高等數(shù)學練習答案

1、習題7-3 1. 一動點與兩定點(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距離, 求這動點的軌跡方程. 解 設動點為M(x, y, z), 依題意有 (x-2)2+(y-3)2+(z-1)2=(x-4)2+(y-5)2+(z-6)2, 即 4x+4y+10z-63=0. 2. 建立以點(1, 3, -2)為球心, 且通過坐標原點的球面方程. 解 球的半徑, 球面方程為 (x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14, 即 x2+y2+z2-2x-6y+4z=0. 3. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面? 解 由已知方程得 (x2-2x+1)+(y2+4y+4)+(z2+2z

2、+1)=1+4+1, 即 , 所以此方程表示以(1, -2, -1)為球心, 以為半徑的球面. 4. 求與坐標原點O及點(2, 3, 4)的距離之比為1:2的點的全體所組成的曲面的方程, 它表示怎樣曲面？ 解 設點(x, y, z)滿足題意, 依題意有 , 化簡整理得 , 它表示以為球心, 以為半徑的球面. 5. 將zOx坐標面上的拋物線z2=5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 將方程中的z換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2+z2=5x. 6. 將zOx坐標面上的圓x2+z2=9繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 將方程中的x換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2+y2+z2=9. 7

3、. 將xOy坐標面上的雙曲線4x2-9y2=36分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 4x2-9y2-9z2=36. 雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 4x2+4z2-9y2=36. 8. 畫出下列方程所表示的曲面: (1); (2); (3); (4)y2-z=0; (5)z=2-x2. 9. 指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形: (1)x=2; 解在平面解析幾何中, x=2表示平行于y軸的一條直線; 在空間解析幾何中, x=2表示一張平行于yOz面的平面. (2)y=x+1; 解 在平面解析幾何

4、中, y=x+1表示一條斜率是1, 在y軸上的截距也是1的直線; 在空間解析幾何中，y=x+1表示一張平行于z軸的平面. (3)x2+y2=4; 解 在平面解析幾何中, x2+y2=4表示中心在原點, 半徑是4的圓; 在空間解析幾何中, x2+y2=4表示母線平行于z軸, 準線為x2+y2=4的圓柱面. (4)x2-y2=1. 解 在平面解析幾何中, x2-y2=1表示雙曲線; 在空間解析幾何中, x2-y2=1表示母線平行于z軸的雙曲面. 10. 說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的: (1); 解 這是xOy面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的, 或是zOx面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的. (2); 解 這是xOy面上的雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的, 或是yOz面上的雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的. (3)x2-y2-z2=1; 解 這是xOy面上的雙曲線x2-y2=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的, 或是zOx面上的雙曲線x2-z2=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的. (4)(z-a)2=x2+y2 . 解 這是zOx面上的曲線(z-a)2=x2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的, 或是yOz面上的曲線(z-