高中數(shù)學(xué)論文：圓錐曲線中的四心

1、達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生的思(n)由 DFH內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大轉(zhuǎn)化為點D的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大D為橢圓短軸端點DFH面積最大值為品S DFH 一周長r內(nèi)切圓2r內(nèi)切圓3圓錐曲線中的“四心”摘要：通過對三角形四心與圓錐曲線的有機結(jié)合，維，提升學(xué)生的解題能力。同時起到培養(yǎng)學(xué)生的說思路、練本領(lǐng)、強 素質(zhì)的作用.關(guān)鍵詞：思維流程 內(nèi)心 外心 重心 垂心 解題能力正文：圓錐曲線是每年高考的重點內(nèi)容之一，從近幾年的命題風(fēng)格看，既注 重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征，又體現(xiàn)傳統(tǒng)內(nèi)容的橫向聯(lián)系和 新增內(nèi)容的縱向交匯，而三角形在圓錐曲線中更是如魚得水，面積、弦長、最值 等成為研究的常規(guī)問題。“

2、四心”走進(jìn)圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。因此， 在高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強學(xué)生的信心，從而戰(zhàn)勝高考.例1、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過 A( 2,0)、3 B(2,0)、C 1,-二點.(I )求橢圓E的方程：(H)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)( 1,0), H (1,0),當(dāng)ADFH內(nèi)切圓的面積最大時，求A DFH內(nèi)心的坐標(biāo)；思維流程：(I )由橢圓經(jīng)過 A、B、C三點 一設(shè)方程為mx2 ny2 1 -解出m,n得出D點坐標(biāo)為 Q解題過程:(I )設(shè)橢圓方程為 mx2 ny2

3、 1 m 0, n 0.3將慶(2,0)、B(2,0)、C(1,2)代入橢圓E的方程，得解得m1-,n44m 1,9 dm n 142橢圓E的方程4(n) |FH | 2,設(shè)ADFH邊上的高為S dfh當(dāng)點D在橢圓的上頂點時,h最大為Q ,所以S DFH的最大值為近.設(shè)A DFH的內(nèi)切圓的半徑為R,因為A DFH的周長為定值 6.所以,S DFH - R2所以R的最大值為興.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0,點石成金：S的內(nèi)切圓r的內(nèi)切圓例2、橢圓長軸端點為A, B ,O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且AF FB 1,OF(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(H)記橢圓的上頂點為M ,直線l交橢圓于P,Q兩點，

4、問：是否存在直線l ,使點F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由。思維流程:(Dimr uur由 AF?FB 1,uur OF(a c)(a c) 1 , c 1a 2,b 1寫出橢圓方程()由F為PQM的重心* PQ MF,MP FQk PQyxm 消元2 x2 y 22一 2 .一 2 一 一3 3x 4mx 2m 2 0兩根之和, 兩根之積UULTuuirMP? FQ0-得出關(guān)于 m的方程解出m解題過程：22(I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為當(dāng)與1(a b 0),則c 1a b又; AF fb 1 即(a c) (a c) 1 a2 c2. a2 22故橢圓方程為y

5、2 12(n)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點，且F恰為PQM的垂心，則設(shè) P(X1,y1),Q(X2,y2),M(0,1),F(1,0),故 kpQ 1,于是設(shè)直線l為y x m,由 y X2m得 x2 2y2 2223x 4mx 2m 2 0uur uurMP FQ 0 x1(x2 1) y2(y1 1)又 y X m(i 1,2)得 x1(x2 1) (x2 m)(x1 m 1) 0 即2由韋達(dá)定理得2x1x2 (x1 x2)(m 1) m m 02c 2m 2 4m z ,、22(m 1) m233-4 ,. .4解得m -或m 1 (舍) 經(jīng)檢驗m-符合條件.33點石成金：垂心的特點

6、是垂心與頂點的連線垂直對邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為令.22例3、在橢圓C:二乙1中，2 F2分別為橢圓C的左右兩個焦點，P43為橢圓C上的且在第一象限內(nèi)的一點，PF1F2的重心為G,內(nèi)心為I.(I )求證：IGF1F2 ;(n)已知a為橢圓C上的左頂點,直線l過右焦點F2與橢圓C交于M,N兩點,若AM , AN的斜率ki,k2滿足ki k2,求直線l的方程.思維流程:(I)由已知得 Fi( 1,0), F2(1,0)設(shè) P(X0,y0)重心 G(X0,y0)PF1F2y。V。PF1F22(PF1PF2F1F2)r內(nèi)切圓S PF1F23r內(nèi)切圓y0IG / F1F2IGF1F2(n)由k1 k

7、21 ,可知l的斜率一定存在且不為0,設(shè)為k2l的方程為y k(x 1)X1X2X1X2y2 X4k(X2 y31)1消去y一- 22_ 22_得(3 4k )X 8k X 4k 12 08k23 4k224k2 123 4k2利用k1k 212得k的方程解出k解題過程:(I )設(shè) P(X0, y),重心 G(X,y),由已知可知F1( 1,0)則x ULJ, y y_0C/X0 yG(,333 31由 S PF1F22 |F1F2 | y0y0一一1 _又 SR*-(PF1F2(1,0)PF2F1F2)r內(nèi)切圓s PF1F2 3r內(nèi)切圓y內(nèi)心I的縱坐標(biāo)為弋IG / F1F2即 iGF1F；.

8、(H)若直線l斜率不存在，顯然ki k2 0不合題意；則直線l的斜率存在.設(shè)直線l為y k(x 1),直線l和橢交于MMyJ , N(x2,y2)。將y k(x 1)代入3x2 已知雙曲線C以橢圓工y- 1的焦點為頂點，以橢圓的左右頂點為 3 4y2 12中得到 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0依題意： 9k2 9 0得k 1或k1由韋達(dá)定理可知:又kAMkANk23(一x1 21x1 2xx2x1 x18k23 4k22_4k 123 4k2yy2x12x221x2 2k(x x1x21)x221x2 2)x1x2 4x1x22( x1x2) 48k2 4(3 4k2) 2k2

9、 1 4k2 12 16k2 4(3 4k2)3k2從而 kAMkAN k(2 32k23k2求得k 2符合k 1.故所求直線MN的方程為：y2(x 1).點石成金：重心的特點為坐標(biāo)x1x2x3 y1V2 y33,3例4、隹百八、八、(I )求雙曲線C的方程;(H)若Fi,F2為雙曲線C的左右焦點，P為雙曲線C上任意一點，M為PF1F2的外心，且 F1PF2 60，求點M的坐標(biāo).思維流程:(D(n)由已知易得雙曲線中 a 1,c 2,b -.3寫出雙曲線的方程M是PF1F2的外心M 在 y 軸上，且 F1MF2 2 F1PF2F1MF21200, MF1F2300在 Rt MF1O中，F(xiàn)1O|

10、2, MF1O 300解題過程:2 3 MO 3M(0,(I )由已知可知，雙曲線的a 1,b J3,c 2,則雙曲線的方程為22 yx 13(n)因為M為外心，所以MF1MF2則點M在線段F1F2的垂直平分線上即在y軸上又同弧上的圓心角是圓周角的2倍,F1MF22 F1PF2貝 U F1MF21200, MF1F2300在 Rt MF1O 中，F(xiàn)1O 2, MF1O 300則MO2.33即 M (0,2 . 3) / 3點石成金:百八、外心的特點為到三個頂點的距離相等或說是三邊的垂直平分線的交能力提升:221、橢圓：4 % 1(a b 0)求橢圓的焦點三角形內(nèi)心的軌跡方程. a b解：如圖(

11、1),設(shè)點P xo,y。，內(nèi)心I為(x,y),焦點Fi( c,0)、F2(c ,0),PFiPF22 ,貝 1 ri 22ex0 .過內(nèi)心I作ID、IE、IF垂直FF2、FP、P用于點D、E、F.丁點I是4 F1F2 P的內(nèi)心，點D、E、F是內(nèi)切圓的切點,圖（1）由切線長定理，得方程組:PE| |FiE PF| 2F FiD IF2Di2 ，2c結(jié)合r12e%,解得：FiD而F1Dx ex0，既 xxe又丁 F1F2P面積S-(FiF2| |PFi| |PFF)|y (a c)|ycyo(a c) y,既2將代入aa2V0b2V。=i(a7y.c0），得(a c)22可知，橢圓與a2 yi(a

12、0）焦點三角形內(nèi)心的軌跡是一個橢圓,它的離心率是,i2e222、橢圓：勺彳1（aa2 b2b 0）求橢圓的焦點三角形垂心的軌跡方程;解：如圖（2）,設(shè)點P（x ,y）,垂心H為（x,y）,焦 點 Fi( c,0)、F2(c ,0),則 F1H(x c,y),PF2 (c x , y). F1HL PF2 ,圖（2） (x c, y) gc X0, y0) =0.22c xvv00 .22而與 1(a b 0), a b,2.2.2b / 22、 b / 22、 y02(axo ) 2(ax ) .aa將式代入式，整理得:22a(c x )由方程可以看出，橢圓焦點三角形垂心的軌跡不是兩條拋物線，

13、 它與哪些初 等函數(shù)圖象有關(guān)？請大家思考.3、已知動圓過定點F 0,1 ,且與定直線y 1相切.(I)求動圓圓心P的軌跡W的方程；(H)設(shè)過點F的直線l與軌跡W相交于A、B兩點，若在直線y 1存在 點C,使 ABC為正三角形，求直線l方程.(m)當(dāng)直線l得斜率大于零時，求 ABC外心的坐標(biāo).解：(I)設(shè)動圓圓心為P(x,y),根據(jù)題意，得 & (y 1)2 |y 1化簡得 X2 4y故動圓圓心P的軌跡W的方程為X2 4y.(11)設(shè)直線1的方程為 y kx 1 , A(x.yj B(x2，y2)，弦 AB 中點為 M (x, y),y 1(i )當(dāng)k 0時，由 ：x 4y此時AB 4,有圖形的

14、對稱性可知,而 AC| V(0 2)2 ( 1 1)227 2得 A( 2,1),B(2,1)y 1上的點C只可能是(0, 1)故AB |AC,不合題意.(ii)當(dāng) k 0時，由 y 2 kxi得x2 4kx 4 0x 4yx1 x2 4k,x1x24, y1 y2 k(x1 x2) 2 4k2 2貝Ux。x-x2 2k, y&-y 2k2 1即 M(2k,2k2 1)22若在直線y 1上存在點C ,使ABC為正三角形1則設(shè)直線MC:y (x 2k) (2k2 1),與y 1聯(lián)立， k解得 x 4k 2k3,即 C(4k 2k3, 1)由 CM | ，|AB,得 J(2k 2k3)2 (2k2 2)2 1(% y 2)即(2k 2k3)2 (2k2 2)2 3(4k2 4)24化簡得 k2(k2 1)2 2(k2 1)2即 k2 2,k41故直線l的方程為yJ2x 1(田)由(H)知，k 直線l的方程為y 2x 1,點C(8&, 1)y廣