高中數(shù)學(xué)推理與證明 23 數(shù)學(xué)歸納法習(xí)題課 新人教版選修22

1、習(xí)題課數(shù)學(xué)歸納法明目標(biāo)、知重點1進一步掌握數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)與步驟，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式、整除問題、幾何問題等數(shù)學(xué)命題2掌握證明nk1成立的常見變形技巧：提公因式、添項、拆項、合并項、配方等 1歸納法歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進行嚴(yán)格證明2數(shù)學(xué)歸納法(1)應(yīng)用范圍：作為一種證明方法，用于證明一些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；(2)基本要求：它的證明過程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可；(3)注意點：在第二步遞推歸納時，從nk到nk1必須用上歸納假設(shè)題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式思考用數(shù)學(xué)歸納法

2、證明不等式的關(guān)鍵是什么？答用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，首先要清楚由nk到nk1時不等式兩邊項的變化；其次推證中可以利用放縮、比較、配湊分析等方法，利用歸納假設(shè)證明nk1時的結(jié)論例1已知數(shù)列bn的通項公式為bn2n，求證：對任意的nN*，不等式···>都成立證明由bn2n，得，所以·······.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式·······>成立(1)當(dāng)n1時，左邊，右邊，因為>，所以不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1且

3、kN*)時不等式成立，即·······>成立則當(dāng)nk1時，左邊·········>·>.所以當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)、(2)可得不等式·······>對任意的nN*都成立反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊證明目標(biāo)在湊證明目標(biāo)時，比較法、綜合法、分析法都可選用跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明<1(n

4、2，nN*)證明當(dāng)n2時，左式，右式1，因為<，所以不等式成立假設(shè)nk(k2，kN*)時，不等式成立，即<1，則當(dāng)nk1時，<111<11，所以當(dāng)nk1時，不等式也成立綜上所述，對任意n2的正整數(shù)，不等式都成立題型二利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例2求證：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*.證明(1)當(dāng)n1時，a11(a1)2×11a2a1，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時，ak2(a1)2k1a·ak1(a1)2·(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1

5、a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被a2a1整除，故nk1時命題成立由(1)(2)知，對任意nN*，命題成立反思與感悟證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項”，先采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊成nk時的情形，再利用歸納假設(shè)使問題獲證跟蹤訓(xùn)練2證明x2n1y2n1(nN*)能被xy整除證明(1)當(dāng)n1時，x2n1y2n1xy，能被xy整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，命題成立，即x2k1y2k1能被xy整除那么當(dāng)nk1時，x2(k1)1y2(k1)1x2k1y2k1x2k12y2k12x2·x2k1y2·y2k1x2

6、·y2k1x2·y2k1x2(x2k1y2k1)y2k1(y2x2)x2k1y2k1能被xy整除，y2x2(yx)(yx)也能被xy整除，當(dāng)nk1時，x2(k1)1y2(k1)1能被xy整除由(1)，(2)可知原命題成立題型三利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題思考用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是什么？答用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k1個時，所證的幾何量將增加多少，還需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，實在分析不出來的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧例

7、3平面內(nèi)有n(nN*，n2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明：交點的個數(shù)f(n).證明(1)當(dāng)n2時，兩條直線的交點只有一個，又f(2)×2×(21)1，當(dāng)n2時，命題成立(2)假設(shè)nk(k>2)時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線交點個數(shù)f(k)k(k1)，那么，當(dāng)nk1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線交點個數(shù)為f(k)k(k1)，l與其他k條直線交點個數(shù)為k，從而k1條直線共有f(k)k個交點，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，當(dāng)nk1時，命題成立由(1)(2)可知，對任意nN*(n2)

8、命題都成立反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時，一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意有必要的文字說明跟蹤訓(xùn)練3有n個圓，其中每兩個圓相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)n2n2部分證明(1)n1時，分為2塊，f(1)2，命題成立；(2)假設(shè)nk(kN*)時，被分成f(k)k2k2部分；那么當(dāng)nk1時，依題意，第k1個圓與前k個圓產(chǎn)生2k個交點，第k1個圓被截為2k段弧，每段弧把所經(jīng)過的區(qū)域分為兩部分，所以平面上凈增加了2k個區(qū)域f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即nk1時命題成立，由(1)(2)知命題成立呈重點、現(xiàn)規(guī)律1數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有

9、關(guān)的命題，包括等式、不等式、數(shù)列問題、整除問題、幾何問題等2證明問題的初始值n0不一定，可根據(jù)題目要求和問題實際確定n0.3從nk到nk1要搞清“項”的變化，不論是幾何元素，還是式子；一定要用到歸納假設(shè).一、基礎(chǔ)過關(guān)1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3) (nN*)，驗證n1時，左邊應(yīng)取的項是()A1 B12C123 D1234答案D解析等式左邊的數(shù)是從1加到n3.當(dāng)n1時，n34，故此時左邊的數(shù)為從1加到4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n21對于nn0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3C5 D6答案C解析當(dāng)n取1、2、3、4時2n>n21不成立，當(dāng)n5時

10、，2532>52126，第一個能使2n>n21的n值為5，故選C.3已知f(n)1(nN*)，證明不等式f(2n)>時，f(2k1)比f(2k)多的項數(shù)是()A2k1項 B2k1項C2k項 D以上都不對答案C解析觀察f(n)的表達式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k項4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>(nN*)的過程中，由nk遞推到nk1時，下列說法正確的是()A增加了一項B增加了兩項和C增加了B中的兩項，但又減少了一項D增加了A中的一項，但又減少了一項答案C解析當(dāng)nk時，不等式左邊為，當(dāng)nk1時，不等式左邊為，故

11、選C.5用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證nk1時的情況，只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析假設(shè)當(dāng)nk時，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可6已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，Snn2an (nN*)依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達式為_答案Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.7已知正數(shù)數(shù)列an(nN*)中，前n項和為Sn，且2Snan，用數(shù)學(xué)

12、歸納法證明：an.證明(1)當(dāng)n1時，a1S1(a1)，a1(an>0)，a11，又1，n1時，結(jié)論成立(2)假設(shè)nk(kN*)時，結(jié)論成立，即ak.當(dāng)nk1時，ak1Sk1Sk(ak1)(ak)(ak1)()(ak1).a2ak110，解得ak1(an>0)，nk1時，結(jié)論成立由(1)(2)可知，對nN*都有an.二、能力提升8對于不等式n1 (nN*)，某學(xué)生的證明過程如下：當(dāng)n1時，11，不等式成立假設(shè)nk (nN*)時，不等式成立，即k1，則nk1時，<(k1)1，所以當(dāng)nk1時，不等式成立，上述證法()A過程全部正確Bn1驗證不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的

13、推理不正確答案D解析從nk到nk1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求9用數(shù)學(xué)歸納法證明>.假設(shè)nk時，不等式成立則當(dāng)nk1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案>解析觀察不等式中的分母變化知，>.10證明：62n11能被7整除(nN*)證明(1)當(dāng)n1時，62117能被7整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，62k11能被7整除那么當(dāng)nk1時，62(k1)1162k12136×(62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，當(dāng)nk1時，62(k1)11能被7整除由(1)，(2)知命題成立11求證：>(n2，nN*)證明(1)當(dāng)n2時，左邊&g

14、t;，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時命題成立，即>.則當(dāng)nk1時，()>()>(3×)，所以當(dāng)nk1時不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式對一切n2，nN*均成立12已知數(shù)列an中，a1，其前n項和Sn滿足anSn2(n2)，計算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明解當(dāng)n2時，anSnSn1Sn2.Sn(n2)則有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時，S1a1，猜想成立(2)假設(shè)nk(kN*)猜想成立，即Sk成立，那么nk1時，Sk1.即nk1時猜想成立由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n，猜想結(jié)論均成立三、探究與拓展13已知遞增等差數(shù)列an滿足：a11，且a1，a2，a4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)若不等式(1)·(1)··(1)對任意nN*，試猜想出實數(shù)m的最小值，并證明解(1)設(shè)數(shù)列an公差為d(d>0)，由題意可知a1·a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)·1n.(2)不等式等價于····，當(dāng)n1時，m；當(dāng)n2時，m；而>，所以猜想，m的最小值為.下