一線三角一線三直角

1、-一線三角三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會(huì)。例1：如圖，等邊ABC中，邊長為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60°CADBEF（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE。變式：如圖，在ABC中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且ABCDE(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函

2、數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說明ADE是什么三角形，并說明理由例2：如圖，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，EDF=B，CDEABF求證：BDEDFE變式：已知：如圖，在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊BC上又點(diǎn)F在邊AC上，且(1) 求證：FCEEBD；(2) 當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的長如果不可能請說明理由ABCDEF例3：如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使APM=B；ABPCM（1）求證：ABPPCM；（2）設(shè)BP=x，CM=

3、y求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（3）當(dāng)APM為等腰三角形時(shí)， 求PB的長變式：如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與B相等的角的頂點(diǎn)放在P 點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E。（1）求證BPDCEP（2）是否存在這樣的位置，PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由。CPEABD-壓軸題突破-一線三角例1：在中，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.若點(diǎn)在線段上（如圖），且，求線段的長；ABC若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；1.與等腰三角形底角相等的角

4、的頂點(diǎn)不僅在線段上還可以運(yùn)動(dòng)至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個(gè)三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí)，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。2.此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過哪兩個(gè)三角形相似求解，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，還是找原來的兩個(gè)三角形，多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。變式：正方形的邊長為（如圖），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，寫出線段的長（不需要計(jì)算過程，請直接寫出結(jié)果）.ABCD例2：已知在梯形ABCD中，

5、ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫出AP的長（不必寫出解題過程）CDABP第一問因?yàn)槭堑妊切?，且滿足BPCA,很容易找到一線三角模型，尋找相似，列比例等式，求出AP的長。第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息變式：已知在等腰三角形中，是

6、的中點(diǎn)， 是上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè).用含的代數(shù)式表示；求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.例3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) （1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么 當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)時(shí)，求BP的長EDCBA（備用圖）EDCBAP（圖）1.第（2）小

7、題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。2.第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息變式：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=BC=4，AD=2點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作EMF=B，射線ME交邊AB于點(diǎn)E，射線MF交邊CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF（1）指出圖中所有與BEM相似的三角形，并加以證明；（2）設(shè)BE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；ABCDMEF-壓軸題突破-一線三直角三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上

8、移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例1、已知：如圖，ABBC，AD / BC， AB = 3，AD = 2點(diǎn)P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點(diǎn)D作PD的垂線，與BC相交于點(diǎn)C設(shè)線段AP的長為x（1）當(dāng)AP = AD時(shí)，求線段PC的長；（2）設(shè)PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)APDDPC時(shí)，求線段BC的長ABCDPABCD（備用圖）本題重點(diǎn)在于：過點(diǎn)C作CEAD，交AD的延長線于點(diǎn)E(構(gòu)造一線三角，出現(xiàn)相似三角形，

9、進(jìn)行求解)變式：如圖1，已知，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作的垂線，交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)設(shè)，（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（2）在（1）的條件下，取線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，若，求的長；（3）如果動(dòng)點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終滿足條件，那么請?zhí)骄浚旱闹荛L是否隨著動(dòng)點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？請說明理由 圖1 圖2例2、如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB=2，AD=4，tanC=，ADC=DAB=90度，P是腰BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含點(diǎn)B、C），作PQAP交CD于點(diǎn)Q（圖1）（1） 求BC的長與梯形ABCD的面積；（2） 當(dāng)PQ=DQ時(shí)，求BP

10、的長；（圖2）（3） 設(shè)BP=x，CQ=y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域。第3問添加了輔助線MN，得到一線三角基本模型，得到解題突破口，出現(xiàn)相似，順利得到答案。變式：如圖，在中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，交射線AC于點(diǎn)F（1）求AC和BC的長；（2分）（2）當(dāng)時(shí)，求的長；（5分）（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)和相似時(shí)，求的長（7分）ACFEDBACB（備用圖）ACB（備用圖）例3、如圖，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時(shí)，聯(lián)結(jié),求的余切值；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)，若為等腰三角形，求的長.CAB備用圖2CAB備用圖1DABFECC1.第2問添加輔助線EH，得到三直角型相似，得到結(jié)果；2.第3問等腰三角形的分類討論，要注意嚴(yán)格按照三種情況進(jìn)行討論，在解答過程中，要時(shí)刻牢記等腰三角形三線合一這一