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文檔簡介
1、2.4 函數(shù)的奇偶性與周期性一、填空題1設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0x1時,f(x)2x(1x),則f_.解析fff2××.答案2.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),則a= . 解析 由函數(shù)為奇函數(shù)得到f(0)=0,即0. 所以a=0. 答案 0 3設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為3,f(1)1,則f(2 011)_解析因為f(x)f(x),f(x3)f(x),f(1)1,所以f(1)1,f(2 011)f(3×6701)f(1)1.答案14已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱,當(dāng)x0,2時,f(x)2x,則f(9)_.解析由題意,得f(x)f(x),f(x)f(4x),所
2、以f(9)f(49)f(5)f(5)f(1)2.答案25.若y=f(x)是奇函數(shù),且在內(nèi)是增函數(shù),又f(3)=0,則xf(x)<0的解集是 _.解析 因為f(x)在內(nèi)是增函數(shù),f(3)=0, 所以當(dāng)0<x<3時,f(x)<0; 當(dāng)x>3時,f(x)>0. 又因為f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,所以當(dāng)-3<x<0時,f(x)>0; 當(dāng)x<-3時,f(x)<0. 可見xf(x)<0的解集是x|-3<x<0或0<x<3. 答案 x|-3<x<0或0<x<3 6函數(shù)f(x)是奇
3、函數(shù),且在1,1上是單調(diào)增函數(shù),又f(1)1,則滿足f(x)t22at1對所有的x1,1及a1,1都成立的t的取值范圍是_解析由題意,f(x)maxf(1)f(1)1,所以t22at11,即t22at0對a1,1恒成立,t0時,顯然成立;t0時,由t2a恒成立,得t2;t0時,由t2a恒成立,得t2.綜上,得t2或t0或t2.答案(,202,)7設(shè)f(x)是定義在(,)上的奇函數(shù),且f(x2)f(x),當(dāng)0x1時,f(x)x,則f(7.5)_.解析 由題意得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x),所以f(x)是以4為周期的函數(shù),所以f(7.5)f(7.58)f(0.5)f(0.5)0.5.答
4、案 0.58已知函數(shù)f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函數(shù),則k的值為_解析由f(x)f(x),得log4(4x1)kxlog4(4x1)kx,即2kxlog4log4(4x1)log4x,所以k.答案9若偶函數(shù)f(x)在(,0)內(nèi)單調(diào)遞減,則不等式f(1)f(lg x)的解集是_解析因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x)f(|x|),于是由f(1)f(lg x),得f(1)f(|lg x|),又由f(x)在(,0)內(nèi)單調(diào)遞減得f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,所以有|lg x|1,即lg x1或lg x1,解得x或x10.答案(10,)10已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(
5、x)12x,則不等式f(x)的解集是_解析若x0,則由f(x)12x,得x,這與x0時,x1矛盾若x0,則由f(x)為奇函數(shù),得f(x)f(x)12x,得2x21,解得x1.答案(,1)11定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x),且在1,0上是增函數(shù),給出下列關(guān)于f(x)的判斷:f(x)是周期函數(shù);f(x)關(guān)于直線x1對稱;f(x)在0,1上是增函數(shù);f(x)在1,2上是減函數(shù);f(2)f(0)其中正確的序號是_解析f(x1)f(x),f(x)f(x1)f(x11)f(x2),f(x)是周期為2的函數(shù),正確又f(x2)f(x)f(x),f(x)f(2x),yf(x)的圖象關(guān)于x1對稱
6、,正確又f(x)為偶函數(shù)且在1,0上是增函數(shù),f(x)在0,1上是減函數(shù)又對稱軸為x1,f(x)在1,2上為增函數(shù),f(2)f(0),故錯誤,正確答案12函數(shù)yf(x)與yg(x)有相同的定義域,且都不是常值函數(shù),對于定義域內(nèi)的任何x,有f(x)f(x)0,g(x)g(x)1,且當(dāng)x0時,g(x)1,則F(x)f(x)的奇偶性為_解析因為f(x)f(x),g(x),所以F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)f(x)F(x)所以F(x)是偶函數(shù)答案偶函數(shù)13已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足條件ff(x),且函數(shù)yf為奇函數(shù),給出以下四個命題:函數(shù)f(x)是周期函數(shù);函數(shù)f(
7、x)的圖象關(guān)于點對稱;函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù);函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),其中真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號)解析由ff(x),得f(x3)ff(x),所以正確由yf為奇函數(shù),得f(x)圖象關(guān)于點對稱,所以不正確由ff,得f(x)f,又ff(x),所以ff,所以f(x)是偶函數(shù),正確由正確知不正確答案二、解答題14設(shè)f(x)exaex(aR,xR)(1)討論函數(shù)g(x)xf(x)的奇偶性;(2)若g(x)是個偶函數(shù),解不等式f(x22)f(x)解析(1)a1時,f(x)exex是偶函數(shù),所以g(x)xf(x)是奇函數(shù);a1時,f(x)exex是奇函數(shù),所以g(x)xf(x)是偶函
8、數(shù)a±1,由f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),得g(x)xf(x)是非奇非偶函數(shù)(2)當(dāng)g(x)是偶函數(shù)時,a1,f(x)exex是R上的單調(diào)增函數(shù),于是由f(x22)f(x)得x22x,即x2x20,解得1x2.15.已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). (1)求實數(shù)m的值; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.解析 (1)設(shè)x<0, 則-x>0, 所以f(-x)=. 又f(x)為奇函數(shù), 所以f(-x)=-f(x). 于是x<0時所以m=2. (2)要使f(x)在上單調(diào)遞增,結(jié)合的圖象(略)知 所以故實數(shù)a的取值范圍是(1,3.16. 已知函數(shù)f(x
9、),當(dāng)x,yR時,恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求證:f(x)是奇函數(shù);(2)如果xR,f(x)<0,并且f(1),試求f(x)在區(qū)間2,6上的最值解析 (1)證明:函數(shù)f(x)的定義域為R,其定義域關(guān)于原點對稱f(xy)f(x)f(y),令yx,f(0)f(x)f(x)令xy0,f(0)f(0)f(0),得f(0)0.f(x)f(x)0,得f(x)f(x),f(x)為奇函數(shù)(2)法一:設(shè)x,yR,f(xy)f(x)f(y),f(xy)f(x)f(y)xR,f(x)<0,f(xy)f(x)<0,f(xy)<f(x)xy>x,f(x)在(0,)上是減函數(shù)又f(
10、x)為奇函數(shù),f(0)0,f(x)在(,)上是減函數(shù)f(2)為最大值,f(6)為最小值f(1),f(2)f(2)2f(1)1,f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在區(qū)間2,6上的最大值為1,最小值為3.法二:設(shè)x1<x2,且x1,x2R.則f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)x2x1>0,f(x2x1)<0.f(x2)f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減f(2)為最大值,f(6)為最小值f(1),f(2)f(2)2f(1)1,f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在區(qū)間2,6上的最大值為1,最小值為3.1
11、7已知函數(shù)f(x)(a0)是奇函數(shù),并且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,3)(1)求實數(shù)a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)的值域解析(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(x)f(x)所以.因為a0,所以xbxb.所以b0.又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,3),所以f(1)3.所以3.因為b0,故a2.(2)由(1)知f(x)2x(x0)當(dāng)x0時,2x22,當(dāng)且僅當(dāng)2x,即x時取等號當(dāng)x0時,(2x)2 2.所以2x2.當(dāng)且僅當(dāng)2x,即x時取等號綜上可知,函數(shù)f(x)的值域為(,22,)18設(shè)f(x)loga為奇函數(shù),g(x)f(x)loga(x1)(ax1)(a1,且m1)(1)求m的值;(2)求g(x)的定義域;(3)若g(x)在上恒正,求a的取值范圍解析(1)f(x)是奇函數(shù)
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