圓周角和圓心角的關(guān)系

1、3.3 3.3 圓周角和圓心角的圓周角和圓心角的關(guān)系關(guān)系(1)(1)大興學(xué)校 卿麗萍圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系A(chǔ)BCDOABOABO相等的圓心角所對(duì)的弧相等，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等所對(duì)的弦相等圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系A(chǔ)BCDOABOABO如果兩個(gè)如果兩個(gè)圓心角圓心角、 兩條兩條弧弧、 兩條兩條弦弦中有中有一組量一組量相等，相等，中有中有一組量一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量其余各組量都分別都分別相等相等1.圓心角的定義圓心角的定義?.OBC答答:頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.OBC 我們把頂點(diǎn)在圓心的周角等我們把頂點(diǎn)在圓

2、心的周角等分成分成360360份時(shí)，每一份的份時(shí)，每一份的圓心角圓心角是是1 1的角。的角。 在同圓或等圓中，圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的在同圓或等圓中，圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等弧的度數(shù)相等。 因?yàn)橥瑘A中相等的圓心角所因?yàn)橥瑘A中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以整個(gè)圓也被對(duì)的弧相等，所以整個(gè)圓也被等分成等分成360360份。我們把每一份這份。我們把每一份這樣的樣的弧弧叫做叫做1 1的弧。的弧。在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有哪些點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有哪些? ?BC當(dāng)角的頂點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)角的位置有哪幾種情況當(dāng)角的頂點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)角的位置有哪幾種情況? ?A.O.O.O.A.

3、A.BCBC圓周角圓周角.OBCA特征：特征： 角的頂點(diǎn)在圓上角的頂點(diǎn)在圓上. 角的兩邊都與圓相交角的兩邊都與圓相交.圓周角定義圓周角定義: 頂點(diǎn)在圓上頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角并且兩邊都和圓相交的角叫叫圓周角圓周角.練習(xí)：練習(xí)：1.判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由。判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖2、指出圖中的圓周角。、指出圖中的圓周角。ABCO有沒(méi)有圓周角？有沒(méi)有圓周角？有沒(méi)有圓心角？有沒(méi)有圓心角？它們有什么共同的特點(diǎn)？它們有什么共同的特點(diǎn)？它們都對(duì)著它們都對(duì)著同一條弧所對(duì)的同一條弧所對(duì)的ABCOAB

4、COABCOABCODABCOD 下列圖形中，哪些圖形中的圓心角下列圖形中，哪些圖形中的圓心角BOCBOC和圓周角和圓周角AA是同對(duì)一條弧。是同對(duì)一條弧。 ABCOABCO 自己動(dòng)手量一量自己動(dòng)手量一量同一條弧同一條弧所對(duì)的圓心角和所對(duì)的圓心角和圓周角分別是多少度？圓周角分別是多少度？一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 n 為了解決這個(gè)問(wèn)題為了解決這個(gè)問(wèn)題, ,我們先探究一條弧所對(duì)的圓我們先探究一條弧所對(duì)的圓 周角和圓心角之間有的關(guān)系周角和圓心角之間有的關(guān)系. .類(lèi)比圓心角類(lèi)比圓心角探知探知圓周角圓周角 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的

5、相等的弧弧所對(duì)的所對(duì)的圓心角圓心角相等相等. . 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的相等的弧弧所對(duì)的所對(duì)的圓周角圓周角有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 想一想想一想OOOABCABCABC圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 如圖如圖, ,觀(guān)察觀(guān)察弧弧ACAC所對(duì)的所對(duì)的圓周角圓周角ABCABC與與圓心角圓心角AOCAOC, ,它們的大小有什么關(guān)系它們的大小有什么關(guān)系? ? 說(shuō)說(shuō)你的想法說(shuō)說(shuō)你的想法,并與同伴交流并與同伴交流. 議一議議一議n教師提示教師提示:注意圓心與圓周角的位置關(guān)系注意圓心與圓周角的位置關(guān)系.OABCOABCOABC圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 1 1. .首

6、先考慮一種特殊情況：首先考慮一種特殊情況： 當(dāng)當(dāng)圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的一邊的一邊(BC)(BC)上時(shí)上時(shí), ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系的大小關(guān)系. . 議一議議一議nAOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，nAOC=B+A.AOC=B+A.nOA=OBOA=OB，OABCnA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎? ?一條弧所對(duì)的一條弧所對(duì)的圓周角圓周角等于它所等于它所對(duì)的對(duì)的圓心角圓心角的一半的一半. .老師期望老師期望:你可

7、要理你可要理解并掌握解并掌握這個(gè)模型這個(gè)模型.圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 如果圓心不在圓周角的一邊上如果圓心不在圓周角的一邊上, ,結(jié)果會(huì)怎樣結(jié)果會(huì)怎樣? ? 2.2.當(dāng)當(dāng)圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的內(nèi)部時(shí)的內(nèi)部時(shí), ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣的大小關(guān)系會(huì)怎樣? ? 議一議議一議n老師提示老師提示: :能否轉(zhuǎn)化為能否轉(zhuǎn)化為1 1的情況的情況? ?n過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎? ?一條弧所

8、對(duì)的一條弧所對(duì)的圓周角圓周角等于它所等于它所對(duì)的對(duì)的圓心角圓心角的一半的一半. .ABCDnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 如果圓心不在圓周角的一邊上如果圓心不在圓周角的一邊上, ,結(jié)果會(huì)怎樣結(jié)果會(huì)怎樣? ? 3.3.當(dāng)當(dāng)圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的外部時(shí)的外部時(shí), ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣的大小關(guān)系會(huì)怎樣? ? 議一議議一議n老師提示老師提示: :能否也轉(zhuǎn)化為能否也轉(zhuǎn)化為1 1的情況的情況? ?n過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B B作直徑作直

9、徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎? ?一條弧所對(duì)的圓周角等于它所一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半對(duì)的圓心角的一半. .DnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121ABC圓周角圓周角定理定理 綜上所述綜上所述, ,圓周角圓周角ABCABC與與圓心角圓心角AOCAOC的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是: : 圓周角定理圓周角定理: :一條弧所對(duì)的一條弧所對(duì)的圓周角圓周角等于它所對(duì)等于它所對(duì) 的的圓心角圓心角的一半的一半. . 議一議議一議n老師提示老師提示:圓

10、周角定理是承上啟下的知識(shí)點(diǎn)圓周角定理是承上啟下的知識(shí)點(diǎn),要予以重視要予以重視.OABCOABCOABC即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21練習(xí)：練習(xí)：2.如圖，圓心角如圖，圓心角AOB=100，則，則ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圓中角求圓中角X的度數(shù)的度數(shù)AO.X120130AO.X120 C C D B3、 如圖，在直徑為如圖，在直徑為AB的半圓中，的半圓中，O為圓心，為圓心，C、D為半為半圓上的兩點(diǎn)，圓上的兩點(diǎn)，COD=500，則，則CAD=_.做做看，收獲知多少？做做看，收獲知多少？一、判斷一、判斷1 1、頂點(diǎn)在圓上的角叫圓周角。、頂點(diǎn)在圓上的角叫圓周角。2

11、2、圓周角的度數(shù)等于所對(duì)弧的度數(shù)的一半。、圓周角的度數(shù)等于所對(duì)弧的度數(shù)的一半。二、計(jì)算二、計(jì)算1 1、半徑為、半徑為R R的圓中，有一弦分圓周成的圓中，有一弦分圓周成1 1：2 2兩兩部分，則弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是部分，則弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是 。O6060或或1201202 2、如圖、如圖, ,在在OO中中,BOC=50,BOC=50, , 求求AA的大小的大小. .OBAC解解: A= BOC = 25: A= BOC = 25. .21習(xí)題習(xí)題1.如圖：如圖：OA、OB、OC都是都是 O的半徑的半徑 AOB=2BOC.求證：求證：ACB=2BAC.證明：證明：ACB= AOB12BAC=

12、 BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 規(guī)律規(guī)律:解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問(wèn)題解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問(wèn)題,要準(zhǔn)確找出要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角同弧所對(duì)的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周角定理然后再靈活運(yùn)用圓周角定理分析分析:AB所對(duì)圓周角是所對(duì)圓周角是ACB, 圓心角是圓心角是AOB. 則則ACB= AOB. BC所對(duì)圓周角是所對(duì)圓周角是 BAC , 圓心角是圓心角是BOC, 則則 BAC= BOC 21_21_習(xí)題習(xí)題1.如圖：如圖：OA、OB、OC都是都是 O的半徑的半徑 AOB=2BOC.求證：求證：ACB=2BAC.證明：證明：ACB= AOB12

13、BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 規(guī)律規(guī)律:解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問(wèn)題解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問(wèn)題,要準(zhǔn)確找出要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角同弧所對(duì)的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周角定理然后再靈活運(yùn)用圓周角定理分析分析:AB所對(duì)圓周角是所對(duì)圓周角是ACB, 圓心角是圓心角是AOB. 則則ACB= AOB. BC所對(duì)圓周角是所對(duì)圓周角是 BAC , 圓心角是圓心角是BOC, 則則 BAC= BOC 21_21_思考題思考題：如圖，在如圖，在 O中中, CE=BD, DE=2BC， EOD=64，求，求 A的度的度數(shù)。數(shù)。ABCDEO一一 、這節(jié)課

14、主要學(xué)習(xí)了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：、這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1、圓周角定義。、圓周角定義。2、圓周角定理及其定理應(yīng)用。、圓周角定理及其定理應(yīng)用。二、方法上主要學(xué)習(xí)了圓周角定理的證二、方法上主要學(xué)習(xí)了圓周角定理的證明滲透了明滲透了“特殊到一般特殊到一般”的思想方法和的思想方法和分類(lèi)討論的思想方法。分類(lèi)討論的思想方法。三、圓周角及圓周角定理的應(yīng)用極其廣三、圓周角及圓周角定理的應(yīng)用極其廣泛，也是中考的一個(gè)重要考點(diǎn)，望同學(xué)泛，也是中考的一個(gè)重要考點(diǎn)，望同學(xué)們靈活運(yùn)用們靈活運(yùn)用 2. 2.如圖如圖(2),(2),在在OO中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系? ? 為什么為什么? ? 3. 3.如圖如圖(3),AB(3),AB是直徑是直徑, ,你能確定你能確定CC的度數(shù)嗎的度數(shù)嗎?