高中數(shù)學(xué)競賽-第24講-三角不等式教案(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第24講 三角不等式含有未知數(shù)的三角函數(shù)的不等式叫做三角不等式三角不等式首先是不等式，因此，處理不等式的常用方法如配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等也是解決三角不等式的常用方法其次，三角不等式又有自己的特點(diǎn)含有三角式，因而三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性以及圖像特征、三角公式及三角恒等變形的方法等都是處理三角不等式的常用工具A類例題例1 已知、為銳角，且，求證對一切，有分析 要證的不等式兩邊均為指數(shù)式，且指數(shù)相同，可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，因此首先應(yīng)比較與的大小，而函數(shù)的單調(diào)性與的符號有關(guān)，可分情況討論證明 （1）若x>0，則，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)

2、性，得，即，又x>0，故有（2）若x<0，則，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，得，即，又x<0，故有說明 比較不同角的正弦與余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函數(shù)的單調(diào)性比較，而一組的誘導(dǎo)公式是實(shí)現(xiàn)正、余弦轉(zhuǎn)化的有力工具例2 已知，試比較和的大小分析 兩個式子分別含有與的三角函數(shù)，故可考慮都化為的三角函數(shù)，注意到兩式均為正，可考慮作商來比較解法一 =，所以當(dāng)，即時(shí)，上式有最大值1，當(dāng)且時(shí)，上式總小于1因此，當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)且時(shí)，解法二 設(shè)，由得，故，則，于是有-=因此，當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)且時(shí)，鏈接 本題用到以下兩組三角公式：（1）半角公式 （2）萬能公式：； 例3 已知，求證：cos(sin

3、x)>sin(cosx)分析一 從比較兩數(shù)大小的角度來看，可考慮找一個中間量，比cos(sinx)小，同時(shí)比sin(cosx)大，即可證明原不等式證法一 （1）當(dāng)時(shí)，顯然cos(sinx)>sin(cosx)成立（2）當(dāng)時(shí)，則cos(sinx)>0>sin(cosx)（3）當(dāng)時(shí)，有0<sinx<x<，而函數(shù)y=cosx在上為減函數(shù)，從而有cos(sinx)>cosx；而，則sin(cosx)<cosx，因此cos(sinx) >cosx >sin(cosx)，從而cos(sinx)>sin(cosx) 分析二 cos(si

4、nx)可看作一個角sinx的余弦，而sin(cosx)可看作一個角cosx的正弦，因此可考慮先用誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性來證明證法二 當(dāng)時(shí)，有0<sinx<1，0<cosx<1，且sinx+cosx=，即0<sinx<-cosx<，而函數(shù)y=cosx在上為減函數(shù)，所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx)，即cos(sinx)>sin(cosx)x在其他區(qū)域時(shí)，證明同證法1說明 （1）本題的證明運(yùn)用到結(jié)論：時(shí)，這是實(shí)現(xiàn)角與三角函數(shù)值不等關(guān)系轉(zhuǎn)化的重要工具，該結(jié)論可利用三角函數(shù)線知識來證明（2）證

5、法一通過中間量cosx來比較，證法二利用有界性得sinx+cosx，再利用單調(diào)性證明，這是比較大小常用的兩種方法；（3）本題結(jié)論可推廣至. 情景再現(xiàn)1在銳角ABC中，求證： .2已知，求證：.3當(dāng)時(shí)，求證：.B類例題例4 在中，證明： 分析一 本題中有三個變量A、B、C，且滿足A+B+C=180°，先固定其中一個如角C，由于A+B =180°- C,故對不等式的左邊進(jìn)行和差化積，將其轉(zhuǎn)化為與AB有關(guān)的三角函數(shù)進(jìn)行研究證法一我們先假定C是常量，于是A+B=C也是常量.，顯然，對于同一個C值，當(dāng)A=B時(shí)，上式達(dá)到最大值同樣，對同一個A或B，有類似結(jié)論；因此,只要A、B、C中任意

6、兩個不等，表達(dá)式就沒有達(dá)到最大值，因而，當(dāng)A=B=C=時(shí)，有最大值，原不等式得證說明不等式中含有多個變量時(shí)，我們往往固定其中部分變量，求其他變量變化時(shí)，相應(yīng)表達(dá)式的最值，這種方法稱為逐步調(diào)整法分析二即證，觀察左邊的形式，從而考慮用琴生不等式進(jìn)行證明證法二 函數(shù)是區(qū)間（0，）上的上凸函數(shù)，從而對任意的三個自變量，總有，等號當(dāng)時(shí)成立因此有，從而有，因此原不等式成立說明本方法是利用凸函數(shù)性質(zhì)解題，三角函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)均為凸函數(shù)，因此很多三角不等如均可利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明鏈接 關(guān)于凸函數(shù)與琴生不等式的有關(guān)知識凸函數(shù)定義：函數(shù)f(x)如果對其定義域中任意的x1、x2，都有如下不等式成立：f（）f(x1)

7、+f(x2)，則稱f(x)是下凸函數(shù)，等號當(dāng)x1=x2時(shí)成立如果總有f（）f(x1)+f(x2)，則稱f(x)是上凸函數(shù)，等號當(dāng)x1=x2時(shí)成立x1x2MPQx1x2MPQ其幾何意義是，不等式表示定義域中任意兩點(diǎn)x1、x2，中點(diǎn)M所對應(yīng)的曲線上點(diǎn)Q位于弦上對應(yīng)點(diǎn)P的下面，不等式則有相反的意義定理：若f(x)是在區(qū)間I內(nèi)的下凸函數(shù)，則對區(qū)間I內(nèi)的任意n個點(diǎn)x1，x2，,xn，恒有f（）f(x1)+f(x2)+f(xn)，等號當(dāng)x1=x2=xn時(shí)成立若f(x)為上凸函數(shù)，不等號反向上述不等式稱為琴生不等式，琴生不等式是丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)于19051906年建立的三角函數(shù)如y=sinx，

8、y=cosx在（0，）是上凸函數(shù)；y=tanx,y=cotx在（0，）是下凸函數(shù)例5 已知,求證：（90年國家集訓(xùn)隊(duì)測試題）分析 將二倍角均化為單角的正余弦，聯(lián)想單位圓中的三角函數(shù)線，兩兩正余弦的乘積聯(lián)想到圖形的面積證明 即證即證明注意到上式右邊是如圖所示單位圓中三個陰影矩形的面積之和，而為此單位圓在第一象限的面積，所以上式成立，綜上所述，原不等式成立例6 已知不等式對于恒成立求的取值范圍（2004年首屆東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧賽試題）分析 所給不等式中有兩個變量，給出其中一個的范圍，求另一個的范圍，常采用分離變量的方法注意到與角有關(guān)的幾個三角函數(shù)式，因此考慮令進(jìn)行變量代換，以化簡所給不等式，再尋求解題

9、思路解 設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，從而原不等式可化為：，即， ，原不等式等價(jià)于不等式（1），（1）不等式恒成立等價(jià)于恒成立從而只要又在上遞減，所以 例7 三個數(shù)a,b,c，且滿足，按從小到大的順序排列這三個數(shù)（第16屆全蘇競賽題）分析 比較a,b,c三數(shù)的大小，等式的兩邊變量均不相同，直接比較不易進(jìn)行，故考慮分類討論，先比較a與b，由，對等號兩邊分別比較，即先假定一邊的不等號方向，再驗(yàn)證另一側(cè)的不等號方向是否一致解 （1）若，則，但由，故有矛盾，即ab（2）若，則由單調(diào)性可知，又由及題意可得，而，因此又可得，從而產(chǎn)生矛盾綜上，類似地，若，則由題意可得，從而可得與矛盾；若，則，即，即矛盾綜上可得：說明 本題

10、的實(shí)質(zhì)是用排除法從兩個實(shí)數(shù)的三種可能的大小關(guān)系排除掉兩種，從而得第三種，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略情景再現(xiàn)4在三角形ABC中，求證：（1）；（2）5設(shè)，且，求乘積的最值（1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）6求證：（2004年福建省數(shù)學(xué)競賽題）C類例題例8 已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求的取值范圍（1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）分析一 不等式左邊按一、三兩項(xiàng)配方，求出左邊式子的最小值，根據(jù)最小值應(yīng)當(dāng)為正求出的取值范圍解法一 設(shè)， 則由時(shí)恒成立，有，當(dāng)時(shí)，令，則，故，即，且，所求范圍是：，反之，當(dāng)時(shí)，有，且，于是只要必有恒成立分析二 不等式左邊視為關(guān)于x的二次函數(shù)，求出此二次函數(shù)的最小值，令其大于0，從

11、而求出的取值范圍解法二 由條件知，若對一切時(shí)，恒有，即對時(shí)恒成立，則必有，另一方面對稱軸為，故必有，即，又由于故分析三 原不等式看作關(guān)于x與1-x的二次齊次式，兩邊同除x(1-x)解法三 原不等式化為：x2cos+(1-x)2sin>x(1-x)，x=0得sin>0，x=1得cos>0；當(dāng)x0且x1時(shí)，上式可化為：cos+sin>1對x(0,1)恒成立，由基本不等式得cos+sin，cos+sin的最小值為，等號當(dāng)cos=sin即時(shí)取到，因此>1，又由于故例9已知都是實(shí)數(shù)，若對于一切實(shí)數(shù)，都有，求證：，（1977第十九屆IMO）分析 根據(jù)函數(shù)式的特征及所要證明的式

12、子易知，應(yīng)首先將不等式化成，其中x為任意實(shí)數(shù)，注意到所要證的結(jié)論中不含未知數(shù)x，故考慮用特殊值方法證明 若，則結(jié)論顯然成立；故下設(shè)，：令得，即對于一切實(shí)數(shù)，都有（1） （2）（1）+（2）得：，即對于一切實(shí)數(shù)恒成立，因此 （3）（1）+（3）得：，即恒成立， 例10 設(shè)，求證：對任意滿足的實(shí)數(shù)有分析 由消去一個未知數(shù)z，再整理成關(guān)于y的二次不等式，對x恒成立，即可得證證明 由題意，則將代入不等式左邊得，不等式左邊=（1）當(dāng)，易證不等式左邊成立；（2）當(dāng)，整理成y的二次方程，證0左邊，由，不等式左邊成立情景再現(xiàn)7證明：對于任意ABC，不等式acosA+bcosB+ccosCp成立，其中a、b、c

13、為三角形的三邊，A、B、C分別為它們的對角，p為半周長（第十六屆全俄數(shù)學(xué)競賽題）8設(shè)是一個銳角三角形的三個內(nèi)角，求證：習(xí)題1求證：對所有實(shí)數(shù)，均有2在銳角三角形ABC中，求證： 3在銳角三角形ABC中求證： 4求證：5已知，能否以的值為邊長，構(gòu)成一個三角形？6已知為銳角，求證：7已知A+B+C=，求證：8在三角形ABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，求證：9設(shè)A、B、C為銳角三角形之內(nèi)角，n為自然數(shù)，求證：（93年第三屆澳門數(shù)學(xué)奧林匹克賽題）10已知，求證：11設(shè)P是三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PAB，PBC，PCA中至少有一個小于或等于30°12解方程（1995年全俄競賽題）本

14、節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1證明：銳角三角形可知A+B，從而A-B，從而，同理，三式相加得證2證明：由已知得及知，從而，要證，只須證明，由于，于是問題歸結(jié)為證，即，而上式顯然成立，因此原不等式成立3證法一：當(dāng)x(0,)時(shí)，0<sinx<x<,sinsinx<sinx,再比較sinx與coscosx的大小，由sinx=cos(-x)，即比較(-x)與cosx，而cosx=sin(-x),因此(-x)cosx，從而cos(-x)< coscosx，即sinx<coscosx，從而得證證法二： sinx+cosx，即0<cosx<-sinx<，所以co

15、s(cosx)>cos(-sinx)=sin(sinx)4證明：（1）由琴生不等式即得（2），從而得證5解：由條件知，于是=，當(dāng)時(shí)取等號，故最小值為（y與z相等，且x達(dá)到最大時(shí)，乘積有最小值）又=，且當(dāng)時(shí)等號成立，故的取大值為6證明：設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此7證明：因?yàn)閏osx（x（0，）遞減，所以a-b與cosA-cosB異號，從而（a-b）（cosA-cosB）0即acosA+bcosBacosB+bcosA=C （l）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立同理acosA+ccosCb （2）bcosB+ccosCa （3），即得所要證的不等式8證明：，同理得另兩個，命題得證“習(xí)題”解答：1證

16、明：顯然成立，下面證明等號不能成立用反證法若等號成立，則，則，則，則，不可能為奇數(shù)，因此，因此等號不成立2證明：銳角三角形可知A+B，從而A-B，從而，同理，三式相乘得從而可得3解：，三式相加得證4證明：又， ，又，由正弦函數(shù)在上的單調(diào)性可知，原不等式成立5證法一：，因此可以構(gòu)成三角形證法二：在直徑為1的圓內(nèi)作內(nèi)接三角形ABC，使，則，因此可構(gòu)成三角形6解：左7證：左8分析：注意到可寫成A+B+C，故即證：3(aA+bB+cC)(a+b+c),即證3(aA+bB+cC)(a+b+c)（A+B+C），即證(a-b)(A-B)+(b-c)(B-C)+(c-a)(C-A)0，由大邊對大角得上式成立9證明：設(shè)，則，而，代入得，故10證明：要證原不等式，即證，即上式中將看作變量，看作常數(shù)，考慮從左邊向右邊轉(zhuǎn)化即證即因?yàn)?，同理可得，從而原不等式成?1證明：如圖，PAsin=PB sin5，PBsin2=PC sin6，PCsin3=PA sin4，三式相乘得sinsin2 sin3= sin4 sin5 sin6，因此有(sinsin2 sin3)2= s