本章的知識結(jié)構(gòu)。2、 回顧勾股定理的證明教學(xué)重難點重點：勾股定理。難點：選擇適當(dāng)?shù)闹R解決具體問題。教學(xué)過程一、 情境導(dǎo)入通過本章的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？你有哪些收獲？二、課前熱身同學(xué)們交流、討論、概括出本章所學(xué)的主要內(nèi)容。三、合作探究知識結(jié)構(gòu)概括1.

22、 了解勾股定理的歷史，經(jīng)歷勾股定理的探索過程；2. 理解并掌握直角三角形中邊角之間的關(guān)系；3. 能應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系解決有關(guān)實際問題課堂練習(xí)1. 求下列陰影部分的面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓（第1題）2. 如圖，以RtABC的三邊向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系3. 已知直角三角形兩條直角邊分別為6、8，求斜邊上中線的長4. 求下列各式的值（1） 2cos 30°cot 60°2tan 45°（2） sin2 45°cos2 60°（3） .學(xué)習(xí)小結(jié)內(nèi)容總結(jié)本節(jié)課主要復(fù)習(xí)了兩個部分的內(nèi)容：一部分是本章的知識結(jié)構(gòu)；另