習(xí)題1-3-行列式的性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1、用行列式的性質(zhì)計(jì)算下列行列式：；【分析】可見行列式中1，2兩列元素大部分?jǐn)?shù)字是相等的，列差同為1000，易于化為下三角行列式，于是，【解法一】?！窘夥ǘ?。；【分析】各行、列都有公因，抽出后再行計(jì)算?！窘狻俊?；【分析】將第一行加到以下各行即成為上三角行列式，【解】。2、把下列行列式化為上三角形行列式，并計(jì)算其值：；【解法一】?！窘夥ǘ俊！痉治觥吭撔辛惺綄儆谕性刂拖嗟鹊念愋停瑧?yīng)將2，3，4列加到第1列：【解】。3、設(shè)行列式，依下列次序?qū)M(jìn)行變換后，求其結(jié)果：交換第一行與第五行，再轉(zhuǎn)置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。

2、【解】交換第一行與第五行，行列式變號(hào)，結(jié)果為；再轉(zhuǎn)置，行列式的值不變，；用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，這等于用乘以行列式，結(jié)果為；再用(-3)乘以第二列加到第四列，這是倍加，行列式的值不變，結(jié)果仍為；最后用4除第二行各元素，即第二行有公因，這等于用乘以行列式，結(jié)果為。4、用行列式的性質(zhì)證明下列等式：；【證法一】左邊=右邊，證畢。【證法二】右邊=左邊，證畢?！咀C法三】左邊=+0+0+0=右邊，證畢。【證法一】左邊=右邊=，對(duì)比即得 左邊=右邊，證畢。【證法二】左邊=+=右邊，證畢。5、計(jì)算下列行列式：；【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型，應(yīng)將2列以后各列加到第1列：【解】設(shè)為n

3、階行列式，則每行中有1個(gè)，n-1個(gè)a，于是=。；【分析】該行列式主對(duì)角線以下元素與首行元素對(duì)應(yīng)為相反數(shù)，因此，將首行加到以下各行，將化為上三角行列式?！窘狻?。；【分析】這是為n+1階行列式。該行列式主對(duì)角線以下元素與首行元素對(duì)應(yīng)相等，因此，將首行的-1倍加到以下各行，將化為上三角行列式?！窘狻?。，其中?！痉治觥繛榛缮先切辛惺剑殞⑾路皆厝癁?，這樣就需要次第地（以一定順序，一個(gè)接一個(gè)地），將化為-1后加到第1列，將化為-1后加到第2列，.，將化為-1后加到第1列?！窘狻?=上述的n次列倍加運(yùn)算也可以疊加進(jìn)行：6、解下列方程：；【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式，注意到1，2兩

4、行及3，4兩行有較多的相同元素，得：左邊=，原方程為，即得4個(gè)根為，。；【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式，將第一行的-1倍加到以下各行即成為上三角行列式。左邊=，原方程為，即得n-1個(gè)根為，()7、 設(shè)n階行列式，把上下翻轉(zhuǎn)，或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)，依次得，證明，。【證明】，這就是將變換成：，由于把上下翻轉(zhuǎn)得到，翻轉(zhuǎn)變換中，元素的列碼仍為列碼，順序沒變，行碼則由順序變成了逆序。由于排列變成要經(jīng)過次對(duì)換，可知把上下翻轉(zhuǎn)得到，須經(jīng)過次行對(duì)換，從而。證畢。，這就是將變換成：，由于把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得到：旋轉(zhuǎn)變換中，元素的第一碼變成了第二碼，都作為行碼看待時(shí)，由順序變成為逆序

5、；而第二碼變成了第一碼，都作為列碼看待時(shí)，順序不變，由于排列變成要經(jīng)過次對(duì)換，可知把旋轉(zhuǎn)90o得到，須經(jīng)過次對(duì)換，從而。證畢。這就是將變換成：，由于把依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)得到：翻轉(zhuǎn)變換中，元素的第一碼變成了第二碼，都作為行碼看待時(shí)，由順序變成為逆序；第二碼變成了第一碼，都作為列碼看待時(shí)，由順序變成為逆序，從而，把依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)得到，須經(jīng)過次偶數(shù)對(duì)換，從而。證畢。8、已知255，459，527都能被17整除，不求行列式的值，證明行列式能被17整除?！痉治觥咳粜辛惺降娜我豁?xiàng)含有255，459，527這三個(gè)數(shù)之一，則行列式必能被17整除，而這樣只須行列式中有一行以255，459，527這三個(gè)數(shù)之一為元素即可，經(jīng)觀察，行列式第一列恰有2，5，5，作行倍加即可得