高中數(shù)學(xué) 函數(shù)的奇偶性與周期性

1、2.4 函數(shù)的奇偶性與周期性一、填空題1設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時，f(x)2x(1x)，則f_.解析fff2××.答案2.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),則a= . 解析 由函數(shù)為奇函數(shù)得到f(0)=0,即0. 所以a=0. 答案 0 3設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為3，f(1)1，則f(2 011)_解析因為f(x)f(x)，f(x3)f(x)，f(1)1，所以f(1)1，f(2 011)f(3×6701)f(1)1.答案14已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，當(dāng)x0,2時，f(x)2x，則f(9)_.解析由題意，得f(x)f(x)，f(x)f(4x)，所

2、以f(9)f(49)f(5)f(5)f(1)2.答案25.若y=f(x)是奇函數(shù),且在內(nèi)是增函數(shù),又f(3)=0,則xf(x)<0的解集是 _.解析 因為f(x)在內(nèi)是增函數(shù),f(3)=0, 所以當(dāng)0<x<3時,f(x)<0; 當(dāng)x>3時,f(x)>0. 又因為f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,所以當(dāng)-3<x<0時,f(x)>0; 當(dāng)x<-3時,f(x)<0. 可見xf(x)<0的解集是x|-3<x<0或0<x<3. 答案 x|-3<x<0或0<x<3 6函數(shù)f(x)是奇

3、函數(shù)，且在1,1上是單調(diào)增函數(shù)，又f(1)1，則滿足f(x)t22at1對所有的x1,1及a1,1都成立的t的取值范圍是_解析由題意，f(x)maxf(1)f(1)1，所以t22at11，即t22at0對a1,1恒成立，t0時，顯然成立；t0時，由t2a恒成立，得t2；t0時，由t2a恒成立，得t2.綜上，得t2或t0或t2.答案(，202，)7設(shè)f(x)是定義在(，)上的奇函數(shù)，且f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時，f(x)x，則f(7.5)_.解析 由題意得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(7.5)f(7.58)f(0.5)f(0.5)0.5.答

4、案 0.58已知函數(shù)f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函數(shù)，則k的值為_解析由f(x)f(x)，得log4(4x1)kxlog4(4x1)kx，即2kxlog4log4(4x1)log4x，所以k.答案9若偶函數(shù)f(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式f(1)f(lg x)的解集是_解析因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(|x|)，于是由f(1)f(lg x)，得f(1)f(|lg x|)，又由f(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)遞減得f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以有|lg x|1，即lg x1或lg x1，解得x或x10.答案(10，)10已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(

5、x)12x，則不等式f(x)的解集是_解析若x0，則由f(x)12x，得x，這與x0時，x1矛盾若x0，則由f(x)為奇函數(shù)，得f(x)f(x)12x，得2x21，解得x1.答案(，1)11定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f(x)的判斷：f(x)是周期函數(shù)；f(x)關(guān)于直線x1對稱；f(x)在0,1上是增函數(shù)；f(x)在1,2上是減函數(shù)；f(2)f(0)其中正確的序號是_解析f(x1)f(x)，f(x)f(x1)f(x11)f(x2)，f(x)是周期為2的函數(shù)，正確又f(x2)f(x)f(x)，f(x)f(2x)，yf(x)的圖象關(guān)于x1對稱

6、，正確又f(x)為偶函數(shù)且在1,0上是增函數(shù)，f(x)在0,1上是減函數(shù)又對稱軸為x1，f(x)在1,2上為增函數(shù)，f(2)f(0)，故錯誤，正確答案12函數(shù)yf(x)與yg(x)有相同的定義域，且都不是常值函數(shù)，對于定義域內(nèi)的任何x，有f(x)f(x)0，g(x)g(x)1，且當(dāng)x0時，g(x)1，則F(x)f(x)的奇偶性為_解析因為f(x)f(x)，g(x)，所以F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)f(x)F(x)所以F(x)是偶函數(shù)答案偶函數(shù)13已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足條件ff(x)，且函數(shù)yf為奇函數(shù)，給出以下四個命題：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；函數(shù)f(

7、x)的圖象關(guān)于點對稱；函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，其中真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號)解析由ff(x)，得f(x3)ff(x)，所以正確由yf為奇函數(shù)，得f(x)圖象關(guān)于點對稱，所以不正確由ff，得f(x)f，又ff(x)，所以ff，所以f(x)是偶函數(shù)，正確由正確知不正確答案二、解答題14設(shè)f(x)exaex(aR，xR)(1)討論函數(shù)g(x)xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是個偶函數(shù)，解不等式f(x22)f(x)解析(1)a1時，f(x)exex是偶函數(shù)，所以g(x)xf(x)是奇函數(shù)；a1時，f(x)exex是奇函數(shù)，所以g(x)xf(x)是偶函

8、數(shù)a±1，由f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，得g(x)xf(x)是非奇非偶函數(shù)(2)當(dāng)g(x)是偶函數(shù)時，a1，f(x)exex是R上的單調(diào)增函數(shù)，于是由f(x22)f(x)得x22x，即x2x20，解得1x2.15.已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). (1)求實數(shù)m的值; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.解析 (1)設(shè)x<0, 則-x>0, 所以f(-x)=. 又f(x)為奇函數(shù), 所以f(-x)=-f(x). 于是x<0時所以m=2. (2)要使f(x)在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖象（略）知 所以故實數(shù)a的取值范圍是(1,3.16. 已知函數(shù)f(x

9、)，當(dāng)x，yR時，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)如果xR，f(x)<0，并且f(1)，試求f(x)在區(qū)間2,6上的最值解析 (1)證明：函數(shù)f(x)的定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱f(xy)f(x)f(y)，令yx，f(0)f(x)f(x)令xy0，f(0)f(0)f(0)，得f(0)0.f(x)f(x)0，得f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(2)法一：設(shè)x，yR，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)xR，f(x)<0，f(xy)f(x)<0，f(xy)<f(x)xy>x，f(x)在(0，)上是減函數(shù)又f(

10、x)為奇函數(shù)，f(0)0，f(x)在(，)上是減函數(shù)f(2)為最大值，f(6)為最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在區(qū)間2,6上的最大值為1，最小值為3.法二：設(shè)x1<x2，且x1，x2R.則f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)x2x1>0，f(x2x1)<0.f(x2)f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減f(2)為最大值，f(6)為最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在區(qū)間2,6上的最大值為1，最小值為3.1

11、7已知函數(shù)f(x)(a0)是奇函數(shù)，并且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,3)(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的值域解析(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)所以.因為a0，所以xbxb.所以b0.又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,3)，所以f(1)3.所以3.因為b0，故a2.(2)由(1)知f(x)2x(x0)當(dāng)x0時，2x22，當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時取等號當(dāng)x0時，(2x)2 2.所以2x2.當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時取等號綜上可知，函數(shù)f(x)的值域為(，22，)18設(shè)f(x)loga為奇函數(shù)，g(x)f(x)loga(x1)(ax1)(a1，且m1)(1)求m的值；(2)求g(x)的定義域；(3)若g(x)在上恒正，求a的取值范圍解析(1)f(x)是奇函數(shù)