高中數(shù)學北師大版必修4學案：1.5 正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含解析

1、§5正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)5.1正弦函數(shù)的圖像5.2正弦函數(shù)的性質(zhì)1了解利用單位圓中的正弦線畫正弦曲線的方法(重點)2掌握“五點法”畫正弦曲線的方法和步驟，能用“五點法”作出簡單的正弦曲線(難點)3能用正弦函數(shù)的圖像理解和記憶正弦函數(shù)的性質(zhì)(重點、難點)基礎·初探教材整理1“五點法”作正弦函數(shù)的圖像閱讀教材P25P27“例1”以上部分，完成下列問題在函數(shù)ysin x，x0,2的圖像上，起著關鍵作用的有五個關鍵點：(0,0)，(，0)，(2，0)描出這五個點后，函數(shù)ysin x，x0,2的圖像就基本上確定了因此，在精確度要求不太高時，我們常常先找出這五個關鍵點，然后用光滑曲線順

2、次將它們連接起來，就得到這個函數(shù)的簡圖我們稱這種畫正弦函數(shù)曲線的方法為“五點法”如圖151.圖151判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)ysin x在0,2和4，6上的圖像形狀相同，只是位置不同()(2)函數(shù)ysin x的圖像介于直線y1和y1之間()(3)函數(shù)ysin x的圖像關于x軸對稱()(4)函數(shù)ysin x的圖像與y軸只有一個交點()【解析】由函數(shù)ysin x的圖像可知，ysin x的圖像不關于x軸對稱，與y軸只有一個交點，且圖像介于直線y1和y1之間，在0,2和4，6上的圖像形狀相同，而位置不同【答案】(1)(2)(3)×(4)教材整理2正弦函數(shù)的性質(zhì)

3、閱讀教材P28P29“例2”以上部分，完成下列問題性質(zhì)定義域R值域1,1最大值與最小值當x2k(kZ)時，ymax1；當x2k(kZ)時，ymin1周期性周期函數(shù)，T2單調(diào)性在(kZ)上是增加的；在(kZ)上是減少的奇偶性奇函數(shù)對稱性圖像關于原點對稱，對稱中心(k，0)，kZ；對稱軸xk，kZ判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)正弦函數(shù)ysin x的定義域為R.()(2)正弦函數(shù)ysin x是單調(diào)增函數(shù)()(3)正弦函數(shù)ysin x是周期函數(shù)()(4)正弦函數(shù)ysin x的最大值為1，最小值是1.()【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，(1)(3)(4)均正確，對于(2)，正弦函數(shù)在(k

4、Z)上是單調(diào)增函數(shù)，在R上不具有單調(diào)性【答案】(1)(2)×(3)(4)質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型五點法作圖用“五點法”畫出函數(shù)y3sin x(x0,2)的圖像【精彩點撥】借助于五點作圖法按下列次序完成：列表描點連線成圖【自主解答】(1)列表，如下表所示：x02ysin x01010y3sin x32343(2)描點，連線，如圖所示：1解答本題的關鍵是要抓住五個關鍵點使函數(shù)中x取0，2，然后相應求出y值，再作出圖像2五點法作圖是畫三角函數(shù)的簡圖的常用方法，作圖過程中要注重

5、整體代換思想的運用，特別是在取值、描點上，這五點主要指函數(shù)的零點及最大值、最小值點，連線要保持平滑，注意凸凹方向再練一題1作出函數(shù)y12sin x，x0,2的簡圖【解】按五個關鍵點列表：x02sin x0101012sin x11131利用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點連線作圖，如圖：與正弦函數(shù)有關的定義域問題求下列函數(shù)的定義域(1)y；(2)y.【精彩點撥】先根據(jù)條件，求出sin x的取值范圍，再借助于單位圓或正弦線或正弦函數(shù)的圖像解決【自主解答】(1)為使函數(shù)有意義，需滿足12sin2x0，即sin2 x，解得sin x，結合單位圓可知，2kx2k或2kx2k(kZ)原函數(shù)的定義域為(kZ)(2)為使

6、函數(shù)有意義，需滿足即正弦函數(shù)和單位圓如圖所示：定義域為.1求函數(shù)的定義域通常是解不等式組，利用“數(shù)形結合”，借助于數(shù)軸畫線求交集的方法進行在求解三角函數(shù)，特別是綜合性較強的三角函數(shù)的定義域時，我們同樣可以利用“數(shù)形結合”，在單位圓中畫三角函數(shù)線，求表示各三角不等式解集的扇形區(qū)域的交集來完成2求三角函數(shù)的定義域要注意三角函數(shù)本身的特征和性質(zhì)，如在轉化為不等式或不等式組后，要注意三角函數(shù)的符號及單調(diào)性，在進行三角函數(shù)的變形時，要注意三角函數(shù)的每一步變形都要保持恒等，即不能改變原函數(shù)的自變量的取值范圍再練一題2求函數(shù)y的定義域. 【導學號：66470014】【解】要使函數(shù)有意義，只需2 sin x0

7、.即sin x，如圖所示，在區(qū)間上，適合條件的x的取值范圍是x.所以該函數(shù)的定義域是(kZ)正弦函數(shù)的周期性與奇偶性求下列函數(shù)的周期，并判斷其奇偶性(1)ysin(xR)；(2)y|sin x|(xR)【精彩點撥】(1)利用代換z2x，將求原來函數(shù)的周期轉化為求ysin z的周期求解，或利用公式求解(2)作出函數(shù)圖像觀察求解【自主解答】(1)法一：令z2x，xR，zR，函數(shù)ysin z的最小正周期是2，就是說變量z只要且至少要增加到z2，函數(shù)ysin z(zR)的值才能重復取得，而z22x22(x)，所以自變量x只要且至少要增加到x，函數(shù)值才能重復取得，從而函數(shù)f(x)sin(xR)的周期是.

8、法二：f(x)sin中，2，T.又sinsin，且sinsin，ysin是非奇非偶函數(shù)(2)作出y|sin x|的圖像如圖：由圖像可知，y|sin x|的周期為.其圖像關于y軸對稱，y|sin x|是偶函數(shù)1利用周期函數(shù)的定義求三角函數(shù)的周期，關鍵是抓住變量“x”增加到“xT”，函數(shù)值重復出現(xiàn)，T是函數(shù)的一個周期這一理論依據(jù)2常見三角函數(shù)周期的求法(1)對于形如函數(shù)yAsin(x)，0的周期求法，通常用定義T來求解；(2)對于形如y|Asin x|的周期情況，常結合圖像法來解決再練一題3求下列函數(shù)的周期，并判斷其奇偶性(1)f(x)2sin；(2)f(x)|sin 2x|.【解】(1)在f(x

9、)2sin中，T4.又f(x)f(x)，且f(x)f(x)，f(x)2sin是非奇非偶函數(shù)(2)作出f(x)|sin 2x|的圖像如圖：由圖知，y|sin 2x|的周期為，又其圖像關于y軸對稱，因而是偶函數(shù)正弦函數(shù)的單調(diào)性(1)比較下列各組三角函數(shù)值的大小sin 與sin；sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)(2)求函數(shù)ysin的單調(diào)遞增區(qū)間【精彩點撥】(1)將所給角通過誘導公式化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用ysin x的單調(diào)性比較大小(2)將視為z，利用ysin z的單調(diào)性求解【自主解答】(1)sinsin，sinsin，sin>sin，所以sin<sin

10、.因為sin 2sin(2)，sin 3sin(3)，且0<3<2<.函數(shù)ysin x在上是增加的，所以sin(2)>sin 1>sin(3)>0，即sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.(2)ysinsin.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.1比較sin 與sin 的大小時，可利用誘導公式，把sin 與sin 轉化為同一單調(diào)區(qū)間上的正弦值，再借助于正弦函數(shù)的單調(diào)性來進行比較2比較sin 與cos 的大小，常把cos 轉化為sin后，再依據(jù)單調(diào)性進行比較3當不能將兩角轉到同一單調(diào)區(qū)間上時，還

11、可以借助于圖像或值的符號比較4在求形如yA sin(x)(A>0，>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應采用“換元法”整體代換，將“x”看作一個整體“z”，即通過求yA sin z的單調(diào)區(qū)間求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間再練一題4比較sin與sin的大小【解】sinsinsin，sinsinsin.0<<<.又ysin x在上單調(diào)遞增sin<sin，即sin<sin.探究共研型與正弦函數(shù)有關的值域問題探究1求函數(shù)值域時首先應注意什么？【提示】求解函數(shù)值域時首先應看函數(shù)的定義域，在函數(shù)定義域內(nèi)來求值域探究2對于yA sin2xBsin xC型的函數(shù)怎樣求值域？【提示】利用換元

12、法轉化為二次函數(shù)求最值求下列函數(shù)的值域(1)y32 sin x；(2)ysin2xsin x.【精彩點撥】(1)利用|sin x|1即可求解(2)配方求解，要注意|sin x|1這一情況【自主解答】(1)1sin x1，1sin x1，132 sin x5，函數(shù)y32 sin x的值域為1,5(2)令tsin x，則1t1，yt2t22，當t時，ymax2.此時sin x，即x2k或x2k，kZ.當t1時，ymin.此時sin x1，即x2k，kZ.函數(shù)ysin2x sin x的值域為.此類求復合函數(shù)最大值、最小值問題關鍵在于依據(jù)函數(shù)值的計算過程，把原函數(shù)轉化為兩個基本初等函數(shù)的最大(小)值問

13、題解答過程要特別注意：內(nèi)函數(shù)(本例中tsin x)的值域恰好是外函數(shù)的定義域再練一題5求函數(shù)ysin2x4 sin x1的值域【解】ysin2x4 sin x1(sin x2)25.由1sin x1，得當sin x1時函數(shù)的最大值為4，當sin x1時，函數(shù)的最小值為4，所以函數(shù)的值域為4,4 .構建·體系1正弦函數(shù)ysin x，xR的圖像上的一條對稱軸是() 【導學號：66470015】Ay軸Bx軸C直線x D直線x【解析】結合函數(shù)ysin x，xR的圖像可知直線x是函數(shù)的一條對稱軸【答案】C2函數(shù)f(x)3sin x的最小正周期是()ABCD2【解析】由3sin(2x)3sin

14、x知f(x)的最小正周期為2.【答案】D3f(x)2 sin x在上的最大值為_【解析】f(x)2 sin x在上是減少的，所以f(x)max2·sin.【答案】4函數(shù)f(x)sin2x1的奇偶性是_【解析】f(x)sin(x)21sin2x1f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)【答案】偶函數(shù)5比較下列各組數(shù)的大小(1)sin 2 016°和cos 160°；(2)sin和cos.【解】(1)sin 2 016°sin(360°×5216°)sin 216°sin(180°36°)sin 36°，cos 160°cos(180°