復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案第2章習(xí)題詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章習(xí)題詳解1 利用導(dǎo)數(shù)定義推出：1) （為正整數(shù)）解： 2)解： 2 下列函數(shù)何處可導(dǎo)？何處解析？1)解：設(shè)，則， ，都是連續(xù)函數(shù)。只有，即時(shí)才滿足柯西黎曼方程。在直線上可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。2)解：設(shè)，則， ，都是連續(xù)函數(shù)。只有，即時(shí)才滿足柯西黎曼方程。在直線上可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。3)解：設(shè)，則， ，都是連續(xù)函數(shù)。只有且，即時(shí)才滿足柯西黎曼方程。在點(diǎn)處可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。4)解：設(shè)，則， ，都是連續(xù)函數(shù)。完全滿足柯西黎曼方程。在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處解析。3 指出下列函數(shù)的解析性區(qū)域，并求出其導(dǎo)數(shù)。1)解：，在復(fù)平面內(nèi)處處解析。2

2、)解：，在復(fù)平面內(nèi)處處解析。3)解：，在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)外處處解析。4) （，中至少有一個(gè)不為）解： 當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)外處處解析。當(dāng)時(shí)，則，在復(fù)平面內(nèi)處處解析。 4 求下列函數(shù)的奇點(diǎn)：1)解：令，解得，。故有、三個(gè)奇點(diǎn)。2)解：令，解得，。故有、三個(gè)奇點(diǎn)。5 復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性有什么不同？判斷函數(shù)的解析性有哪些方法？解：復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性是函數(shù)在某一點(diǎn)的局部性質(zhì)，而解析性是函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的整體性質(zhì)。判斷函數(shù)的解析性有兩種法。一是用定義，利用函數(shù)的可導(dǎo)性判斷解析性；二是用定理：函數(shù)在其定義域內(nèi)解析和在內(nèi)點(diǎn)可微，并且滿足柯西黎曼方程。6 判斷下列命題的真假，若真，請(qǐng)給以證明；若假，請(qǐng)舉

3、例說明。1) 如果在連續(xù)，那末存在；解：假命題。例如，在復(fù)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都連續(xù)，但不滿足柯西黎曼方程，故不存在。2) 如果存在，那末在解析；解：假命題。例如，在點(diǎn)可導(dǎo)，但在點(diǎn)不解析。3) 如果是的奇點(diǎn)，那末在不可導(dǎo)；解：假命題。例如，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析，因此處處是奇點(diǎn)，但在上的點(diǎn)均可導(dǎo)。4) 如果是和的一個(gè)奇點(diǎn)，那末也是和的奇點(diǎn)；解：假命題。例如，與在復(fù)平面內(nèi)處處不解析，即復(fù)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都是與的奇點(diǎn)。但在復(fù)平面內(nèi)處處解析，即在復(fù)平面內(nèi)沒有奇點(diǎn)。5) 如果和可導(dǎo)（指偏導(dǎo)數(shù)存在），那末亦可導(dǎo)；解：假命題。例如，設(shè)，則，均可導(dǎo)，但不滿足柯西黎曼方程，因此不可導(dǎo)。6) 設(shè)在區(qū)域內(nèi)是解析的。如果是實(shí)

4、常數(shù)，那末在整個(gè)內(nèi)是常數(shù)；如果是實(shí)常數(shù)，那末在內(nèi)也是常數(shù)。解：真命題。下面證明： 因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)解析，即滿足柯西黎曼方程： ， 如果是實(shí)常數(shù)，則，即為實(shí)常數(shù)，故在內(nèi)為常數(shù)。 如果是實(shí)常數(shù)，則，即為實(shí)常數(shù)，故在內(nèi)為常數(shù)。7 如果是的解析函數(shù)，證明：。證明： 在點(diǎn)處解析， 8 設(shè)為解析函數(shù)，試確定、的值。解：設(shè)，則 ， ，為解析函數(shù)9 證明柯西黎曼方程的極坐標(biāo)形式是：，證明：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式為，于是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得： ， 即：，10 證明：如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，并滿足下列條件之一，那末是常數(shù)。1) 恒取實(shí)值；證明：恒取實(shí)值，即。是解析函數(shù)，所以 ， 即為常數(shù)，故是常數(shù)。2) 在內(nèi)解析；證明

5、：因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)解析，所以， 又為在區(qū)域內(nèi)解析，所以， ，故是常數(shù)。3) 在內(nèi)是一個(gè)常數(shù)；證明：設(shè) 同時(shí) ， 成立。所以 即，均為常數(shù)，故是常數(shù)。4) 在內(nèi)是一個(gè)常數(shù)；證明：設(shè)，則。 如果，則，從而，又在內(nèi)解析，所以為常數(shù)，故是常數(shù)。 如果，則，于是有 同時(shí) ， 成立。所以 即，均為常數(shù)，故是常數(shù)。 如果，則；如果，則，與的討論一樣，可得到是常數(shù)。5) ，其中，與為不全為零的實(shí)常數(shù)。證明：因?yàn)椋遗c為不全為零，所以和不能同時(shí)為零。假設(shè)，則有，于是，在區(qū)域內(nèi)解析，所以為常數(shù)，故是常數(shù)。11 下列關(guān)系是否正確？1)解：設(shè)，則2)解：3)解：12 找出下列方程的全部解：1)解：， ，即2)解：， ，即

6、3)解：，即4)解：， ，即13 證明：1) ，證明：2)證明： 3)證明： 令，則4)證明：， 令，則， 5) ，證明：6) ，證明： 令，則 同理可證：14 說明：1) 當(dāng)時(shí)，和趨于無窮大；解：，而， 同理：2) 當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)，和不成立。解：由于為復(fù)數(shù)，可設(shè)，則 故當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)，和不成立。15 求，和它們的主值。解： 主值為 主值為16 證明對(duì)數(shù)的下列性質(zhì)：1)證明： 所以：2)證明： 所以：17 說明下列等式是否正確：1)解：設(shè) 所以 和的實(shí)部相同，但虛部不盡相同，故不正確。2)解：設(shè) 所以 和的實(shí)部相同，但虛部不盡相同，故不正確。18 求，和的值。解： 19 證明，其中為實(shí)數(shù)。證明：如果是整數(shù)，則 如果不是整數(shù)，則20 證明：1) ；證明：2) ；證明：3) ，。證明： 21 解下列方程：1) ；解： 即 2) ；解： 即